3.3 幂函数(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案围绕幂函数展开，引导学生了解幂函数概念、归纳图象与性质，通过“幂”的历史演变情境导入，连接已学函数，搭建从具体到抽象的学习支架。 以问题驱动探究，通过画图象归纳性质培养直观想象，例题与规律方法结合提升逻辑推理，习题分层设计强化数学运算，助力学生形成数学眼光与思维，提升学习效率。

3.3　幂函数 课标要求 情境导入 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式（数学抽象、数学运算）. 2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象，归纳出幂函数的基本性质（直观想象、逻辑推理）. 　　“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 知识点一　幂函数的概念 问题　我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.这三个函数的解析式有什么共同特点吗？你能把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？ 一般地，函数　　　　　叫做幂函数，其中　　　是自变量，　　　是常数. 提醒：对幂函数的再理解：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量x，指数α为常数；③项数只有一项. 1.〔多选〕下列函数中是幂函数的有（　　） A.y＝ B.y＝2x2 C.y＝x2＋x D.y＝x0 2.已知y＝（m2＋2m－2）＋2n－3是幂函数，则m＋n＝　　　　. 3.若函数f（x）是幂函数，且满足f（2）＝4，则f（－4）＝　　　　. 规律方法 幂函数的判断方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③系数为1. 知识点二　幂函数的图象与性质 问题　在同一坐标系中分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1和y＝的图象，思考并回答： （1）这些函数图象有什么共同特征？ （2）在第一象限内，幂函数y＝xα的图象具有哪些特点？ 5个常见幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪ （0，＋∞） 值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y∈R 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 单调性 增 x∈（0， ＋∞）增； x∈（－∞， 0）减 增 增 x∈（0， ＋∞）减； x∈（－∞， 0）减 公共点 都经过点　　　　 提醒：幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小. 【微思考】 幂函数的图象为什么不过第四象限？ （1）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是（　　） A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c （2）〔多选〕若幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则幂函数f（x）具有的函数性质有（　　） A.f（x）的定义域为R B.f（x）的图象过点（1，1） C.f（x）在定义域上单调递减 D.f（x）是奇函数 听课记录 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂的指数大小：①在（0，1）上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；②在（1，＋∞）上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）. （2）注意幂函数f（x）＝xα的变化特点，如单调递增、单调递减的特征，与x轴、y轴的接近等，以区分α的范围，确定幂指数α与0，1的大小关系. 训练1　（1）幂函数f（x）＝的图象大致为（　　） （2）已知幂函数y＝（m2－4m＋4）x2m－4在（0，＋∞）上是严格减函数，则实数m＝　　　　. 提能点　幂函数性质的综合应用 角度1　比较大小 试比较下列各组数的大小： （1）1.13，0.893； （2）2.，，1.； （3）（）1.3，1，. 规律方法 比较幂值大小的方法 （1）若两个幂的指数相同或可化为两个指数相同的幂值，可以直接利用幂函数的单调性比较大小； （2）若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”. 角度2　解简单不等式 已知幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1的图象关于原点对称，则满足（a＋1）m＞（3－2a）m的实数a的取值范围为　　　　. 听课记录 规律方法 利用幂函数的性质解不等式的步骤 （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 训练2　（1）（2026·佛山质检）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.150.1，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞c＞a （2）已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝，若f（a）≥f（2－a2），求实数a的取值范围. 1.在函数y＝2，y＝x3，y＝3x，y＝1中幂函数的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 2.不等式（x＋2）3＜（5－2x）3的解集为（　　） A.（－∞，－1） B.（－∞，1） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 3.已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（　　） 4.已知幂函数y＝（m2＋m－5），当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小，则实数m的值为　　　　. 完成课后作业　第三章　3.3 答案 3.3　幂函数 知识点一 导入新知 问题　提示：解析式都具有幂的形式而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数；一般形式可用y＝xα表示. 学习新知 y＝xα　x　α 即学即练 1.AD　2.或－　3.16 知识点二 导入新知 问题　（1）提示：图象均过定点（1，1）. （2）提示：①当α＞0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势. ②当α＜0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈下降趋势. 学习新知 （1，1） 微思考 提示：因为当x＞0时，xα＞0，因此幂函数的图象不过第四象限. 【例1】　（1）B　（2）BD　解析：（1）令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，和题目所给的形式相符合.在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B. （2）将（2，）代入f（x）＝xα可得f（2）＝2α＝，故α＝－1，故f（x）＝x－1＝，定义域为{x｜x≠0}，故A错误；f（1）＝＝1，故B正确；f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上单调递减，但在整个定义域上不单调，故C错误；f（－x）＝－＝－f（x），故f（x）为奇函数，故D正确. 训练1　（1）B　（2）1　解析：（1）幂函数f（x）＝＝的定义域为R，故D选项错误；因为f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，故A、C选项错误. （2）由幂函数y＝（m2－4m＋4）x2m－4在（0，＋∞）上是严格减函数，得解得m＝1，所以实数m＝1. 提能点 【例2】　解：（1）因为函数y＝x3在区间[0，＋∞）上单调递增，又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893. （2）因为函数y＝在区间[0，＋∞）上是增函数，又2.1＞2＞1.8，所以2.＞＞1.. （3）因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞）上单调递增，又1＝11.3，＜1，所以（）1.3＜11.3＝1. 因为函数y＝在区间[0，＋∞）上单调递增，又＝1，3＞1，所以＞＝1.于是（）1.3＜1＜. 【例3】　　解析：因为函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f（x）＝x2，是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意；当m＝2时，f（x）＝x3，是奇函数，其图象关于原点对称，符合题意，所以m＝2，不等式（a＋1）m＞（3－2a）m即（a＋1）2＞（3－2a）2，解得＜a＜4，所以实数a的取值范围为. 训练2　（1）A　因为y＝x0.2在（0，＋∞）上单调递增，所以20.2＞0.40.2，即a＞b，又因为0.40.2＝（0.42）0.1＝0.160.1，且y＝x0.1在[0，＋∞）上单调递增，所以0.160.1＞0.150.1，即b＞c，所以a＞b＞c. （2）解：设f（x）＝xα，则4α＝，解得α＝－，故f（x）＝，定义域为（0，＋∞），且f（x）在定义域上单调递减，故解得0＜a≤1. 随堂自测 1.B　2.B　3.A　4.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $