3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦椭圆的几何性质，通过“天宫一号”运行轨迹的生活情境导入，引导学生观察椭圆图形，从范围、对称性、特殊点等角度探究，构建从直观想象到抽象性质的学习支架，衔接椭圆标准方程与几何意义的关联。 资料以问题驱动学习，通过微思考、规律方法总结及分层训练，结合高考真题强化数形结合，离心率专题多解法培养逻辑推理，帮助学生用数学眼光观察、思维分析和语言表达，提升直观想象与数学应用能力，适合自主学习与课堂教学。

第一课时　椭圆的几何性质 课标要求 情境导入 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义（直观想象）． 2.会利用椭圆的几何性质解决相关问题（数形结合）． “天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等，下面我们就利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质． 知识点　椭圆的几何性质 问题　观察椭圆＋=1（a＞b＞0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋=1 （a＞b＞0） ＋=1 （a＞b＞0） 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1（－a，0），A2（a，0）， B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0） 轴长 长轴长=　　，短轴长=　　 焦点 F1（－c，0），F2　　 F1（0，－c），F2　　 焦距 |F1F2|=　　 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：　　　 离心率 e=　　（0＜e＜1） 提醒：椭圆的焦点一定在它的长轴上． 【微思考】 椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？到焦点呢？ 角度1　椭圆的几何性质 （链接教材P112例4）求椭圆9x2＋25y2=225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 规律方法 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质． 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 角度2　由椭圆的几何性质求标准方程 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； （2）离心率e=，短轴长为8． 规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数； （4）写出椭圆的标准方程． 训练 1　（1）〔多选〕已知椭圆C：＋=1的焦点分别是F1，F2，P为C上的动点，则（　　） A．（0，3）是一个顶点 B．C的长轴长为2 C．|PF1|的最小值为2－ D．C的离心率为 （2）（2026•长沙长郡中学高二月考）已知椭圆C：＋=1（m＞0）的离心率为，则m=　　　　； （3）求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； ②过点（3，0），离心率e=． 提能点　椭圆的离心率 问题　扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度．请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提醒：（1）e===；（2）e越接近于1，椭圆越扁平；e越接近于0，椭圆越接近于圆．（可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆） （1）（2023•新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2=1（a＞1），C2：＋y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a=（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． （2）〔一题多解〕设椭圆C：＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为　　　　． 听课记录　　 　　 变式 　若本例（2）中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°，∠PF1F2=45°”，则C的离心率为　　　　． 规律方法 求椭圆离心率的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e=求解．若已知a，b或b，c可借助于a2=b2＋c2求出c或a，再代入公式e=求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值（范围）． 训练 2　（1）下列椭圆中，哪一个更扁平（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 （2）（2026•徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为　　　　． 1.已知椭圆C：＋=1，则下列结论正确的是（　　） A．长轴长为9　 B．短轴长为2 C．焦距为2　 D．离心率为 2.若椭圆经过点B（0，），且焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，0），则椭圆的离心率为　　　　． 3.已知P是椭圆＋=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程是　　　　． 4.（2026•淄博月考）已知椭圆＋=1（a＞b＞0）有两个顶点在直线x＋2y=2上，则此椭圆的焦点坐标为　　　　． 答案 第一课时　椭圆的几何性质 知识点　 导入新知 问题　提示：范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；顶点：A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）． 学习新知 2a　2b　（c，0）　（0，c）　2c　（0，0）　 微思考 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近，为b；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远，为a；椭圆上到焦点的距离最远和最近的点分别是长轴的两个端点，最远距离为a＋c，最近距离为a－c． 【例 1】　解：将已知椭圆方程化成标准方程为＋=1，所以a=5，b=3，c==4. 因此，长轴长2a=10，短轴长2b=6， 离心率e==． 焦点坐标分别是为F1（－4，0）和F2（4，0）， 顶点坐标分别是为A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）． 【例 2】　解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋=1（a＞b＞0）， 因为长轴长为4，焦距为2，所以2a=4，2c=2，所以a=2，c=1，所以b==， 所以椭圆的标准方程为＋=1. （2）由e==，得c=a， 又2b=8，a2=b2＋c2. 所以a2=144，b2=80， 所以椭圆的标准方程为＋=1或＋=1. 训练 1　（1）AC　（2）8或2　解析：（1）对于A，因为a2=20，b2=18，所以a=2，b=3，（±2，0）与（0，±3）是椭圆的顶点，故A正确；C的长轴长2a=4，B错误；|PF1|min=a－c=2－，C正确；C的离心率e==，D错误．故选A、C． （2）椭圆C：＋=1（m＞0）的离心率为，当椭圆焦点在x轴上时，=，解得m=8；当椭圆焦点在y轴上时，=，解得m=2. （3）解：①依题意可设椭圆的标准方程为＋=1（a＞b＞0）． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且|OF|=c，|A1A2|=2b， 所以c=b=3， 所以a2=b2＋c2=18， 故所求椭圆的标准方程为＋=1. ②当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋=1（a＞b＞0），由题意得a=3， 因为e=，所以c=，从而b2=a2－c2=3，所以椭圆的标准方程为＋=1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋=1（a＞b＞0），由题意得b=3， 因为e=，所以=， 把b=3代入，得a2=27，所以椭圆的标准方程为＋=1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋=1或＋=1. 提能点　 导入新知 问题　提示：保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e==减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e==增大，椭圆越扁平． 【例 3】　（1）A　（2）　解析：（1）由题意知e1=，e2==，因为e2=e1，所以=×，得a=．故选A． （2）法一　由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m，故离心率e=====． 法二　由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程，解得y=±，所以|PF2|=．又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c=•，变形可得（a2－c2）=2ac，等式两边同除以a2，得（1－e2）=2e，解得e=或e=－（舍去）． 变式　　解析：在△PF1F2中，因为∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°，所以∠F1PF2=60°，设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，m＋n=2a，则在△PF1F2中，由正弦定理得==，所以=，所以e====． 训练 2　（1）D　（2）［，1）　解析：（1）由e==，∵e越大越扁平，即越小越扁平，对比选项选D． （2）依题意可得2c≥2b，即c≥b．所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2=≥，所以e≥．又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是［，1）． 随堂自测 1.D　由椭圆方程知a=3，b=2，c=，故长轴为6，短轴为4，焦距为2，离心率为．故选D． 2.　解析：由于椭圆经过点B（0，），且焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，0），所以椭圆的焦点在x轴上，且b=，c=1，a==2，所以椭圆的离心率为e==． 3.＋=1　解析：设椭圆的半焦距为c＞0，由题意可得解得所以椭圆方程为＋=1. 4.（±，0）　解析：在x＋2y=2中，由y=0得x=2，由x=0得y=1，则该直线交x轴于点（2，0），交y轴于点（0，1），依题意得a=2，b=1，则c==，显然，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标是（±，0）． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $