培优课 圆锥曲线的综合问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦圆锥曲线综合问题，涵盖最值（范围）、定点定值、探索性三大核心题型，通过例题导入连接圆锥曲线定义与性质，搭建从基础到综合应用的学习支架。 资料以规律方法总结为核心，结合“破题思维”引导转化题目信息，例题与训练题注重逻辑推理和数学运算，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达结论的能力，助力掌握综合解题策略，提升数学核心素养。

　圆锥曲线的综合问题 1.理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）． 2.掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）． 一、最值（范围）问题 （1）已知双曲线－=1与双曲线－=1（其中a＞0，b＞0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S2，则的最大值为（　　） A．　　 B．1　　C．　　 D．2 （2）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=－4，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，Q为曲线C：x2－10x＋y2－2y＋22=0上的一个动点，则|PF|＋|PQ|的最小值为（　　） A．7　 B．7 C．8　 D．8 听课记录　　 　　 规律方法 圆锥曲线中最值（范围）问题的求法 （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形的特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的性质法等． 训练 1　如图所示，点A，B分别是椭圆＋=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为（　　） A．　 B． C．4　 D．6 二、定点、定值问题 已知椭圆＋=1（a＞b＞0）的一个顶点为D（0，－1），离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点且斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于直线OP（其中O为坐标原点），证明：直线l过定点． 【破题思维】 题目信息 信息转化 椭圆＋=1（a＞b＞0）的一个顶点为D（0，－1），e= 联想到椭圆焦点在x轴上，b=1，e==，由a2=b2＋c2，可求a，b的值，进而得到椭圆方程 过椭圆右焦点且斜率为k的直线m，与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于OP，证明直线l过定点 证明直线l过定点，可先求出直线l的方程，易知直线m：y=k（x－1），由m与椭圆方程联立可得xP，代入直线m可得yP，进而可得kOP，kl，又E（0，－k），故可得直线l的方程，再求定点即可 规律方法 定点、定值问题的解题策略 （1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零后解出定点； （2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常数，即为定值． 训练 2　已知双曲线C的方程为－=1（a＞0，b＞0），虚轴长为2，点A（－4，－1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）过原点O的直线与双曲线C交于S，T两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值． 三、探索性问题 已知直线x＋y＋=0与椭圆E：＋y2=1有且只有一个公共点． （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x－y－λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 规律方法 有关探索性问题的解题技巧 （1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再证明求出来的量符合题目条件； （2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在． 训练 3　已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点A（2，0）的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，△MNF的周长为9. （1）求C的方程； （2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM=∠OPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由． 完成课后作业　第三章　培优课 答案 培优课　圆锥曲线的综合问题 【例 1】　（1）A　（2）A　解析：（1）易知两个双曲线的焦距相等．由题设得==≤=，当且仅当a=b时，不等式取“=”，故的最大值为． （2）由题意可知，抛物线方程为y2=16x，曲线C：（x－5）2＋（y－1）2=4，如图，过点P作PA⊥准线x=－4于点A，则|PA|=|PF|，∴|PF|＋|PQ|=|PA|＋|PQ|，要使|PA|＋|PQ|最小，只需A，P，Q三点共线且|QA|最小即可，则需点Q到直线x=－4的距离最短，∵点Q到直线x=－4的最短距离为9－2=7，∴|PF|＋|PQ|的最小值为7. 训练 1　B　由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P（，）．直线AP的方程是x－y＋6=0，设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是=|m－6|，又－6≤m≤6，解得m=2.由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，得d2=（x－2）2＋y2=x2－4x＋4＋20－x2=（x－）2＋15，由于－6≤x≤6，由f（x）=（x－）2＋15的图象可知，当x=时，d取最小值，且最小值为． 【例 2】　解：（1）依题意，=， ∴a2=2c2， 又b=1，a2=b2＋c2，∴c2=1，∴a2=2， ∴椭圆的标准方程为＋y2=1. （2）证明：由（1）知右焦点坐标为（1，0），则直线m的方程为y=k（x－1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2=0， Δ=（－4k2）2－4（1＋2k2）（2k2－2）=8k2＋8＞0恒成立， ∴x1＋x2=， ∴xP=， yP=k（xP－1）=， ∴直线OP的斜率kOP==－， ∴直线l的斜率kl=2k．易知点E坐标为（0，－k）， ∴直线l的方程为y=2kx－k，即y=2k（x－）， ∴直线l恒过定点（，0）． 训练 2　解：（1）因为虚轴长2b=2，所以b=1. 因为点A（－4，－1）在双曲线C上， 所以－=1，解得a2=8. 故双曲线C的方程为－y2=1. （2）证明：设S（x0，y0），则T（－x0，－y0）， 所以kAS•kAT=•=． 因为点S（x0，y0）在双曲线C上， 所以－=1，得1－=2－， 于是kAS•kAT===，所以直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是． 【例 3】　解：（1）联立消去y得（1＋a2）x2＋2a2x＋2a2=0， ∵直线x＋y＋=0与椭圆E：＋y2=1有且只有一个公共点， ∴Δ=（2a2）2－8a2（1＋a2）=0，解得a2=2，即椭圆E的方程为＋y2=1. （2）假设存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P，Q关于直线2x－y－λ=0对称， 设lPQ：x＋2y＋t=0，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立 消去x得6y2＋4ty＋t2－2=0，则Δ=16t2－24（t2－2）＞0，解得－＜t＜， 由根与系数的关系得y1＋y2=－，∴x1＋x2=－2（y1＋y2）－2t=－， ∴2×－－λ=－＋－λ=－－λ=0，∴λ=－∈， ∴存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x－y－λ=0对称， 且λ的取值范围是． 训练 3　解：（1）当MN与x轴垂直时，|MF|=|NF|=2＋，|MN|=4， 从而有4＋p＋4=9，解得p=1，所以抛物线C的方程为y2=2x． （2）假设存在点P使得∠OPM=∠OPN恒成立， 设P（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2）， 由题可知直线l斜率不为零，设l：x=my＋2，代入抛物线方程y2=2x消去x， 得y2－2my－4=0，从而y1＋y2=2m，y1y2=－4，① 由∠OPM=∠OPN可得kMP＋kNP=0，而kMP＋kNP=＋ =＋ =， 将①代入， 从而得=0恒成立，所以x0=－2， 因此存在点P满足题意，P点坐标为（－2，0）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $