专题03 相反数、绝对值及有理数的大小比较 重难点专题提升精讲精练-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学相反数、绝对值及有理数大小比较核心知识点，系统梳理相反数意义、多重符号化简、绝对值（几何与代数意义、非负性）、绝对值应用及有理数大小比较五大知识点，从定义理解到技能掌握再到实际应用，构建递进式学习支架。 资料以9大基础题型+2大提高题型分层设计，结合即时训练与典型例题，融入质量检测、数轴表示等现实情境。通过题型变式培养抽象能力与运算能力，借助实际问题发展应用意识，课中辅助教师精准教学，课后助力学生自我检测与查漏补缺。

专题03 相反数、绝对值及有理数的大小比较重难点题型专训（5个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、相反数的定义 1 题型二、化简多重符号 2 题型三、绝对值的几何意义 3 题型四、求一个数的绝对值 4 题型五、绝对值非负性 5 题型六、相反数的应用 6 题型七、有理数大小比较 7 题型八、绝对值的其他应用 8 题型九、有理数大小比较的实际应用 9 第二部分·练提高题型 题型一、绝对值非负性压轴 1 题型二、绝对值最值问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）2的相反数是（     ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 知识点02 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2026·湖南·三模）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·青海西宁·期中）若，则________．化简________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号的化简规则计算． 【详解】解：由，得； 故答案为：； 知识点03 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·三模）的绝对值为（     ） A．-8 B．8 C． D．2 【答案】C 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·云南昆明·期末）计算：____________． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：． 故答案为：5． 知识点04 绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若，则______，______． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 知识点05 绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·浙江温州·二模）排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：C． 2．（2026·福建·模拟预测）如图，有理数在数轴上的对应点为，已知，且为正整数，则的值可以是______． 【答案】1 【分析】根据数轴的定义可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由数轴的定义得：， ， ，且为正整数， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 【基础题型一 相反数的定义】 【例1】（2026·四川成都·二模）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可直接得出结果． 【详解】解：相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是． 【例2】（25-26七年级上·广东河源·期中）______的相反数是． 【答案】 【分析】本题考查相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，由此可解． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 1．（2026·河南周口·模拟预测）若a的相反数是6，则a的值是（     ）． A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】∵ 互为相反数的两个数符号相反，绝对值相等，且的相反数是， ∴ 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，当天上午9时北京天安门广场举行纪念大会，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平发表重要讲话并检阅部队．其中80的相反数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了相反数的定义，牢记“符号不同，数量相等的两个数互为相反数”是解题的关键． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：80的相反数是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) 解：与互为相反数， 理由如下： ， 与互为相反数； (2) 解：与互为相反数， 理由如下： 是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数， ， 即， ， 则与互为相反数． 【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． （1）由相反数定义直接验证即可得到答案； （2）由相反数定义直接验证即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型二 化简多重符号】 【例1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出即可． 【详解】解：A．，3与只有符号不同 ，满足相反数定义，所以与互为相反数，故本选项符合题意； B．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； C．的相反数为，不是，故本选项不符合题意； D．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26七年级上·青海西宁·期中）下列各数中，是负数的为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的定义，正确理解概念是解题关键． 小于0的数叫做负数，据此可得答案． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故不符合题意； B、，，是正数，故不符合题意； C、，是负数，故符合题意； D、，是正数，故不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____． 【答案】2 【分析】本题考查了符号的化简，解题的关键是按照从内到外的顺序逐步化简多重符号． 从内向外逐层化简，利用有理数的符号法则即可解答． 【详解】解： 故答案为：2． 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可求解； （2）分别化简两个有理数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． 【基础题型三 绝对值的几何意义】 【例1】（25-26七年级上·河南焦作·期中）下列各数在数轴上所对应的点，到原点最近的是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 通过计算各数的绝对值，比较大小，绝对值最小的点离原点最近． 【详解】解：， ∵， ∴的绝对值最小，到原点最近． 故选B． 【例2】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）已知，则的值等于__________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质，会化简绝对值和利用分类讨论的思想方法是解决本题关键； 根据题意分情况讨论：①；②；③，再根据绝对值的意义化简求值即可 【详解】解：①当时，可化简为，解得； ②当时，可化简为，即，此等式不成立，所以此种情况无解； ③当时，可化简为，即，解得； 综上可知，则的值等于或， 故答案为：或． 1．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若有理数，，满足，，则的值为（ ） A．4 B．5 C．4或6 D．4或5 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的几何意义， 根据绝对值的几何意义，表示数轴上点之间的距离．通过分析b和c相对于a的位置关系，计算的值． 【详解】∵，， ∴点b与点a的距离为1，点c与点a的距离为5． 当点b和点c在点a的同侧时，； 当点b和点c在点a的异侧时，． ∴的值为4或6． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）当______时，的值最小． 【答案】2 【分析】本题需要根据绝对值的非负性，分析取最小值时的取值. 【详解】解：根据绝对值的非负性可知，，当且仅当时，能取到最小值. 解方程，可得. 此时的值最小，最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性知识点，解题关键是理解绝对值的性质，知道绝对值最小为，通过让绝对值符号内的式子等于，来求出使整个式子取得最小值时未知数的值. 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）有理数、在数轴上的位置如图所示，观察数轴，并回答下列问题： (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)用“”连接、、、． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴、比较有理数的大小，解决本题的关键是根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，比较数的大小． 根据有理数、在数轴上的位置比较两数的大小即可； 因为表示数的点到原点的距离大于表示数的点到原点的距离，根据绝对值的定义可知； 把、、、表示在数轴上，根据它们在数轴上的位置比较大小． 【详解】（1）解：表示数的点在原点左侧， ， 表示数的点在原点右侧， ， ； （2）解：由数轴可知，表示数的点到原点的距离大于表示数的点到原点的距离， ； （3）解：把、、、表示在数轴上， 如下图所示， 数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数， ． 【基础题型四 求一个数的绝对值】 【例1】（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级上·云南文山·期末）如果，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的意义．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2026·黑龙江绥化·三模）的结果是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值．根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据绝对值的代数定义，是负数，绝对值为，是正数，绝对值为，的绝对值为． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【基础题型五 绝对值非负性】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是它本身”是解题的关键. 【详解】解：当时，，既不是正数，也不是负数，选项A错误，不符合题意； 题目说的是有理数并没有规定正负，有理数包括正数、负数和，可能是正数、负数、，选项B错误，不符合题意； 当时，，；此时一定为负数，选项C错误，不符合题意； 根据绝对值的非负性可知：，则一定为负数，选项D正确，符合题意； 故选：D ． 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 【基础题型六 相反数的应用】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【例2】（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为．计算它们的商即可得出结果． 【详解】解：设这两个数分别为a和（a≠0），则它们的商为： ， 无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1． 因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1． 故选A． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【答案】(1)C (2) 各点表示的数如下表： 点 对应数 【分析】（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此可知原点在点，的正中间，据此作答即可； （2）根据（1）的方法找到原点，问题随之得解． 【详解】（1）如果点，表示的数是互为相反数， 那么原点在线段的中点，即为点， 故答案为：C （2）如果点，表示的数是互为相反数， 原点就应该是线段的中点﹐即在点右边一格． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等，是解答本题的关键． 【基础题型七 有理数大小比较】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）下面四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可先排除负数选项，再统一剩余正数为小数形式比较大小，即可得最大的数为. 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴最大的数在正数里面，排除负数， ∵，， ∴ 最大的数是. 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 【答案】 【分析】（1）将分数转化为小数后，按小数大小比较规则比较； （2）根据负数比较大小的规则，先比较两个数的绝对值，绝对值大的原数更小． 【详解】解：（1），， ； （2），，， ，即， ． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测），，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：，，． ∵ ， ∴ ． 2．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【答案】 【分析】先将题目中的百分数和分数化为小数，再根据有理数大小比较法则判断各数大小，即可确定最小的数． 【详解】解：化简各数得：，， 根据有理数大小比较法则，可得， 即， 因此五个数中最小的数是． 3．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）下面有5张卡片，上面分别写有相应的有理数．    (1)指出卡片中的非正数； (2)将这5个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)0，，； (2)． 【分析】本题考查了非正数的定义及有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据非正数即为负数和零，由此得到结果； （2）根据正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】（1）解：卡片中的非正数为0，，； （2）解：这5个有理数按从小到大的顺序排列为． 【基础题型八 绝对值的其他应用】 【例1】（2026·广东河源·二模）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与相差与相差与相差，与相差，所以质量最接近标准质量的是． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 1．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，负数表示低于标准质量，正数表示超过标准质量，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际意义以及绝对值的应用，解题的关键是理解正负数表示的是相对于标准质量的偏差，而最接近标准质量即偏差的绝对值最小．比较每袋大米与标准质量的偏差绝对值，找出偏差最小的那袋大米，即最接近标准质量的大米． 【详解】解：由题意得，， 的那袋大米最接近标准质量． 故选：A． 2．（2026·湖北武汉·一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【答案】 丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【基础题型九 有理数大小比较的实际应用 】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 【答案】B 【分析】北半球哈尔滨的白昼时长在夏至日达到最长，二十四节气中谷雨在夏至前，立秋在夏至后，离夏至越近白昼时长越长，结合选项中节气的位置和白昼时长规律即可判断. 【详解】解：∵ 哈尔滨位于北半球，一年中夏至日白昼时长最长，谷雨在夏至前，立秋在夏至后，   已知谷雨白昼长小时分，立秋白昼长小时分， 所求白昼长小时分，比两者更长， 说明该节气比谷雨、立秋更靠近夏至， 立春在春分前，白昼短于小时，秋分接近昼夜平分，白昼约小时，冬至白昼最短，均不符合要求； 小满位于谷雨与夏至之间，更靠近夏至，符合白昼长度要求. 【例2】（2026·湖北武汉·二模）初中化学四种元素在化合物中常见化合价如下表所示． 元素 氧 镁 氯 铝 化合价 其中，化合价最小的元素是________． 【答案】氧 【详解】解：∵ ∴化合价最小的元素是氧． 1．（25-26七年级下·河北唐山·期末）年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 【答案】D 【分析】根据表格数据逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：表格中步数单位为千步，淇淇单日最多步数是千步，不是步， 故A错误； 逐天对比两人步数：：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，可得淇淇步数高于嘉嘉共天，不是天， 故B错误； 前10天的统计结果无法确定6月11日两人的步数， 故C错误； 由于6月5日嘉嘉步数为千步，淇淇步数为千步，， 则淇淇的步数低于嘉嘉， 故D正确． 2．（24-25七年级上·河南新乡·期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月________日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 【答案】14 【分析】本题考查了有理数正负数的实际应用，有理数大小的比较，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和有理数大小比较是解题的关键；． 根据账单，找出表示支出的数，然后比较支出的绝对值大小，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 在这五笔交易中，支出用负数表示， ，，，， ， 由于是最大的绝对值， 所以4月14日的支出是最多的， 故答案为：14． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1) 解：小璐的视力最差．理由如下， ∵， ∴最小， ∴小璐的视力最差． (2)名学生中有人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 【提高题型一 绝对值非负性压轴】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对的意义和性质，绝对值的非负性，据此逐项判定 即可求解． 【详解】解：A、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，则或，正确，故此选项符合题意； D、若，不一定成立；原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设的相反数为，的绝对值为，则，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，等式成立， ∴可以是任何非正有理数，例如0， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则________， ________． （2）已知，则________． （3）已知与互为相反数，则________． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 【提高题型二 绝对值最值问题】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，即可判断，正确理解绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：最大值是，故正确； 若，则为正数或，故错误； 若，则的值为非正数，故正确； 若，则，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为_______． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________ 【答案】 2 14 【分析】（1）根据，，，得解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 2．（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 3．（25-26七年级上·江西南昌·期中）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数． （1）直接写出a，b的最大值； （2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？ 【答案】（1）a的最大值为3，b的最大值为4；（2）当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4 【分析】（1）根据条件可知b的最大值是4，从而得到a的最大值是3； （2）根据绝对值的非负性知道a＝0时，|a|最小，从而得到当b＝﹣4时，代数式有最小值． 【详解】解：（1）∵|a|＜|b|≤4，且a，b为整数， ∴a的最大值为3，b的最大值为4； （2）∵|a|≥0， ∴当a＝0时，|a|最小， ∴当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数， 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）下列各数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，相反数的概念，根据“奇负偶正”进行符号化简，再根据相反数的概念“只有符号不同的两个数互为相反数”，由此即可求解 ． 【详解】解：A、，原选项的两个数不是相反数，不符合题意； B、，原选项的两个数不是相反数，不符合题意； C、，原选项的两个数不是相反数，不符合题意； D、，原选项的两个数是相反数，符合题意； 故选：D ． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，值相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相反数和绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：，，不符合题意； ，，不符合题意； ，，不符合题意； ，，符合题意； 故选D． 3．（25-26七年级上·四川乐山·期中）若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据，，得出，再根据绝对值的性质进行解答即可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 5．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握“正数大于、大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小”成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法比较出四个城市温度数值的大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， 日均最低温度最低的城市丙市． 故选：C． 6．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，根据多重符号的计算顺序去括号即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期中）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 【答案】 6 【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可； 【详解】当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， ∵， ∴； 综上所述：的最小值为6，此时取值范围为． 故答案是：6；． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课前预习）思考：字母a表示一个有理数，你知道a的绝对值等于什么吗？ （1）当a是正数时，｜a｜＝____；正数的绝对值是它本身 （2）当a是负数时，｜a｜＝__；负数的绝对值是它的相反数 （3）当a＝0时，｜a｜＝___ 0的绝对值是0 由此，我们可以看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于0的数）． 任何一个有理数的绝对值都是______． 即：对于不任何一个有理数a，有|a|_____ 【答案】 a －a 0 非负数 ≥0 【解析】略 10．（25-26七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来：， ，，，． 【答案】 数轴表示如下： ． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，解题的关键是把已知各数先计算出来．先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解： ，， 12．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 14．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）尊师重教是我国的传统美德，教师节当天：出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：km）：，，，，，． (1)小王接送教师当天出租车的总行程是多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，这天小王最后回到起点共耗油多少升？ 【答案】(1)小王接送教师当天出租车的总行程是40千米 (2)4.6升 【分析】（1）把所给数据的绝对值相加； （2）首先把所给数据的绝对值相加，然后乘以0.1即可求解． 【详解】（1）千米 答：小王接送教师当天出租车的总行程是40千米； （2）千米 千米 升， 答：这天小王最后回到起点共耗油4.6升． 【点睛】此题分别考查了有理数的加法、绝对值的意义及正负数的意义，都是基础知识，熟练掌握相关整数即可解决问题． 15．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相反数、绝对值及有理数的大小比较重难点题型专训（5个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、相反数的定义 1 题型二、化简多重符号 2 题型三、绝对值的几何意义 3 题型四、求一个数的绝对值 4 题型五、绝对值非负性 5 题型六、相反数的应用 6 题型七、有理数大小比较 7 题型八、绝对值的其他应用 8 题型九、有理数大小比较的实际应用 9 第二部分·练提高题型 题型一、绝对值非负性压轴 1 题型二、绝对值最值问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）2的相反数是（     ） A．2 B．0 C． D． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 知识点02 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2026·湖南·三模）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·青海西宁·期中）若，则________．化简________． 知识点03 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·三模）的绝对值为（     ） A．-8 B．8 C． D．2 2．（25-26七年级上·云南昆明·期末）计算：____________． 知识点04 绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）如果，那么（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若，则______，______． 知识点05 绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·浙江温州·二模）排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建·模拟预测）如图，有理数在数轴上的对应点为，已知，且为正整数，则的值可以是______． 【基础题型一 相反数的定义】 【例1】（2026·四川成都·二模）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·广东河源·期中）______的相反数是． 1．（2026·河南周口·模拟预测）若a的相反数是6，则a的值是（     ）． A． B． C．6 D． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，当天上午9时北京天安门广场举行纪念大会，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平发表重要讲话并检阅部队．其中80的相反数是_____． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 【基础题型二 化简多重符号】 【例1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【例2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 1．（25-26七年级上·青海西宁·期中）下列各数中，是负数的为（    ） A．0 B． C． D．3 2．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____． 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【基础题型三 绝对值的几何意义】 【例1】（25-26七年级上·河南焦作·期中）下列各数在数轴上所对应的点，到原点最近的是（　　） A． B． C．2 D．4 【例2】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）已知，则的值等于__________． 1．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若有理数，，满足，，则的值为（ ） A．4 B．5 C．4或6 D．4或5 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）当______时，的值最小． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）有理数、在数轴上的位置如图所示，观察数轴，并回答下列问题： (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)用“”连接、、、． 【基础题型四 求一个数的绝对值】 【例1】（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（     ） A． B．2 C． D． 【例2】（25-26七年级上·云南文山·期末）如果，则_____． 1．（2026·黑龙江绥化·三模）的结果是（    ） A． B．2026 C． D． 2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）______． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【基础题型五 绝对值非负性】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【基础题型六 相反数的应用】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【基础题型七 有理数大小比较】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）下面四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测），，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 3．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）下面有5张卡片，上面分别写有相应的有理数．    (1)指出卡片中的非正数； (2)将这5个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 【基础题型八 绝对值的其他应用】 【例1】（2026·广东河源·二模）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 1．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，负数表示低于标准质量，正数表示超过标准质量，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【基础题型九 有理数大小比较的实际应用 】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 【例2】（2026·湖北武汉·二模）初中化学四种元素在化合物中常见化合价如下表所示． 元素 氧 镁 氯 铝 化合价 其中，化合价最小的元素是________． 1．（25-26七年级下·河北唐山·期末）年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 2．（24-25七年级上·河南新乡·期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月________日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【提高题型一 绝对值非负性压轴】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【例2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则________， ________． （2）已知，则________． （3）已知与互为相反数，则________． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【提高题型二 绝对值最值问题】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为_______． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________ 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 3．（25-26七年级上·江西南昌·期中）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数． （1）直接写出a，b的最大值； （2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？ 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）下列各数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，值相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26七年级上·四川乐山·期中）若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 6．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）的值是_______． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期中）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 9．（25-26七年级上·全国·课前预习）思考：字母a表示一个有理数，你知道a的绝对值等于什么吗？ （1）当a是正数时，｜a｜＝____；正数的绝对值是它本身 （2）当a是负数时，｜a｜＝__；负数的绝对值是它的相反数 （3）当a＝0时，｜a｜＝___ 0的绝对值是0 由此，我们可以看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于0的数）． 任何一个有理数的绝对值都是______． 即：对于不任何一个有理数a，有|a|_____ 10．（25-26七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来：， ，，，． 12．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 14．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）尊师重教是我国的传统美德，教师节当天：出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：km）：，，，，，． (1)小王接送教师当天出租车的总行程是多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，这天小王最后回到起点共耗油多少升？ 15．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $