1.2 空间向量基本定理(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过回顾平面向量基本定理，类比提出空间向量能否用三个不共面向量表示的问题，搭建从平面到空间的知识支架，帮助学生建立前后知识脉络。 其亮点在于以数学抽象（基底概念）、逻辑推理（定理应用证明）、数学运算（向量表示与计算）为核心，结合即学即练、变式训练及证明位置关系、求空间角等实例，通过规律方法总结和分层作业，助力学生深化理解，教师可提升教学针对性和效率。

1.2　空间向量基本定理 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.掌握（课标变化：理解→掌握）空间向量基本定理及其意义并会简单应用（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用基底表示空间向量（数学抽象）. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 　回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　空间向量基本定理 知识点二　用基底表示空间向量 提能点　空间向量基本定理的应用 小结与自测 课时作业 知识点一　空间向量基本定理 目录 5 问题　类比平面向量基本定理，p是空间任意一个向量，对于空间三个向 量a，b，c，向量p能否用向量a，b，c来表示？ 提示：不一定，当向量a，b，c不共面时可以. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 空间向量基本定理 条件 三个 的向量a，b，c和 空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝ ⁠ ⁠ 2. 基底：如果三个向量a，b，c ，那么{a，b，c}叫做空间 的一个基底，a，b，c都叫做 ⁠. 不共面　 任意一个　 xa＋yb＋ zc 不共面　 基向量　 数学·选择性必修第一册 目录 3. 单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都 为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 垂直　 1　 4. 正交分解 把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正 交分解. 垂直　 数学·选择性必修第一册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底. （　×　） （2）若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量. （　√　） （3）已知向量 ， ， 不能构成空间中的一个基底，则O，A， B，C四点共面. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a －b构成基底的向量是（　　） A. a B. b C. a＋2b D. a＋2c 解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面.∵a＝ ，b＝ ，a＋2b＝ p－ q，∴A、B、C都不符合题意.∵{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p＝a－2b＋3c，若p＝ x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则x＋y＋z＝ ⁠. 解析：p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋ zc，又p＝a－2b＋3c，所以 故x＋y＋z＝1＋3＝4. 4 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 判断基底的基本思路 　　判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否 共面，若不共面，就可以构成一个基底. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　用基底表示空间向量 目录 13 （链接教材P12例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知 ＝ a， ＝b， ＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底 {a，b，c}表示向量 ， . 数学·选择性必修第一册 目录 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （a＋b＋c）. 连接A'N（图略），所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝a＋ b＋ c. 数学·选择性必修第一册 目录 变式　若把本例中的“ ＝a”改为“ ＝a”，其他条件不变，则结 果是什么？ 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以 ＝ （ ＋ ）＝ a＋ b. 连接AB'（图略），所以 ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＋ ＝ ＋ － ＝a＋ b－ c. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 用基底表示向量的步骤 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）（2026·浙江温州高二质检）如图，四棱锥P-OABC的底面 是矩形，PO⊥底面OABC. 设 ＝a， ＝b， ＝c，E是PC的中 点，则（　B　） B A. ＝－ a－ b＋ c B. ＝－a－ b＋ c C. ＝－a＋ b＋ c D. ＝－ a－ b－ c 数学·选择性必修第一册 目录 解析： ＝ － ＝ （ ＋ ）－（ ＋ ）＝－ － ＋ ＝－a－ b＋ c.故选B. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和 D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1，若 ＝x ＋y ＋z ，则x ＋y＋z＝ ⁠. ​ 数学·选择性必修第一册 目录 解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为BE＝ BB1，DF＝ DD1， 所以 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ .因为 ＝x ＋y ＋ z ，所以x＝－1，y＝1，z＝ ，所以x＋y＋z＝－1＋1＋ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　空间向量基本定理的应用 目录 22 角度1　证明空间位置关系 （链接教材P13例2、例3（1））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD，若E，F 分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： 数学·选择性必修第一册 目录 （1）EF∥平面PAD； 证明：连接PF（图略），因为E，F分别为PC，BD的中点，则 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ ＋ ，所以向量 ， ， 共面， 又EF⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）EF⊥平面PCD. 证明：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面 ABCD，所以CD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA. 因为PA＝PD＝ AD，所以PA⊥PD， 所以 · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＝0， · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＝0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD， 又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面 PCD. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行； （2）把要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的 数量积为0. 数学·选择性必修第一册 目录 角度2　求空间角 （链接教材P13例3（2））如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝ 3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值 为 　　　　. 数学·选择性必修第一册 目录 【破题思维】 题目信息 信息转化 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5 ①∠ACB＝90°，AC，CB，CC1两两垂直； ②{ ， ， }可构成空间的一个正交 基底 求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值 用 ， ， 分别表示 ， ，借 助向量数量积运算求出所成角的余弦值 答案： 数学·选择性必修第一册 目录 解析：在△ABC中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝ AB2，故∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 设 ＝3a， ＝4b， ＝4c， 向量 ， ， 不共面且两两垂直，则{a，b，c}构成空间的一个单 位正交基底.因为 ＝ － ＝4c－3a， ＝ ＋ ＝4c＋ 4b，所以 · ＝（4c－3a）·（4c＋4b）＝16c2＝16，又｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝4 ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，故异面直线AC1与CB1 所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 基向量法求空间角的基本思路 　　将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角（或其补角），再用基向 量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角. 数学·选择性必修第一册 目录 在正四面体PABC中，AB＝2，且E，F分别为AC，PB的中点，则 EF的长为 ⁠. ​ 角度3　求距离（长度） 数学·选择性必修第一册 目录 解析：连接AF（图略），在正四面体PABC中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则a·c＝a·b＝b·c＝2×2× cos 60°＝2，则 ＝ ＋ ＝ － ＋ （ ＋ ）＝ （a－b＋c），｜ ｜＝ ＝ ＝ × ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD 的中点，点G在棱CD上，且CG＝ CD. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）证明：EF⊥B1C； 解：证明：设 ＝i， ＝j， ＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底. 所以 ＝ ＋ ＝－ k＋ （ ＋ ）＝ i＋ j－ k， ＝ ＋ ＝－i－k， 所以 · ＝（ i＋ j－ k）·（－i－k）＝－ ｜i｜2＋ ｜k｜2 ＝0， 所以EF⊥B1C. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求EF与C1G所成角的余弦值. 解：因为 ＝ i＋ j－ k， ＝ ＋ ＝－k－ j，｜ ｜2＝（ i＋ j－ k）2＝ ｜i｜2＋ ｜j｜2＋ ｜k｜2＝3，｜ ｜＝ ， ｜ ｜2＝（ －k－ j）2＝｜k｜2＋ ｜j｜2＝4＋ ＝ ，｜ ｜＝ ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ＝ . 即EF与C1G所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 37 数学·选择性必修第一册 目录 1. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（　　） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析：由题意知 ， ， 不共面，可以构成空间向量的一个基底. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD（　　） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法判断位置关系 解析：　因为 ＝ － ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝1×1× －1×1× ＝0，故 ⊥ ，即AB与CD 垂直. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一 点，设 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 可用a，b，c表示为 ＝ ⁠. 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ a－ b ＋c. a－ b＋c 数学·选择性必修第一册 目录 4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝ 60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为 ⁠. 解析：∵ ＝ ＋ ＋ ，∴｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝62 ＋42＋32＋2｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝61－12＝49，∴｜ ｜＝7，即 PC＝7. 7 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 43 1. 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 （　　） A. a，b共线 B. a，b同向 C. a，b反向 D. a，b共面 解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基向量，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足 ＝ ，N是BC的中点， 且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 为（　　） A. a＋ b＋ c B. a＋ b－ c C. － a＋ b＋ c D. a－ b＋ c 解析：　 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝－ ＋ ＋ ＝－ a＋ b＋ c.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与 CE的位置关系是（　　） A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 异面 解析：　设 ＝a， ＝b， ＝c，则{a，b，c}构成空间的一个 基底， ＝a＋b＋c， ＝ ＋ ＝c－ a－ b，设正方体的棱 长为1，则 · ＝（a＋b＋c）·（c－ a－ b）＝0－ －0＋0－0 － ＋1－0－0＝0，故 ⊥ ，即AC1与CE垂直. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝ 1，M是B1C1的中点，则AM＝（　　） A. B. C. D. 解析：　如图所示， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ，故｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝ ，则AM＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E， F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦 值是（　　） A. 0 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　根据题意可得， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ＋ ） ＝（－ ＋ ＋ ）·（－ － － ） ＝ － － ＝ ×4－1－ ×4＝0，从而得到A1E和GF垂直， 故其所成角的余弦值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共 线.若{ ， ， }与{ ， ， }均不能构成空间的一个基底， 则下列结论中正确的有（　　） A. { ， ， }不能构成空间的一个基底 B. { ， ， }能构成空间的一个基底 C. { ， ， }不能构成空间的一个基底 D. { ， ， }能构成空间的一个基底 解析：由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面，所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕（2026·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长 均相等.下列结论中正确的是（　　） A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥平面D1PQB1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， 所以 ＝ ，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb ＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是 ⁠. 解析：若x≠0，则a＝－ b－ c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空 间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. x＝y＝z＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. （2026·宁德月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩 形ABCD外接圆的圆心.若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y－z＝ ⁠ ⁠. 解析：如图，由题意可得 ＝ － ＝ － （ ＋ ）＝－ － ＋ ＝x ＋y ＋z ，则x＝ － ，y＝－ ，z＝1，故x＋y－z＝－2. － 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）如图，三棱锥P-ABC中，M，N分别是BC，PA上的点，且 ＝ ， ＝2 ，设 ＝a， ＝b， ＝c. （1）试用a，b，c表示向量 ； 解： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ － ）－ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ a－ b＋ c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知∠BAC＝ ，∠PAB＝∠PAC＝ ，且PA＝AB＝AC＝2，若 （a＋λc）⊥ ，求λ的值. 解：由（a＋λc）⊥ 可得（a＋λc）· ＝0， 即（a＋λc）·（－ a－ b＋ c）＝－ a2－ a·b ＋ a·c－ a·c－ b·c＋ c2＝0， 即－ ＋ － － ＋ ＝0， 解得λ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 已知体积为9 π的圆锥MO底面圆周上有三点A，B，C，其中M为 圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥MO的轴截面为正三角形.若空间中一 点N满足 ＝x ＋y ＋z （其中x＋y＋z＝1），则｜ ｜的 最小值为（　　） A. 3 B. 2 C. 3 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　由题意得，点N在圆O所在平面内，所以｜ ｜的最小值是 顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高.设圆锥MO底面圆的 半径为r，因为圆锥MO的轴截面为正三角形，所以圆锥MO的高为 r， 则圆锥MO的体积为 πr2× r＝9 π，解得r＝3.所以｜ ｜的最小 值为3 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. （2026·淮安月考）如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面 ABC， AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2 ，则SC与AB所成角的大小为（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以 · ＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2 .因此 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos 45°＝2×2 × ＝4，所以 · ＝ · － · ＝4，又SA＝2 ，所以SC＝ ＝4，因 此 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以SC与AB所成角的大小 为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD， ∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝ λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝ ⁠. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基 底.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以 · ＝0，因为 ＝ － ＝ b－a， ＝ ＋ ＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所 以 ＋λ－ － ＝0，所以λ＝ －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）如图，已知在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC＝BC＝AA'， ∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； 解：证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 根据题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a·b＝b·c＝ c·a＝0. 所以 ＝b＋ c， ＝－c＋ b－ a. 所以 · ＝－ c2＋ b2＝0， 所以 ⊥ ，即CE⊥A'D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解：因为｜ ｜＝ ｜a｜，｜ ｜＝ ｜a｜， 又 ＝－a＋c， · ＝（－a＋c）·（ b＋ c）＝ c2＝ ｜a｜2， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ . 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在 PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC 于点D，E，F，若 ＝m ， ＝n ， ＝t ，则 ＋ ＋ 是 否为定值？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解：为定值.理由如下： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM（图略）. 由题意，可令{ ， ， }为空间的一个基底， ＝ ＝ （ ＋ ）＝ ＋ × ＝ ＋ × ＝ ＋ （ － ）＋ （ － ）＝ ＋ ＋ . ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＋μ ， 即 － ＝λ（ － ）＋μ（ － ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 ∴ ＝（1－λ－μ） ＋λ ＋μ ＝（1－λ－μ）·m ＋λn ＋ μt ， 由空间向量基本定理，知 ＝（1－λ－μ）m， ＝λn， ＝μt， ∴ ＋ ＋ ＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $