1.1 第1课时 集合的概念(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案围绕集合的概念展开，涵盖元素与集合的含义、元素的确定性互异性无序性特征、元素与集合的属于关系及常用数集符号。通过军训集合情境导入，从生活实例抽象出数学对象，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动探究，结合例题、训练题及规律方法总结，含概念示意图辅助理解。注重数学抽象与逻辑推理核心素养培养，帮助学生构建知识体系，提升运用元素特征解决问题的能力，适合自主学习与课堂教学。

第一课时　集合的概念 课标要求 情境导入 1.通过实例，了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系，并能识记常用数集的表示符号（逻辑推理）. 　　在军训的时候，随着教官一声口令“高一（1）班集合”，高一（1）班的同学从四面八方聚集到教官附近，不是高一（1）班的同学会自动走开，这里的“集合”是一个动词，但教官的“口令”却把“一些确定的对象聚集在一起了”，这就是本节课研究的重要概念——集合. 知识点一　元素与集合的概念 问题　观察下面的几个例子： ①“小于10”的自然数； ②我校今年入学的全体高一女生； ③在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体； ④方程x2－25＝0的所有实数根. 以上各语句中所研究的对象分别是什么？有什么共同特点？ 1.元素 2.集合 提醒：（1）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等；（2）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个. 〔多选〕下面四个说法中正确的是（　　） A.10以内的质数组成的集合中元素有2，3，5，7 B.由2，3组成的集合中有2个元素 C.集合中的元素一定是数 D.《红楼梦》不可以是集合中的元素 知识点二　集合中元素的特征 问题　（1）英文单词good的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合有几个元素？ （2）分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？ 1.集合中元素的特征：　　　　　，互异性，无序性. 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是　　　　　，我们就称这两个集合是相等的. （1）〔多选〕（链接教材P5练习1题）下列所给对象能构成集合的是（　　） A.高中数学必修第一册课本上的所有难题 B.比较接近1的整数的全体 C.某校高一年级16岁以下的学生 D.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 （2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与集合Q是相等的，则a＝　　　　. 听课记录 规律方法 1.一组对象能构成集合的两个条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素； （2）任何两个对象都是不同的. 2.判断两个集合相等的注意点 若两个集合相等，则构成这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 训练1　（1）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元素个数为（　　） A.6　　　B.3 C.4　　　D.5 （2）〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.中国的所有直辖市可以组成一个集合 B.高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C.正偶数的全体可以组成一个集合 D.大于2 010且小于2 026的所有整数不能组成集合 知识点三　元素与集合之间的关系 问题　李明是高一（1）班的一位同学，刘欣是高一（2）班的一位同学.这两名同学与高一（1）班这个班集体之间分别有什么关系？ 1.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a　　A a属于 集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a　　A a不属于 集合A 提醒：符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系. 2.常见的数集及符号表示 数集 非负整数集 （自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 符号 N N*或N＋ Z Q R 【微思考】 N与N*或N＋有何区别？ （1）（链接教材P5练习2题）下列关系表示正确的是（　　） A.∉R B.0∈N* C.∈Q D.∈Z （2）已知集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，试求a的值. 规律方法 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可； （2）推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 训练2　（1）给出下列关系式：∈R；0.3∈Q；∈N；－5∈Z.其中正确的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y）构成，则－1　　　　D，（－1，1）　　　　D（填“∈”或“∉”）. 提能点　集合中元素特征的应用 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝　　　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 集合A含有两个元素a和a2 联想到集合元素的互异性，a≠a2 1∈A 联想到1可能等于a，也可能等于a2，最后注意检验集合元素的互异性 听课记录 变式1　本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，则实数a＝　　　　. 变式2　若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围为　　　　. 规律方法 根据集合中元素的特征求参数值的三个步骤 训练3　已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为　　　　. 1.〔多选〕下列可以组成集合的是（　　） A.所有的正数 B.等于2的数 C.接近于0的数 D.不等于0的偶数 2.下列表述正确的是（　　） A.0∈N B.∈N C.－3∉Z D.π∈Q 3.若集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.集合A中有两个元素：x＋2，x2.若1∈A，求实数x的值. 完成课后作业　第一章　1.1　第一课时 答案 第一课时　集合的概念 知识点一 导入新知 问题　提示：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.②我校今年入学的高一每位女生.③第四象限的所有点.④±5.以上语句描述的内容都是某种确定的、不同的研究对象的总体. 学习新知 1.研究对象 2.总体 即学即练 AB 知识点二 导入新知 问题　（1）提示：能组成一个集合，集合中的元素有3个. （2）提示：两个集合中的元素是一样的.集合中的元素没有先后顺序. 学习新知 1.确定性 2.一样的 【例1】　（1）CD　（2）±2　解析：（1）A、B中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；C中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；D中的对象能构成集合，故选C、D. （2）由题意得a2＝4，即a＝±2. 训练1　（1）D　（2）AC　解析：（1）由集合中元素的互异性可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素.故选D. （2）A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确定的，可以组成集合，正确；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个集合，正确；D中的所有整数能组成集合，所以D错误. 知识点三 导入新知 问题　提示：李明属于高一（1）班这个班集体；刘欣不属于高一（1）班这个班集体. 学习新知 1.∈　∉ 微思考 提示：N表示自然数集包括0，而N*或N＋表示正整数集，不包括0. 【例2】　（1）C　是实数，故A错误；由N*是正整数集，可知0∉N*，故B错误；是有理数，故C正确；是无理数，Z是整数集，故D错误. （2）解：集合A中含有三个元素2，4，6，当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，满足条件；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，满足条件；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A.综上所述，a的值为2或4. 训练2　（1）C　（2）∉　∈ 解析：（1）由各个数集的含义可知，∈R，0.3∈Q，－5∈Z正确，故有3个关系式正确.故选C. （2）因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y），所以－1∉D，（－1，1）∈D. 提能点 【例3】　－1　解析：由1∈A，则a＝1或a2＝1，①当a＝1时，a2＝1，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；②当a2＝1时，即a＝±1，由①知a≠1，∴a＝－1，即集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1. 变式1　2或或－　解析：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性. 变式2　a≠0且a≠1　解析：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1. 训练3　－或1　解析：因为集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－或a＝±1.当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去.综上，实数a的值为－或1. 随堂自测 1.ABD　2.A　3.D 4.解：因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1. ①当x＋2＝1时，x＝－1，此时x2＝1，不满足集合中元素的互异性，故舍去； ②当x2＝1时，x＝±1，由①知x≠－1，所以x＝1，此时x＋2＝3，满足集合中元素的互异性. 综上可知，x＝1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $