1.4.1 充分条件与必要条件(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦“充分条件与必要条件”，通过“买U盘”生活情境及电路图问题导入，先梳理命题的定义、分类与结构，再探究充分条件与必要条件的概念，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境生活化和问题驱动为特色，结合实例分析、规律总结与分层训练，助力学生理解概念。注重数学抽象与逻辑推理，培养学生用数学思维解决问题的能力，习题兼顾基础与提升，适合自主学习与课堂教学。

1.4.1　充分条件与必要条件 课标要求 情境导入 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 　　某人要拷贝一部电影，需要U盘，到网店去买，问客服应该买多大内存的U盘，客服说：“8G的就够了”.这样，就产生了“8G内存”与“拷贝一部电影行不行”的关系，那么它们是什么样的关系呢？ 知识点一　命题 问题　阅读下列语句： ①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； ②个位数是5的自然数能被5整除； ③直角三角形都相似； ④同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 上述语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？ 1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断　　　　的　　　　　叫做命题. 2.分类：判断为　　　的语句是真命题，判断为　　　的语句是假命题. 3.结构形式：“若p，则q”形式的命题中，　　　称为命题的条件，　　　称为命题的结论. 提醒：（1）并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题；（2）命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断；（3）数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题. 1.〔多选〕下列命题是真命题的是（　　） A.0∈N* B.若a，b都是无理数，则a＋b是无理数 C.若集合A⊆B，则A∩B＝A D.1＋2＝3 2.判断下列命题的真假： （1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； （2）若x∈N，则x3＞x2成立； （3）若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； （4）存在一个三角形没有外接圆. 规律方法 判断命题真假的方法 　　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 知识点二　充分条件与必要条件 问题　电路图如图所示（图1、图2）. （1）哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？ （2）对于电路图1，当q灯亮，p开关一定闭合吗？ 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p是q的　　　　条件； q是p的　　　　条件 p不是q的　　　　条件； q不是p的　　　　条件 提醒：若p⇒q，则p是q的充分条件.要使结论q成立，条件p是足够的，是足以保证的.q是p的必要条件，说明q是p成立的必不可少的，缺其不可的条件. 【微思考】 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 角度1　充分条件的判断 （链接教材P18例1）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ （1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； （4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根. 规律方法 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 角度2　必要条件的判断 （链接教材P19例2）指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A； （3）p：2a＞1，q：a＞1. 规律方法 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 训练1　（1）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的　　　　条件；（用“充分不必要”“必要不充分”填空） （2）“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的　　　　条件.（用“充分不必要”“必要不充分”填空） 提能点　根据充分（必要）条件求参数 【微思考】 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则集合A与集合B有什么关系？“x∈A”是“x∈B”的必要条件呢？ 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 题目信息 信息转化 p是q的充分条件 联想到充分条件与集合间关系的转化：若p是q的充分条件，则p⊆q 变式　将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 规律方法 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的充分条件，则M⊆N；若p是q的必要条件，则N⊆M； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 训练2　已知集合P＝{x｜－2＜x＜4}，Q＝{x｜3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}. （1）若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m使P的必要条件为Q？ 1.下列语句是命题的是（　　） A.0是偶数吗？ B.你，出去！ C.x－2＝0 D.3＞4 2.若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　） A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 3.已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的　　　　条件.（用“充分”或“必要”填空） 4.若“－1＜x＜3”是“x＞2a－3”的充分条件，求实数a的取值范围. 完成课后作业　第一章　1.4　1.4.1 答案 1.4.1　充分条件与必要条件 知识点一 导入新知 问题　提示：两个特点：①均是陈述句，②都能够判断真假.其中①②④为真，③为假. 学习新知 1.真假　陈述句 2.真　假 3.p　q 即学即练 1.CD 2.解：（1）假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. （2）假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立. （3）真命题.因为m＞1时Δ＝4－4m＜0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根. （4）假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 知识点二 导入新知 问题　（1）提示：图1. （2）提示：不一定，也可能是r开关闭合. 学习新知 ⇒　⇒/　充分　必要　充分　必要 微思考 提示：不唯一.例如q：“x＞0”的充分条件p可以是“x＞2”“x＞3”“2＜x＜3”等，是不唯一的. 【例1】　解：（1）由于x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0，∴p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q， ∴p是q的充分条件. （3）∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. （4）由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0，即m＜－. ∵m＜－1⇒m＜－，即p⇒q. ∴p是q的充分条件. 【例2】　解：（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （2）因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）因为2a＞1，即a＞，p⇒/ q，所以q不是p的必要条件. 训练1　（1）充分不必要　（2）必要不充分 解析：（1）由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件. （2）设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知B⫋A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件. 提能点 微思考 提示：A⊆B；B⊆A. 【例3】　解：p：3a＜x＜a，即集合A＝{x｜3a＜x＜a}， q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是{a｜－≤a＜0}. 变式　解：p：－a＜x＜3a，即集合A＝{x｜－a＜x＜3a}. q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以解得a＞2. 所以实数a的取值范围是{a｜a＞2}. 训练2　解：（1）由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集. 当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝⌀，满足题意； 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0＜m＜， 综上，m的取值范围是{m｜m＜－2或0＜m＜}. （2）由题意得，P是Q的子集， 则无解，所以m的值不存在. 随堂自测 1.D　2.B　3.充分 4.解：因为“－1＜x＜3”是“x＞2a－3”的充分条件，所以{x｜－1＜x＜3}是{x｜x＞2a－3}的子集，则2a－3≤－1，解得a≤1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $