1.2 空间向量基本定理(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理，课堂导入通过回顾平面向量基本定理，类比提出空间向量能否用三个不共线向量表示的问题，搭建从二维到三维的知识迁移支架，帮助学生建立前后知识联系。 资料涵盖知识点解析、即学即练、例题变式及规律总结，通过基底表示、定理应用等环节培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，习题设计有梯度，助力学生掌握立体几何问题求解方法，提升自主学习与问题解决能力。

1.2　空间向量基本定理 课标要求 情境导入 1.掌握（课标变化：理解→掌握）空间向量基本定理及其意义并会简单应用（数学抽象、逻辑推理）． 2.会用基底表示空间向量（数学抽象）． 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（数学运算、逻辑推理）． 　　回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示．那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？ 知识点一　空间向量基本定理 问题　类比平面向量基本定理，p是空间任意一个向量，对于空间三个向量a，b，c，向量p能否用向量a，b，c来表示？ 1.空间向量基本定理 条件 三个　　　　的向量a，b，c和　　　　　　空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p=　　　　　　 2.基底：如果三个向量a，b，c　　　　，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做　　　　． 3.单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两　　　　，且长度都为　　　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4.正交分解 把一个空间向量分解为三个两两　　　　的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．（　　） （2）若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．（　　） （3）已知向量，，不能构成空间中的一个基底，则O，A，B，C四点共面．（　　） 2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p=a＋b，q=a－b构成基底的向量是（　　） A．a　 B．b C．a＋2b　 D．a＋2c 3.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p=a－2b＋3c，若p=x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则x＋y＋z=　　　　． 规律方法 判断基底的基本思路 　　判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底． 知识点二　用基底表示空间向量 （链接教材P12例1）如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知=a，=b，=c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，． 变式 　若把本例中的“=a”改为“=a”，其他条件不变，则结果是什么？ 规律方法 用基底表示向量的步骤 训练 1　（1）（2026•浙江温州高二质检）如图，四棱锥P－OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC．设=a，=b，=c，E是PC的中点，则（　　） A．=－a－b＋c B．=－a－b＋c C．=－a＋b＋c D．=－a－b－c （2）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE=BB1，DF=DD1，若=x＋y＋z，则x＋y＋z=　　　　． 提能点　空间向量基本定理的应用 角度1　证明空间位置关系 （链接教材P13例2、例3（1））如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： （1）EF∥平面PAD； （2）EF⊥平面PCD． 规律方法 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行； （2）把要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0. 角度2　求空间角 （链接教材P13例3（2））如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为　　　　． 【破题思维】 题目信息 信息转化 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5 ①∠ACB=90°，AC，CB，CC1两两垂直； ②{，，}可构成空间的一个正交基底 求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值 用，，分别表示，，借助向量数量积运算求出所成角的余弦值 听课记录　　 　　 规律方法 基向量法求空间角的基本思路 　　将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角（或其补角），再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角． 角度3　求距离（长度） 在正四面体PABC中，AB=2，且E，F分别为AC，PB的中点，则EF的长为　　　　． 听课记录　　 　　 　　 规律方法 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度． 训练 2　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG=CD． （1）证明：EF⊥B1C； （2）求EF与C1G所成角的余弦值． 1.在长方体ABCD －A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（　　） A．，，　 B．，， C．，，　 D．，， 2.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判断位置关系 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点O为空间内任意一点，设=a，=b，=c，则向量可用a，b，c表示为=　　　　． 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，则线段PC的长为　　　　． 完成课后作业　第一章　1.2 答案 1.2　空间向量基本定理 知识点一　 导入新知 问题　提示：不一定，当向量a，b，c不共面时可以． 学习新知 1.不共面　任意一个　xa＋yb＋zc 2.不共面　基向量　3.垂直　1　4.垂直 即学即练 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.D　能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a=，b=，a＋2b=p－q，∴A、B、C都不符合题意．∵{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底． 3.4　解析：p=x（a＋b）＋y（a－b）＋zc=（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，又p=a－2b＋3c，所以故x＋y＋z=1＋3=4. 知识点二　 【例 1】　解：因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以=＋=＋（＋）=＋＋=＋（－）＋=＋＋=（a＋b＋c）． 连接A′N（图略），所以=＋=＋（＋）=＋（＋）=a＋b＋c． 变式　解：因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点， 所以=（＋）=a＋b． 连接AB′（图略），所以=（＋）=（＋＋）=＋＋=＋（－）＋=＋－=a＋b－c． 训练 1　（1）B　（2）　解析：（1）=－=（＋）－（＋）=－－＋=－a－b＋c．故选B． （2）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，因为BE=BB1，DF=DD1，所以=＋＋＋=－－＋＋=－－＋＋=－＋＋．因为=x＋y＋z，所以x=－1，y=1，z=，所以x＋y＋z=－1＋1＋=． 提能点　 【例 2】　证明：（1）连接PF（图略），因为E，F分别为PC，BD的中点，则=－=（＋）－=＋（－）=＋=＋，所以向量，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD． （2）因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD⋂底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA． 因为PA=PD=AD， 所以PA⊥PD， 所以•=（＋）•=•=0， •=（＋）•=•=0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD， 又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD⋂CD=D，所以EF⊥平面PCD． 【例 3】　　解析：在△ABC中，因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2＋BC2=AB2，故∠ACB=90°，即AC⊥BC．设=3a，=4b，=4c，向量，，不共面且两两垂直，则{a，b，c}构成空间的一个单位正交基底．因为=－=4c－3a，=＋=4c＋4b，所以•=（4c－3a）•（4c＋4b）=16c2=16，又||==5，||==4，所以cos〈，〉===，故异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为． 【例 4】　　解析：连接AF（图略），在正四面体PABC中，设=a，=b，=c，则a•c=a•b=b•c=2×2×cos 60°=2，则=＋=－＋（＋）=（a－b＋c），||== =×=． 训练 2　解：（1）证明：设=i，=j，=k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． 所以=＋=－k＋（＋）=i＋j－k，=＋=－i－k， 所以•=（i＋j－k）•（－i－k）=－|i|2＋|k|2=0， 所以EF⊥B1C． （2）因为=i＋j－k，=＋=－k－j， ||2=（i＋j－k）2=|i|2＋|j|2＋|k|2=3，||=， ||2=（－k－j）2=|k|2＋|j|2=4＋=，||=， 所以cos〈，〉====． 即EF与C1G所成角的余弦值为． 随堂自测 1.C　由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底． 2.C　因为=－，所以•=•（－）=•－•=1×1×－1×1×=0，故⊥，即AB与CD垂直． 3.a－b＋c　解析：=＋=＋=＋（－）=a－b＋c． 4.7　解析：∵=＋＋，∴||2=（＋＋）2=||2＋||2＋||2＋2•＋2•＋2•=62＋42＋32＋2||||cos 120°=61－12=49，∴||=7，即PC=7. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $