3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性的应用，核心知识点包括利用奇偶性求解析式、结合单调性比较大小及解不等式。通过复习奇偶性定义引入，以定义法、方程组法求解析式为例题搭建支架，衔接奇偶性与单调性的综合运用。 资料亮点在于提炼“规律方法”总结解题步骤，培养逻辑推理能力，训练题分层设计（基础训练、变式拓展）提升数学运算能力，随堂自测及时反馈，帮助学生形成重论据、有条理的思维品质，符合数学思维与数学运算的核心素养要求。

第二课时　函数奇偶性的应用 课标 要求 1.进一步掌握函数的奇偶性，能用奇偶性求解析式（逻辑推理）. 2.理解奇偶性对单调性的影响，并能用以比较函数值的大小和求解简单的不等式（逻辑推理、数学运算）. 知识点一　利用函数的奇偶性求解析式 角度1　定义法求函数解析式 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3，求f（x）的解析式. 规律方法 利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 提醒：若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0. 角度2　方程组法求函数解析式 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x）、g（x）的解析式. 规律方法 方程组法求函数解析式的技巧 　　已知函数f（x），g（x）的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解. 训练1　（1）已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，f（x）＝　　　　； （2）已知函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝　　　　. 知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是　　　　. 听课记录 规律方法 比较函数值大小的求解策略 　　奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调性相反. （1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 训练2　（1）已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（1），f（2）的大小关系是（　　） A.f（－0.5）＜f（2）＜f（1） B.f（－0.5）＜f（1）＜f（2） C.f（2）＜f（－0.5）＜f（1） D.f（1）＜f（2）＜f（－0.5） （2）（2026·江门月考）已知函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是（　　） A.f（－1）＜f（3） B.f（2）＜f（3） C.f（－3）＜f（5） D.f（0）＞f（1） 知识点三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式 已知定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围. 变式　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 规律方法 利用函数的单调性和奇偶性解不等式的方法 （1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解； （2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如0＝f（1），f（x－1）＜0，则f（x－1）＜f（1）.注意偶函数f（x）中结论f（x）＝f（｜x｜）的灵活运用. 训练3　（1）已知函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，若f（－2）＝－3，则满足－3≤f（2x－3）≤3的x的取值范围是（　　） A.[－2，2] B.［，］ C.［，］ D.［，］ （2）若定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2）有＜0，则满足f（2x－1）＜f（）的x的取值范围是　　　　. 1.如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f（x）在区间[1，3]上（　　） A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5 C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5 2.若对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），且f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　） A.f＜f（－1）＜f（2） B.f（2）＜f＜f（－1） C.f（2）＜f（－1）＜f D.f（－1）＜f＜f（2） 3.已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x－1，则当x＜0时，f（x）＝　　　　. 4.已知偶函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝0，若f（x＋1）≤0，求x的取值范围. 完成课后作业　第三章　3.2　3.2.2　第二课时 答案 第二课时　函数奇偶性的应用 知识点一 【例1】　解：设x＜0，则－x＞0， 将－x代入已知的解析式得f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x＋3， 由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f（x）＝－x2－2x－3. 又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0. 故f（x）＝ 【例2】　解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）. 由f（x）＋g（x）＝， ① 用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝， ∴f（x）－g（x）＝， ② （①＋②）÷2，得f（x）＝. （①－②）÷2，得g（x）＝. 训练1　（1）x（x＋1）　（2） 解析：（1）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）为R上的偶函数，故当x＞0时，f（x）＝f（－x）＝x（x＋1）. （2）因为函数f（x）＝为奇函数，所以f（0）＝g（0）＝0.设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1，所以f（x）＝g（x）＝－f（－x）＝－x2－1.综上可得g（x）＝ 知识点二 【例3】　f（π）＞f（－3）＞f（－2） 解析：由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2）. 训练2　（1）B　（2）D　解析：（1）因为函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在R上为增函数，所以f（－0.5）＜f（1）＜f（2）. （2）因为函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，且f（－4）＜f（－2），所以f（4）＜f（2）.又f（x）在[0，5]上是单调函数.所以f（x）在[0，5]上单调递减，从而f（0）＞f（1），故选D. 知识点三 【例4】　解：因为f（x）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f（x）在区间[－2，2]上是减函数. 又f（1－m）＜f（m），所以 即解得－1≤m＜. 故实数m的取值范围是. 变式　解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜）， 故可得即 解得＜m≤2.故实数m的取值范围为. 训练3　（1）D　（2）（，）　解析：（1）因为函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，若f（－2）＝－3，则f（2）＝3，由－3≤f（2x－3）≤3可得－2≤2x－3≤2，解得≤x≤. （2）由题意得函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，而f（x）是R上的偶函数，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以不等式f（2x－1）＜f（），即f（｜2x－1｜）＜f（），于是｜2x－1｜＜，解得＜x＜，所以所求x的取值范围是（，）. 随堂自测 1.A　2.B　3.x＋1 4.解：因为偶函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝0，所以f（－2）＝f（2）＝0， 则不等式f（x＋1）≤0等价为f（｜x＋1｜）≤f（2），则｜x＋1｜≥2，解得x≤－3或x≥1. 故x的取值范围为{x｜x≤－3或x≥1}. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $