15.3.2 第2课时 含 30° 角的直角三角形的性质（课件）-2026—2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦含30°角直角三角形的性质及逆定理，通过复习等边三角形性质，结合三角尺实物提问引发思考，再引导学生剪等边三角形纸片对折探究，搭建从已知到未知的学习支架，帮助理解定理来源。 其亮点在于以动手操作（剪折纸片）和逻辑推理（中线法证明）为主线，结合屋架设计、台风中树折断等实际问题，培养学生几何直观与推理能力。练习分层设计，小结系统梳理性质，助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第15章 轴对称 15.3.2 第2课时 含 30° 角的直角三角形的性质 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/21 15.3.2第2课时 含30°角的直角三角形的性质专项练习 核心知识点梳理：1. 性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2. 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°；3. 核心考点：结合直角三角形内角和、等边三角形性质进行边长计算、几何证明，是几何线段倍分关系的重要依据。 一、基础填空题（每空3分，共24分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠A所对的直角边是________，且等于斜边的________。 2. Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10，∠B=30°，则AC=________。 3. 直角三角形中，若一条直角边为斜边的一半，则该直角边对应的锐角为________°。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则斜边AB=________。 5. 含30°角的直角三角形，两个锐角的度数分别是30°和________°。 6. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=16，∠A=30°，则BC=________。 7. 等边三角形作一条高，可将其分成两个________的直角三角形。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=8，则较短直角边长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 下列关于含30°角直角三角形的性质说法正确的是（） A. 30°角对的直角边等于另一直角边一半 B. 30°角对的直角边等于斜边一半 C. 斜边等于30°角对直角边的1.5倍 D. 三边长度比为1:2:3 3. Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=10，则∠A的度数为（） A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 4. 等腰三角形顶角为120°，腰长为6，则底边上的高为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3，则AB的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、基础解答题（每题12分，共36分） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，求直角边BC的长。 2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1/2AB，求证：∠A=30°。 3. 如图，等边△ABC边长为8，AD⊥BC于D，求AD的长度。 四、易错提升题（20分） 在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，∠A=30°，CD=4，求AD的长。（提示：结合角平分线与30°直角三角形性质求解） 参考答案及详细解析 一、填空题 1. BC、一半 解析：30°锐角对的直角边为斜边的一半；2. 5 解析：∠B=30°，对边AC=1/2AB=5；3. 30 解析：逆定理可直接判定；4. 8 解析：BC=1/2AB，AB=2BC=8；5. 60 解析：直角三角形两锐角互余；6. 8 解析：30°角对边BC=1/2AB=8；7. 含30°角 解析：等边三角形高拆分出两个全等的30°直角三角形。 二、选择题 1. B 解析：30°角对直角边AC=1/2×8=4；2. B 解析：核心性质定理，30°角所对直角边等于斜边一半；3. B 解析：直角边为斜边一半，对应锐角为30°；4. A 解析：拆分出30°直角三角形，高为腰长一半；5. D 解析：∠B=30°，AC=1/2AB，AB=6。 三、解答题 1. 解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB。∵AB=12，∴BC=6。 2. 证明：取AB中点D，连接CD，直角三角形斜边中线等于斜边一半，CD=AD=BD。又BC=1/2AB，∴BC=BD=CD，△BCD为等边三角形，∠B=60°，∴∠A=180°-90°-60°=30°。 3. 解：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴BD=4，∠BAD=30°。在Rt△ABD中，AB=8，BD=4，由勾股定理得AD=√(8²-4²)=4√3。 四、提升题 解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°。∴∠A=∠ABD=30°，BD=AD。在Rt△BCD中，∠CBD=30°，CD=4，∴BD=2CD=8，即AD=8。 练习总结：本练习聚焦含30°角直角三角形的核心性质与逆定理，重点考查线段倍分计算、性质证明、与角平分线及等边三角形的综合应用，针对性突破学生“混淆直角边与斜边关系、忽略定理适用直角三角形前提”的易错点，夯实几何线段计算与推理核心能力，适配八年级同步课堂训练需求。（字数：1011） 情境导入 1.利用轴对称的性质，探索并掌握含30°角的直角三角形的性质. 2.能利用含30°角的直角三角形的性质解决特殊直角三角形的问题，发展推理能力. 学习目标 等边三角形 性质 1. 三边相等 2. 三个角都相等，都是60° 3. “三线合一” 4. 轴对称图形（3条对称轴） 判定 1. 三边相等（定义法） 2. 三个角都相等 3. 有一个角是60°的等腰三角形 复习 等边三角形的性质和判定. 情境导入 我们经常使用的三角尺是两个特殊的直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，它有两个45°的锐角，两条直角边相等；那么另一个三角尺的边之间是否存在特殊的数量关系呢? 情境导入 知识点:含 30° 角的直角三角形的性质 活动一 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 探究新知 活动二 剪下这个直角三角形，分组探究它的性质. 分析： 边 含 30° 角的直角三角形 角 对称性 ？ ∠A + ∠B = 90° 无 你能类比探究等边三角形的性质探究它吗？ 探究新知 叠一叠 猜想：它所对的直角边(BC)等于斜边(AB)的一半. 如何证明呢？ 探究新知 在 Rt△ABC 中，已知 ∠C = 90°，∠A = 30°. 证明： ∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. 你还能用其他的方法证明吗？ 这种证明方法叫做中线法. 探究新知 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的______. 一半 几何语言 ∵∠A = 30°， 在 Rt△ACB ，∠ACB = 90°， 探究新知 例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？ 分析： BC Rt△ACB DE Rt△AED 探究新知 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. 探究新知 1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？ 边AB与BC之间有什么关系？ 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°，∠B=2∠A， ∴∠A+2∠A+90°=180°， ∴∠A=30°， ∴∠B=60°，AB=2BC. A C B 当堂检测 2.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度？ 解：如图，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，BC=CD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB =AD， ∴AB=2BC=BC+CD=BD， ∴AB=AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠B=60°，∠BAC=90°-∠B=30°. A C B D 当堂检测 3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下的部分与地面成30°夹角，则这棵树在折断前的高度为（ ） A.4米 B.8米 C.12米 D.16米 C 4米 8米 当堂检测 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC<AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接 DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点 B'，若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°， CE=3，则BC的长为_____. 9 当堂检测 5.如图,在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段OC为边在第一象限内作等边三角形OBC，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接BD，以线段BD为边在第 一象限内作等边三角形BDE，直线CE与 y轴交于点A，若AC=4， 则点C的坐标为_______. (2，0) 当堂检测 知识点 含 角的直角三角形的性质 （第1题） 1.如图，在中， ， ， ，则 的长为( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 返回 举一反三 17 （第2题） 2. 如图是某商场一楼与二楼之间 的电梯示意图. ，的长是 ， 则乘电梯从点到点上升的高度 是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 （第3题） 3.［2025唐山期末］如图，在 中， ， ，点 是边 的中点，则 的长是( ) B A.4 B.6 C.8 D.12 返回 举一反三 19 （第4题） 4.如图，在中， ， ， 为的垂直平分线，，则 的长是___. 8 返回 举一反三 20 5.［教材习题变式］如图，在中， ， ，交于点.求证： . 证明：， ， . ， ， 在中， . 返回 举一反三 21 （第6题） 6.如图， ，为 平分线上一 点，交于点，于点 ，若 ，则 的长为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 22 （第7题） 7.［教材习题 变式］如图，有一艘轮船正 由东向西航行，在，处观察灯塔 ，测得 ， ，且 海 里，若轮船航向保持不变，则灯塔与轮船之间 的最近距离是____海里. 10 返回 举一反三 23 直角三角形的两个锐角____ 直角三角形的性质 性质2 性质1 在____三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的_______等于_____的一半 直角 互补 直角边 斜边 在 Rt△ACB ，∠ACB = 90°， ∵∠A = 30°， 课堂小结 谢谢观看 THANKS ∴BC = BD = eq \f(1,2)AB. ∴CD = eq \f(1,2)AB = BD. BC = eq \f(1,2) AB. ∴BC = eq \f(1,2)AB. 又AD = eq \f(1,2)AB， ∴DE = eq \f(1,2)AD = eq \f(1,2)×3.7 = 1.85. ∴BC = eq \f(1,2)AB，DE= eq \f(1,2)AD. ∴BC = eq \f(1,2)×7.4=3.7. ∴BC = eq \f(1,2)AB. $