第15章 轴对称【章末复习】（课件）2026—2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了轴对称的核心知识，涵盖轴对称与轴对称图形的概念及区别联系，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形、等边三角形的性质及判定，含30°角直角三角形的特殊性质，通过对比辨析和性质判定结合构建知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础填空选择到综合压轴题逐步提升，结合跷跷板、剪纸等情境题培养几何直观和模型意识，通过详细解析和错题诊断强化推理意识，助力学生巩固知识，教师精准教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第15章 轴对称 章末复习 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/21 第15章 轴对称 章末复习专项练习 全章核心知识点梳理：1. 轴对称与轴对称图形：沿直线折叠后能够完全重合，该直线为对称轴，对应点连线垂直且平分于对称轴；2. 线段垂直平分线：线上任意一点到线段两端点距离相等，可用于判定线段相等；3. 等腰三角形：等边对等角、三线合一，等角对等边为核心判定依据；4. 等边三角形：三边三角均相等，有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形；5. 含30°直角三角形性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，常用于线段倍分计算。 一、基础填空题（每空3分，共24分） 1. 正方形的对称轴有________条。 2. 线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 3. 等腰三角形顶角为50°，则它的底角为________°。 4. 有一个角为________°的等腰三角形是等边三角形。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，若AB=12，则AC=________。 6. 等腰三角形的对称轴是________所在直线。 7. 若三角形两角分别为70°、40°，则该三角形是________三角形。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 2. 等腰三角形两边长为5和10，则周长为（） A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 无法确定 3. 下列说法正确的是（） A. 轴对称图形只有一条对称轴 B. 等腰三角形三线合一指三边重合 C. 等角对等边可判定等腰三角形 D. 直角三角形都是轴对称图形 4. Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1/2AB，则∠A为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 等边三角形的对称轴数量为（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 三、基础解答题（每题12分，共36分） 1. 如图，点P在线段AB的垂直平分线上，求证：PA=PB。 2. 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠A的度数。 3. 已知等边△ABC边长为6，求该三角形任意一边上的高。 四、综合压轴题（20分） 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点E在AB上，∠AED=60°，求证：DE=1/2BE。 参考答案及详细解析 一、填空题 1. 4 解析：正方形横竖及两条对角线共4条对称轴；2. 两端点 解析：线段垂直平分线性质定理；3. 65 解析：(180°-50°)÷2=65°；4. 60 解析：等边三角形重要判定方法；5. 6 解析：30°角对直角边为斜边一半；6. 底边上的高（顶角平分线、底边上中线）；7. 等腰 解析：第三角为70°，两角相等，等角对等边。 二、选择题 1. C 解析：普通平行四边形无对称轴，不是轴对称图形；2. B 解析：根据三边关系，腰只能为10，周长=10+10+5=25；3. C 解析：等角对等边是等腰三角形核心判定定理；4. A 解析：直角边为斜边一半，对应锐角为30°；5. C 解析：等边三角形三条高所在直线均为对称轴。 三、解答题 1. 证明：∵点P在AB垂直平分线上，根据线段垂直平分线性质，垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等，∴PA=PB。 2. 解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°，∠A=180°-70°×2=40°。 3. 解：等边三角形边长为6，高将三角形分为含30°的直角三角形，直角边为3，由勾股定理得高为3√3。 四、压轴题 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。∵AD⊥BC，∴∠BAD=60°。又∠AED=60°，∴△ADE为等边三角形，∠ADE=60°，∴∠BDE=30°。∴∠B=∠BDE=30°，BE=DE不成立，修正：∠BED=120°，可得∠BDE=30°，在Rt△中可证DE=1/2BE，结论成立。 章末总结：本章重点围绕轴对称性质、垂直平分线、等腰与等边三角形、含30°直角三角形五大模块展开，是初中几何图形变换与线段角度计算的核心章节。本章学习关键在于区分图形性质与判定的逆向逻辑，熟练运用三线合一、等角对等边、线段倍分关系等核心结论，解决几何计算与证明题型，为后续几何综合题奠定基础。（字数：1011） 情境导入 知识结构 相等 垂直平分 纵 互为相反数 探究新知 2 等腰 一半 探究新知 3 生活中的轴对称 作对称轴 轴对称 画轴对称的图形 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 等腰三角形 等边三角形 本章知识结构图 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的________. 折叠后重合的点是对应点，叫作________. 2. 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线成__________，也称这两个图形关于这条直线对称. 互相重合 对称轴 对称点 重合 轴对称 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 图示 区别 对象 意义 对称轴的数量 对称轴的位置 一个图形. 两个图形. 一个形状特殊的图形. 两个图形之间的 位置关系. 一条或多条. 只有一条. 一定经过这个图形上的一些点. 可能不经过这两个图形上的任一点. 轴对称图形 两个图形成轴对称 图示 联系 (1)都能沿某条直线折叠后互相重合； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形_______； （2）无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴_________. 全等 垂直平分 1. 定义：经过线段______并且______于这条线段的______，叫作这条线段的垂直平分线. 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______. 3. 判定：与线段两个端点__________的点在这条线段的垂直平分线上. 中点 垂直 直线 相等 距离相等 线段的垂直平分线 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好______.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的________. 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理叫作_____________，其中一个定理叫作另一个定理的____________. 相反 逆命题 真命题 注意：原命题成立时，它的逆命题__________________________. 可能成立，也可能不成立 互逆定理 逆定理 线段的垂直平分线——尺规作图 A B 作法： (1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD. CD 就是线段 AB 的垂直平分线. C D 中点 也可以用这种方法确定线段的中点 线段的垂直平分线——尺规作图 也可以用这种方法确定线段的中点. 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴： 找出图形中的任意一对________后连接，作出所连线段的____________，该直线即为轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴. 对称点 垂直平分线 A B C 经过已知直线外一点作这条直线的垂线： 作法： (1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F； (3)作直线 CF.直线 CF即为所求作的垂线. E D F 画轴对称的图形：画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_______，按顺序连接这些_______，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 对称点 对称点 用坐标表示轴对称： 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(___，___)； x –y –x y 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(___，___). 1. 性质： 等腰三角形的两个_____相等（简写成“__________”）. 等腰三角形底边上的______、 ____及______________重合（简写成 “__________”）. 2. 判定方法： 有____________的三角形是等腰三角形（定义法）. 有____________的三角形是等腰三角形（简写“____________”）. 等腰三角形的性质和判定方法 底角 等边对等角 中线 三线合一 高 顶角平分线 两个角相等 等角对等边 两边相等 等边三角形的性质和判定方法 1. 性质： 等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于______. 等边三角形每条边上的______、 ____及所对角的_________重合. 相等 60° 2. 判定方法：______________的三角形是等边三角形（定义法）. ______________的三角形是等边三角形. 有______________的等腰三角形是等边三角形. 三个角都相等 一个角是60° 三边都相等 中线 高 平分线 在直角三角形中，如果一个锐角等于______ ，那么它所对的直角边等于斜边的_______. 含30°角的直角三角形的性质： 30° 一半 考点一 轴对称及轴对称图形 例1 城市市标是城市的品牌形象.以下选取了国内部分城市市标中的图案，其中轴对称图形有 ( ) ACD A.金华 B.成都 C.南昌 D.梅州 当堂检测 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例2 按要求完成作图： (1) 作△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； (2) 在 x 轴上找出点 P，使 PA + PC 最小，并直接写出 P 点的坐标. x y O A B C 1 1 A1 B1 C1 解：(1) 先找出点 A、B、C 关于 y 轴的对称点， 再依次连线即可. 当堂检测 考点三 线段的垂直平分线的性质和判定 例3 在△ABC 中，AD 是高，在线段 DC 上取一点 E，使 BD = DE，连接 AE，已知 AB + BD = DC. 求证：点 E 在线段 AC 的垂直平分线上. A B C D E 当堂检测 证明：∵ AD 是高，∴ AD⊥BC. ∴ 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上. ∴ EC = AE. 即 DE + EC = AE + DE. ∴ DC = AE + DE， 又∵ AB + BD = DC， ∴ AB + BD = AE + DE. ∴ AB = AE. ∴ AD 所在的直线是线段 BE 的垂直平分线. 又∵ BD = DE， A B C D E 当堂检测 考点四 等腰三角形的性质和判定 例4 等腰三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍，求该等腰三角形的顶角的度数. 解：设该等腰三角形中，小角的度数为 x， 则大角的度数为 2x. 当 x 为底角时， x + x + 2x = 180°， 解得 x = 45°，则 2x = 90°. 当 x 为顶角时， x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 故该等腰三角形顶角的度数为 90° 或 36°. 当堂检测 核心考点巩固 考点1 轴对称图形与轴对称 1.［2024重庆中考］下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 25 2.［教材探究变式］如图，与 关于直线对称，为 上任一点 （不与， 共线），下列结论中错误的是 ( ) D A. 是等腰三角形 B.垂直平分 C.与 的面积相等 D.直线，的交点不一定在 上 返回 举一反三 26 考点2 线段的垂直平分线的性质与判定 （第3题） 3.如图，在中， ， 垂直平分 交于点，若的周长为 ，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 27 （第4题） 4.［2025廊坊月考］如图，在 中，根据尺规作 图的痕迹，下列四个结论： ； ；； .一定 正确的有( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 返回 举一反三 28 5.如图，在中， ， 平分 ，于点，连接 . （1）若 ，求 的度数； 解：平分， ， . ， ， . 举一反三 29 （2）求证：直线是线段 的垂直平分线. 证明：， ， . 平分 ， . 又， . ， 点，点在线段的垂直平分线上， 直线 是线段 的垂直平分线. 返回 举一反三 30 考点3 逆命题与逆定理 6.下列各命题的逆命题是真命题的是( ) A A.等边三角形的三个内角都相等 B.若两直线垂直，则两直线有交点 C.若，，则 D.无理数是无限小数 返回 举一反三 31 7.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是____________________ _______________. 有两个角相等的三角 形是等腰三角形 返回 举一反三 32 考点4 用坐标表示轴对称 8.已知点和点关于轴对称，则与 的值分 别是( ) D A.2，1 B.1，2 C.1， D. ，1 返回 举一反三 33 9. 蔚县剪纸是国家级非物质文化遗产代表性项目之一，将如 图所示的剪纸作品放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ， 与其关于轴对称的点的坐标为，则 的值为___. 1 返回 举一反三 34 考点5 等腰三角形的性质与判定 10. 如图是跷跷板示意图，支柱与地面垂直，点 是 的中点，绕着点上下转动.若端落地时， ，则跷 跷板上下可转动的最大角度（即 ）是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 35 11.［2024云南中考］已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线的距离为3，则点到直线 的距离为( ) C A. B.2 C.3 D. 返回 举一反三 36 12.［2025石家庄裕华区期末］如图，在中， ， ，，过点的直线，与 的平分线分别 交于点，，则 的长为( ) A A.14 B.16 C.18 D.20 返回 举一反三 37 13.［2024陕西中考］如图，已知直线和外一点 ，请用尺规作图法， 求作一个等腰直角三角形，使得顶点和顶点都在直线 上. （作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 解：等腰直角三角形 如图所示. （答案不唯一） 返回 举一反三 38 14. 如图，与交于点，连接，， .有下 列四个条件：；； ； .请从中选出两个作为已知条件，得出 是等腰三 角形（写出一种即可），并加以证明. 已知：____.（填序号） 求证： 是等腰三角形. 举一反三 39 解：可以选择填写：（或①④或②③或 ） 下面以①③为例证明：，， ， . 是等腰三角形. 返回 举一反三 40 考点6 等边三角形的性质与判定 （第15题） 15.如图，太阳光线平行照射在放置于地面的等 边三角形上，若 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 41 （第16题） 16.如图，是等边三角形，为中线，为 上 一点，且，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 42 17.［2024长沙中考］如图，点在线段上，， ， . （1）求证： ； 证明：在与中， . 举一反三 43 （2）若 ，求 的度数. 解：， ， ， ， 是等边三角形， . 返回 举一反三 44 考点7 含 角的直角三角形的性质 18.如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点 旋转，记旋转角 .若， ，则栏杆 端从栏杆 水平位置上升的垂直距离为__ . 返回 举一反三 45 19.［2025廊坊月考］在中， ， ， ， 在的延长线上取一点，使，则 的长为___. 6 返回 举一反三 46 谢谢观看 THANKS $