第3章 锐角三角函数 单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学锐角三角函数单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合生活实践（如遮阳篷设计）与跨学科情境（物理单摆），适配单元知识整合与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数定义（1题）、解直角三角形（2题）、网格图应用（3题）|结合概念辨析（4题），夯实基础| |填空题|6/18|边长计算（11题）、三角形类型判断（12题）、梯形坡度（15题）|融入几何图形性质，强化空间观念| |解答题|8/72|三角函数计算（17题）、生活应用（21题遮阳篷）、项目化设计（23题无障碍通道）|融合现实情境与规律探究（22题），体现应用意识与创新思维|

第3章锐角三角函数（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.则下列各式中，正确的 是（) s如4=分 sinA=4 sinA=b b sin A= B. C. D. 【答案】B 【详解】解：如图， B a b sinA=a c 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,tanB=2,则BC的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， .tan B=AC BC, BC=AC6 =3 tanB 2. 3、如图，△ABC的顶，点A,B,C均在边长为1的正方形网格格，点上，则siA的值为() A.号 √2 √5 B.2 C.2 D.1 【答案】B 【详解】如图： D 在RtAADC中， AC=V22+22=2√2 sin4=AD=22 AC2√22， 4、下列说法中，正确的有（)个 ①a为锐角，则sina+cosa>1； ②C0s31°+c0s41°=c0s72°； ③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形； 2 ④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； 1=30° inA ⑤ ⑥当RIAABC的三边长扩大为2倍时，则sinA的值也相应扩大2倍. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】 a+b>1 ①在Rt△ACB中，设c为斜边，∠a的对边、邻边分别为a,b,那么sina+cosa=C,所以 ①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加； ③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形； ④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对； 1 =30° ⑤也不对，sinA=2 ,是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变 综上，①④正确，共2个， sin 5、△ABC中，如果∠A'∠B满 写osB=0,剩∠C的大小是() 21 A.45° B.60° C.90° D.120° 3 【答案】B m45-0 -cosB=0 2,2 .sin 4=3 1 cos B= , 2, ∴.∠A=60°∠B=60° 5 .∴∠C=180°-∠A-∠B=60° 6、如图，Rt△ABC中，∠C=9O,点D在AC上，∠DBC=∠A,若AC=8,c0sA=4,则BD 的长度为() C D B. C. 15 2 D.4 4 【答案】B 【详解】解：：∠C=90°，AC=8,co5A=AC=4, AB 5' —4 .AB=10 .BC=A B2-AC2=6' .'∠DBC=∠A,∠C=∠C=90, ..△BAC一△DBC, BC=AC 'BD AB' BD=15 7、如图，折叠矩形HCD的一边AD,袋点D落在BC边的点F处，若CF=4,m∠EFC-子，对折 痕AE=() A------1D E B C A.4V5 B.5V5 C.8 D.10 【答案】B 【详解】解：由题意c=4,∠C-90，m∠ErC-C} FC 4 ∴.CE=3 RtAEFC中，∠C=90°， ..EF=CF2+CE2=5 —5 ·△AEF是△ADE折叠而来 ·.ED=EF=5,DC=AB=5+3=8 ·四边形ABCD是矩形 .∠C=∠B=∠AFE=90° ·.∠BAF+∠AFB=90°，∠AFB+∠EFC=90° .∠BAF=∠EFC w .ta∠BAF=tan∠EFC=4, BF3 即AB4, BF=3AB-6 4 .AD=BC=6+4=10 ∴.AE=VAD2+DE2=5V5 8、如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两 点的俯角a、B分别为60°和30°，若该摆绳CD的长度为6Cm,此时.点F相对于点E升高了() A 、BB D 6 A.3cm B.33cm c.(33-3em D.(33+3)em 【答案】C 【详解】解：过，点E作EM⊥CD,FN⊥CD 由题意，可知：CF=CD=CE=6cm,AB⊥CD, .∠ECM=90°-a=30°，∠FCW=90°-B=60° .CM=CE.cos:30°=3W5,CN=CF.cos60°=3， MN=CM-CN=(33-3)cm A a1 、BB Nh. M D 9、如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得，点P在北偏东30°方向上，若AP=6V5 千米，则，点AB两，点的距离为()千米. P 北 B09 60° y B A.4 B.4V5 C.2 D.6 【答案】D 【详解】解：由题意可知，∠PAC=30°，∠PBC=60°， —7— ..AP=6V3 PC=4Psin3?0°=号x6N5=35 4C=4PCOS60=63x 2 BC=-PC3V3 mo5-3. .AB=AC-BC=9-3=6, IO、如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两，点，且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF 相交于，点G,连接BG.若AB=4，,BC=6,则sin∠GBF的值为(） D G E 10 3V10 1 A.10 B.10 C.3 【答案】A 【详解】解：矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6, ..AD=BC=6,AD /BC,BE=EF=FC=2, △AGDAFGE,BF=4, FG EF 1 .AG AD 3, —8 FG 1 ..AF4 过，点G作GH⊥BC,则：GH∥AB, A D B E H F C .△GHF∽△ABF FH GH FG 1 .BF AB AF 4, FH=IBF=1 GH=1AB=1 4 4 .BH=BF-FH=3 .BG=V12+32=V10, :sin∠GBF=HC-110 BGV1010; 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1、在R△4C中，∠C=90,cosB-号 3,BC=6,则AB的长为一· 【答案】9 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据余弦的定义： COs B=BC AB, —9 2 已知c0sB 26 3, BC=6,代入得：3AB, AB=6÷ 2 =9 解得 3 故答案为：9. 12、在△ABC中，若 cos4-+(1-tan B)=0 2 ,∠A,∠B都是锐角，则△ABC是 一三角 形 【答案】等腰直角 cos4-V 【详解】解：由。 2 +0-tamB=0可得 cosA、 2 -=0,1-tan B=0 ,cosA= -,tan B=1 2 解得：∠A=45,∠B=45°，则∠C=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角， 1B、如图，在R△ABC中，∠BC=90,BD14C于点D,AC=10,QoC =5,那么AD=— —10— A D B 2 【答案】5 【详解】解：cosC=3 ,AC=10, BC=ACcosC=10×2=6 5 又BD⊥AC, CD-BCcosC=6x318 55, AD=AC-CD=10-18_32 55, 32 故答案为：5· 14、在口ABCD中，对角线AC,BD相交于，点O.若AB=4,BD=10, sin∠BDC=3 ,则口ABCD 的面积是 【答案】24 -11 【详解】解：作OE⊥CD于E,如图所示： ) ,四边形ABCD是平行四边形，AB=4,BD=10, ..OA=OC,OB=OD=2 BD=5,CD=AB-4, sin∠BDC= , .OE=3, :DE=V52-32=4 CD=4, 点E与点C重合， ∴AC⊥CD,OC=3, .∴AC=20C=6, ∴.平行四边形ABCD的面积=2 CD4C=4×6=24 故答案为：24. 15、如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD,DC∥AB,斜坡AD长为8 米，坡角a为30°，斜坡BC的坡角B为45°，则斜坡BC的长为_ —12— D Q Aa 【答案】4V2米 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E,CF⊥AB于点F, 0 c A a B E F B DC∥AB, ..CF=DE, 在Rt△ADE中， AD=8米，坡角a=30°， DE=ADsin a=8sin30°=4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角B=45°， BC=CF、4 =4V2 sinB√2 2 故答案为：4V2米 16、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上且AB‖OC,线段 OA?AB的长分别是方程X-9X+20=0的两个根（OA<AB)，RQ分别为OAOC上两点， 13 OQ=5?将△POQ翻折，使.点0落在边AB上的点D处，则an∠PQD= 【塔】分 【详解】解：x-9x+20=0 x-4x-5=0 得X1=4,X2=5」 OA<AB, ∴.OA=4,AB=5, 连接BQ, .'AB‖OC,OQ=AB=5, ∴.四边形AOQB为平行四边形 .∠A0Q=90°， .∴.四边形AOQB为矩形， .∴.BQ=OA=4,∠ABQ=90°， ∴.DB=DQ2-BQ=3, -14 ∴.DA=AB-DB=5-3=2, 由△POQ翻折，使点O落在AB上的点D处， ∴.OP=DP,∠PQD=∠PQO .AP=AO-PO=4-PO=4-PD .∠PAD=90° ∴.AP2+AD=PD2 ∴.4-PD2+2=PD2 m ..PO=PD=5 2 tan∠PQD=tan∠PQ0=PO=2=l. Q052 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算：(1)V3sin45°-2sin260°-tan60°.cos30 (2)c0s245°+sin450.c0s300- V18 tan60° 13V6 答1；224 —15— 3 2 【详解】（1）5sin45°-2sin260°-tan60'·cos30 -5x56-3 2 22 (2）c0s245+sin450.c0s30°-Vi8 2+2x5-36 tan60° 222V324 2 18、如图，在△ABC中，AD是BC边上的商，∠C=45sB-克，AD=2,求BC的长. B D 【答案】3V5+2 【详解】解：AD是BC边上的高， .∠ADB=∠ADC=90° 2 .simB=号∠C=45,AD=2 .4B CD=AD=2 AD 2 .AB=7 BD=VAB2-AD2=V72-22=35, .BC=BD+CD=35+2, 即BC的长3V5+2. 19、小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格立度为2m的横格纸户，怡好日个顶点都在桃格气上，已知《=6 ,求长方形卡 —16— 片的周长.”作BE11于，点E,DF⊥I于，点F.请你帮小强解答这道题.（结果精确到1mm) 参考数据： sin36°=0.60， c0s36°=0.80， tan36°=0.75。 【答案】200mm 【详解】解：a+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°， ∴∠ADF=a=36° 根据题意，得BE=24mm,DF=48mm. BE sina= 在Rt△ABE中， AB :.AB=-BE24 sin36°0.60 =40(mm) 在RtADF中， Cos∠ADF=DF AD .AD=DF 48 cos36°0.80=60(mm） 六矩形4BCD的周长=2(40+60)=200(mm） 20、如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，，点C在 点A的正东方向，AC=200米，，点E在，点A的正北方向，点B,D在点C的正北方向，BD=150 米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，求步道AE的长. —17— D 北 →东 B 【答案】(200W5-50)米. 【详解】解：如图，过，点D作DF⊥AE交AE于点F,则DF=AC=2O0米，AF=CD, D 045 B 309 根据题意得：∠DEF=45°，∠ABC=∠EAB=30° .△DEF是等腰直角三角形， .DE=V2DF=200W2米，EF=DF=200米， AC=200米， BC= AC 200 =200V3 tan∠ABCV3 米， 3 .AF=CD=BC+BD=(200V3+150)米， AE=AF-EF=(2005+150)200=(2005-50）米 签：步道AE的长(200V3-50)米 —18— 21、为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷， 便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠 墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确 到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，c0sl6°≈0.96，tan16°≈0.29) B 16°1-7A 445o D E 【答案】2.2米 【详解】解：如图所示，过，点A作AG⊥BC于，点G,AF⊥CE于点F,则四边形AFCG是矩 形， B G 169 450 D FE 依题意，∠BAG=16°，AB=5(米) 在Rt△ABG中，GB=AB×sin∠BAG=5×sin16°≈5×0.28=1.4（米）， 1G=ABxc0s16°≈5x0,96=4.8(米，到CF=1G=48（米 ·BC=4(米) AF=CG=BC-BG=4-1.4=2.6(米) 19 ·∠ADF=45°， ·.DF=AF=2.6(米) CD=CF-DF=4.8-2.6=2.2(米). 22、(1)计算：sin230°+cos230°- ,sin245°+cos245°= sin260°+cos260°= (2)猜想：sin2a+cos2a= (3)根据上述猜想结果，解决下面的问题： 12 ina.cosa= 若 25,且0°<a<45°，求sina-cosa值. 1 【答案】(1)1,1,1；(2)1；(3)5 13 【详解】解：(1)sin230°+cos230°=44=1； 1,1 sin245°+cos245°=2'2=1； 3.1 sin260°+cos260°=44=1； (2)由(1)可得： sina+cos'a=1 12 sina·cosa= (3).sin2a+cos2a=1 25 -20 (sina-cosa)+2sinacosa=sina+cosa (sina-cosm}+2×12=1 25 (sina-cosa=75 0°<a<45°， .∴.sina<cosa sina-cosa= 5 23、项目化学习 项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道， 项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》，某校“综合与实 践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习， BC D a 地面MA GF 地面EN 图1 图2 研究步骤：(1)查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； (2)实地测量图书馆门口场地的大小； (3)为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无 21 障碍通道比较合适. 设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中MN为地面所在 水平线，CD和DF是无障碍通道，并且∠CDF=2∠DFE,立柱CG,DE均垂直于地面，GE=6 米，FE=4米， 解决问题：若原台阶坡道的长度（线段AB的长度）为5米，坡角&的度数为23°，BC∥MN,求出 无障碍通道的总长（线段CD和DF的和）为多少米？（结果保留根号.参考数据：sin23°≈0.40， cos23°≈0.92tan23°≈0.42 【答案】2√26米 【详解】解：延长MN,CD,交于点H,过，点B作BK⊥MN于，点K,如图所示： BC D MA KGF 地面ENi… 则∠BKG=∠BKA=90° ..BC//MN, .∠KBC=180°-∠BKG=90° .CG⊥MN, .∠CGK=∠CGH=90° ·.∠BKG=∠CGK=∠CBK=90° 22 四边形BCGK为矩形， ..BK =CG AB=5米，a=23°， .BK=ABx sina=5xsin23°≈2（米）， CG=2米， :∠CDF=2LDFE,∠CDF=∠DFE+∠DHE, .DFE=∠DHE, ..DF=DH, DE⊥FH, .EH=EF=4米， .GH=GE+EH=6+4=10(米)， 在Rt△CGH中，根据勾股定理得： CH=CG+GH=2+10=226(米)， .CD+DF =CD+DH=CH=226. 24、如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A 处测得建筑物项端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3,AB=1010 米，CD⊥BN.(点A,B,C,D在同一竖直平面内)， 23 i=1:3 A30° M (I)求平台BN的水平高度； (2)求建筑物的高度（即CD的长）· 【答案】(1)10米 255-15)米 【详解】(1)解：过点B作BE⊥AM于，点E,则∠AEB=90° i=1:3 A30° M E BE 1 i= 斜坡4B的坡度AE3 .'AE=3BE 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2, 即(3BE+BE2=(101可， .BE=10米， ∴.平台BN的高度是10米. 24 (2)解：延长CD交AM于点F, B60H D i=1:3 A30° M E F :CD⊥BN,BN∥AM, .CD⊥AM, ∴.四边形BDFE是矩形， ∴.DF=BE=10米，BD=EF, 设CD=x米，则CF=CD+DF=x+I0(米)， .在Rt△ACF中，∠CAF=30°， AF=CF =x+10=5(x+10) tan∠CAF tan30° (米)， .在Rt△BCD中，∠CBD=60°」 BD= CD =-x an∠BDan60-3×(米)， EF=BD= =3x米， 由(1)有AE=3BE=3×10=30(米)， .AF=AE+EF —25 5(c+10)=30+ 3 解得x=153-15, .CD=155-15(米)， 即建筑勒的高度（即CD的长）为55-l15)米. —26 一 第3章 锐角三角函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2、在中，，，，则BC的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3、如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4、下列说法中，正确的有（  ）个 ①为锐角，则； ②﹔ ③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔ ④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； ⑤； ⑥当的三边长扩大为倍时，则的值也相应扩大倍． A． B． C． D． 5、中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6、如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 7、如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕（　　　） A． B． C．8 D．10 8、如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 9、如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 10、如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、在中，，，，则的长为______． 12、在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 13、如图，在中，，于点D，，，那么 ． 14、在中，对角线AC，BD相交于点O．若AB=4，BD=10，，则的面积是_________． 15、 如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________． 16、如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算：(1) (2) 18、如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 19、小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 20、如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点A的正东方向，米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，求步道的长． 21、为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 22、（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 23、项目化学习 项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道． 项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习． 研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； （2）实地测量图书馆门口场地的大小； （3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案： “综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米． 解决问题： 若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，） 24、如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的水平高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $