培优课 椭圆的综合问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦椭圆的综合问题，涵盖实际应用、最值（范围）及直线与椭圆综合三大核心知识点。通过“挞圆”形水池等实际情境导入，衔接椭圆标准方程与几何性质，搭建从具体问题到数学抽象的学习支架。 资料以例题为载体，融合规律方法与分层训练，助力学生用数学眼光抽象实际问题，通过逻辑推理与数学运算解决最值及综合问题，培养模型意识与应用意识，提升数学思维与表达能力。

　椭圆的综合问题 1.理解和掌握与椭圆有关的最值（范围）问题的解决方法（数学运算）． 2.掌握直线与椭圆的综合问题及椭圆的实际应用问题（逻辑推理、数学运算）． 一、椭圆的实际应用问题 如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋=1（x≤0）和＋=1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）． （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值． 规律方法 求解椭圆实际应用问题的思路 （1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题； （2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解； （3）用解得的结果说明原来的实际问题． 训练 1　椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点F2处，灯丝与反射镜的顶点A的距离|F2A|=2 cm，过焦点F2且垂直于轴的弦|BC|=6.4 cm，在x轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（　　） A．10 cm B．8 cm　　 C．6 cm D．13 cm 二、与椭圆有关的最值（范围）问题 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（－2，0），离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求|PQ|的最大值． 规律方法 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解； （3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解． 训练 2　（1）若点（x，y）在椭圆4x2＋y2=4上，则的最小值为（　　） A．1　 B．－1 C．－　 D．以上都不正确 （2）在椭圆＋=1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16=0的距离最短，并求出最短距离． 三、直线与椭圆的综合问题 （链接教材P113例6）已知点F（，0），直线l：x=，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的． （1）求曲线C的方程； （2）对于D（－1，0），是否存在实数k，使得直线y=kx＋2分别交曲线C于点P，Q，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 规律方法 解决直线与椭圆综合问题的注意点 （1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论（也可将方程设成用y表示x的形式）； （2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更简单； （3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用． 训练 3　 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2=1，椭圆C2：＋=1，直线l与椭圆C1只有一个公共点，且与椭圆C2交于A，B两点． （1）当直线l倾斜角为135°时，求直线l的方程； （2）求证：△AOB的面积为定值． 完成课后作业　第三章　培优课 阶段检测（五） 答案 培优课　椭圆的综合问题 【例 1】　解：（1）由题意知b=15，a＋9=34，解得a=25，b=15. 所以“挞圆”方程为＋=1（x≤0）和＋=1（x≥0）． （2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点， 则＋=1，＋=1，可得x1=－x0. 所以内接矩形的面积S=2t（x0－x1）=2t•x0=15×34×2••≤15×34（＋）=510， 当且仅当=时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米． 训练 1　C　设椭圆的方程为＋=1（a＞b＞0），则有解得由椭圆的光学性质可知左焦点为光线最强处，所以片门应离灯丝2c=6（cm），故选C． 【例 2】　解：（1）设椭圆C的标准方程为＋=1（a＞b＞0）． 由题意得解得c=1，所以b2=a2－c2=3， 所以椭圆C的标准方程为＋=1. （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=x＋t． 由得7x2＋8tx＋4（t2－3）=0， 由Δ=（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2=－t，x1x2=， 所以|PQ|=•|x1－x2| =• =• =•， 又0≤t2＜7，所以当t=0时， 可得|PQ|max=． 训练 2　（1）C　设=k，则y=k（x－2）．由消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）=0，由题意得Δ=16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－≤k≤，所以的最小值为－．故选C． （2）解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=x＋m，代入＋=1， 并整理得4x2＋3mx＋m2－7=0， 由Δ=9m2－16（m2－7）=0得m2=16，∴m=±4， 故两切线方程为y=x＋4和y=x－4， 显然y=x－4即3x－2y－8=0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y=x－4与椭圆的切点即为所求点P， 故所求最短距离为d===． 由得 即P（，－）． 【例 3】　解：（1）设P（x，y），由已知得=|x－ |， 整理得＋y2=1，即为曲线C的方程． （2）记P（x1，y1），Q（x2，y2）． 将y=kx＋2代入＋y2=1， 得（3k2＋1）x2＋12kx＋9=0，（*） x1，x2是此方程的两个相异实根， 设PQ的中点为M， 则xM==－， yM=kxM＋2=， 由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ， ∴kDM===－， ∴3k2－4k＋1=0，解得k=1或k=． 但k=1，k=均使方程（*）没有两相异实根， 故满足条件的实数k不存在． 训练 3　解：（1）因为直线l倾斜角为135°，直线l的方程为y=－x＋b，因为椭圆C1：＋y2=1， 直线l与椭圆C1只有一个公共点，联立方程得3y2－2by＋b2－2=0， 所以Δ=4b2－12（b2－2）=0，所以b=±，所以直线l的方程为x＋y＋=0或x＋y－=0. （2）证明：因为直线l与椭圆C1只有一个公共点，当斜率存在时，设直线l为y=kx＋b，由得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－2=0，所以Δ=16k2b2－4（2k2＋1）（2b2－2）=0，所以2k2－b2＋1=0， 又因为直线与椭圆C2交于A，B两点得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－4=0， 所以 因为直线l与y轴交于点（0，b），所以S△AOB=|b|×|x1－x2|=|b|•=|b|• =|b|=|b|•=． 当直线l的斜率不存在时，l：x=±．代入椭圆C2的方程得，y=±1，所以S△AOB=××2=． 综上所述，△AOB的面积为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $