第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破（六大高频+二大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“基础-核心-综合”三级题型为框架，系统整合二次函数概念、性质、应用及综合压轴题，提炼定义要素、解析式选型、平移口诀等实用方法，突出数形结合与分类讨论思想，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础高频题型|6类基础题型，含概念辨析、解析式求法等|定义三要素判定、解析式选型策略（顶点式/交点式/一般式）、平移“左加右减”口诀|从概念本质（a≠0）到图象性质（开口/对称轴/最值），再到方程关联与实际应用，形成“概念-性质-应用”递进链条| |核心重难题型|2类压轴题型，含几何综合与新定义|几何条件代数化（坐标表示几何量）、新定义翻译（转化为二次函数常规问题）、分类讨论（等腰/直角三角形存在性）|以基础性质为依托，拓展至几何图形综合（面积/存在性问题）与创新情境（新定义），体现知识迁移与高阶思维|

第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念 题型2 二次函数的解析式求法 题型3 二次函数的图象与性质 题型4 二次函数图象的平移与变换 题型5 二次函数与一元二次方程 题型6 二次函数的实际应用 核心提升·重难题型归纳 题型1 二次函数与几何综合（培优/压轴） 题型2 二次函数中的新定义与阅读理解（压轴） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 二次函数的概念 定义三要素 ①等号左边是函数 y；②右边是关于自变量 x 的整式；③二次项系数 a≠0（这是最易忽略的条件）。自变量 x 的取值范围通常是全体实数，实际问题中需根据具体情境确定。 易错点1：忽略 a≠0 的条件 判断二次函数时，必须确保二次项系数不为0。例如 y = (m-1)x² + 2x + 3 是二次函数的条件是 m ≠ 1，而非仅仅"含有x²项"。 易错点2：未化简就判断 某些函数表面上含有x²项，但化简后二次项抵消，实际不是二次函数。如 y = (x+1)² - x² 化简后为 y = 2x + 1，是一次函数。必须先化简再判断。 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 3．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． ◆题型2 二次函数的解析式求法 选型策略 已知顶点或对称轴→优先顶点式；已知与x轴两交点→优先交点式；已知三个普通点→用一般式。合理选择形式可大幅减少计算量。 易错点：交点式符号错误 使用交点式 y = a(x-x₁)(x-x₂) 时，x₁、x₂ 是交点的横坐标，代入时应为(x - x₁)和(x - x₂)。若交点为(-2, 0)，则因式为(x - (-2)) = (x + 2)，切勿写成(x - 2)。 5．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 6．抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 7．已知：抛物线经过、两点，顶点为．求： (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点和点在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系． ◆题型3 二次函数的图象与性质 数形结合速判 解决图象性质问题时，画出草图是最有效的辅助手段。先确定开口方向、对称轴、顶点，再根据需要标注关键点，利用图象的直观性快速判断增减性、最值和函数值大小。 易错点1：顶点坐标公式记混 注意横坐标有负号，纵坐标分子是4ac-b²（不是b²-4ac）。建议用配方法验证，减少记忆错误。 易错点2：增减性忽略对称轴 讨论二次函数的增减性必须以对称轴为分界点。开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时相反。不能笼统地说"y随x增大而增大"或"y随x增大而减小"。 易错点3：最值不考虑自变量范围 当自变量x有取值范围限制时，最值不一定在顶点处取得。需要比较顶点函数值与区间端点函数值，取最大（小）者。这是实际应用题中的高频失分点。 8．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 9．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 11．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 12．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 14．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 15．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． ◆题型4 二次函数图象的平移与变换 平移口诀 "左加右减，上加下减"——左右平移针对x（在括号内加减），上下平移针对整个函数（在括号外加减）。注意：左右平移的方向与加减号相反，向左移用加法，向右移用减法。 核心思想 抛物线的平移和变换本质上是顶点的移动，a（开口方向和大小）在平移中不变，在对称变换中可能变号。抓住顶点这一"锚点"，所有变换问题都迎刃而解。 易错点1：平移方向与加减号混淆 "左加右减"是高频易错点。向左平移h个单位，解析式中x变为x+h（加）；向右平移h个单位，x变为x-h（减）。方向与符号相反，务必通过顶点坐标验证：向左移顶点横坐标减小，对应x+h才能让新顶点在左侧。 易错点2：平移一般式时直接加减 平移时必须先化为顶点式，再按"左加右减、上加下减"处理。不能在一般式 y = ax²+bx+c 中直接对x加减，否则会出错。正确做法：化为顶点式→平移→（如需）化回一般式。 易错点3：对称变换忽略a变号 关于x轴、原点、顶点对称时，开口方向反向，a要变号；关于y轴对称时，开口方向不变，a不变号。常犯错误是只改变顶点坐标而忘记改变a的符号。 16．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 18．（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 19．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 20．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． ◆题型5二次函数与一元二次方程 图象法解不等式 解二次不等式的关键是画出抛物线草图，确定与x轴的交点，然后根据"大于取两边，小于取中间"（a>0时）的原则写出解集。注意a<0时方向相反，建议先将a化为正数再判断。 易错点1：解不等式时忽略开口方向 二次不等式的解集与开口方向密切相关。a>0时"大于取两边，小于取中间"；a<0时正好相反。解题前必须先确认a的符号，或先将二次项系数化为正数。 易错点2：交点个数判断混淆 抛物线与x轴交点个数由 Δ = b²-4ac 决定；抛物线与直线交点个数由联立后方程的判别式决定（注意此时二次项系数仍为a，但一次项和常数项会变化）。两者不能混用。 易错点3：写解集时端点取舍 不等式 ax²+bx+c ≥ 0 或 ≤ 0 的解集包含等号，即包含与x轴交点的横坐标；而 > 0 或 < 0 的解集不包含端点。注意区分"≥"与">"、"≤"与"<"。 22．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 23．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 24．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 25．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 26．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 27．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 28．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 29．（2026·辽宁·中考真题）已知二次函数，与的几组对应值如表所示： … … … … (1)选取部分数据，求二次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，点是抛物线与抛物线的一个交点． ①过点作垂直于轴的直线，与，分别相交于点，．若点在点的上方，且，求的值； ②若函数其中，且函数的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数其中，且函数的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． ◆题型6二次函数的实际应用 建模关键 利润问题中，销售量往往与售价成一次函数关系（售价提高，销量减少）。设降价（或涨价）金额为x元，用含x的式子表示单件利润和销售量，总利润即为关于x的二次函数，再求最值。务必注意自变量x的实际取值范围。 面积问题通常设一边长为x，用含x的式子表示另一边长，面积即为关于x的二次函数。注意利用几何关系（周长固定、相似三角形等）建立边长之间的联系，并确认x的取值范围受几何条件约束。 抛物线型问题的关键是建立合适的平面直角坐标系。通常选择抛物线的顶点为原点，或选择抛物线与地面的交点为原点，使解析式尽可能简单（顶点式或交点式）。建系后先确定关键点坐标，再求解析式。 易错点1：忽略自变量取值范围 这是实际应用题最常见的失分点。求出二次函数解析式后，必须根据实际情境确定x的取值范围（如售价≥进价、边长>0、不超过墙长等）。顶点不一定在取值范围内，若不在则最值在端点取得。 易错点2：利润问题中销量表达式错误 售价每提高1元少售10件，当售价为x元时，提高了(x-50)元，销量为200-10(x-50)，而非200-10x。要正确理解"每提高1元"对应的变化量，用售价与基准售价的差来计算销量变化。 易错点3：拱桥问题中建系后坐标符号错误 以顶点为原点建系时，水面在顶点下方，所以水面交点的纵坐标为负数。计算船能否通过时，要正确理解y值的含义，不能直接用y的绝对值与船高比较，需结合拱高进行换算。 30．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 33．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 34．（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 35．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 36．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ ◆题型1 二次函数与几何综合（培优/压轴） 核心思想 几何综合题的本质是"几何条件代数化"：将几何关系（边长相等、垂直、平行等）转化为代数方程。关键是用参数表示点坐标，再用坐标表示几何量。分类讨论时要做到不重不漏，最后检验所有解是否符合题意。 易错点1：分类讨论不完整 存在性问题必须全面分类。等腰三角形分3种（哪个顶点为顶角），直角三角形分3种（哪个顶点为直角），平行四边形分3种（哪条线段为对角线）。漏掉任何一种情况都会失分。讨论后还要注意去重。 易错点2：忘记检验解的合理性 解方程得到的参数值不一定都符合题意。需要检验：点是否在指定范围内、四点是否共线（不能构成四边形）、是否有重合点等。不符合条件的解必须舍去。 易错点3：面积计算方法选择不当 坐标系中三角形面积优先用铅垂高法或坐标法，避免用"底×高/2"中高难以计算的情况。铅垂高法的关键是找到水平方向的底边和铅垂方向的高，将面积转化为二次函数求最值。 37．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 38．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 40.如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 41.如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． ◆题型2 二次函数中的新定义与阅读理解（压轴） 解题心法 新定义题"新"的只是包装，"旧"的是内核。无论定义多么新颖，解题最终都要回归到二次函数的解析式、图象、性质、方程等基础知识。关键是准确理解定义，将新语言翻译成熟悉的数学表达式，然后用常规方法求解。 42．如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”． (1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值； (2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点． ①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”； ②若，，求点与原点的距离的取值范围． 43．（2026·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 44.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，如点，，，……都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． (1)若点是反比例函数（n为常数，）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； (2)函数，（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值； (3)若二次函数（a是常数且不为0）的图象上存在两个“梦之点”，，且，试求二次函数的顶点坐标． 45．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 4．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 7．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 8．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 9．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、解答题 10．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 12．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 13．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念 题型2 二次函数的解析式求法 题型3 二次函数的图象与性质 题型4 二次函数图象的平移与变换 题型5 二次函数与一元二次方程 题型6 二次函数的实际应用 核心提升·重难题型归纳 题型1 二次函数与几何综合（培优/压轴） 题型2 二次函数中的新定义与阅读理解（压轴） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 二次函数的概念 定义三要素 ①等号左边是函数 y；②右边是关于自变量 x 的整式；③二次项系数 a≠0（这是最易忽略的条件）。自变量 x 的取值范围通常是全体实数，实际问题中需根据具体情境确定。 易错点1：忽略 a≠0 的条件 判断二次函数时，必须确保二次项系数不为0。例如 y = (m-1)x² + 2x + 3 是二次函数的条件是 m ≠ 1，而非仅仅"含有x²项"。 易错点2：未化简就判断 某些函数表面上含有x²项，但化简后二次项抵消，实际不是二次函数。如 y = (x+1)² - x² 化简后为 y = 2x + 1，是一次函数。必须先化简再判断。 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 2．（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 3．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . ◆题型2 二次函数的解析式求法 选型策略 已知顶点或对称轴→优先顶点式；已知与x轴两交点→优先交点式；已知三个普通点→用一般式。合理选择形式可大幅减少计算量。 易错点：交点式符号错误 使用交点式 y = a(x-x₁)(x-x₂) 时，x₁、x₂ 是交点的横坐标，代入时应为(x - x₁)和(x - x₂)。若交点为(-2, 0)，则因式为(x - (-2)) = (x + 2)，切勿写成(x - 2)。 5．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数解析式为， 则由顶点为知，． ， 把代入解析式得， 解得， 解析式为． 6．抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 7．已知：抛物线经过、两点，顶点为．求： (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点和点在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 所以； （2）解：， 点坐标为， 所以的面积； （3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下， 所以当时，． ◆题型3 二次函数的图象与性质 数形结合速判 解决图象性质问题时，画出草图是最有效的辅助手段。先确定开口方向、对称轴、顶点，再根据需要标注关键点，利用图象的直观性快速判断增减性、最值和函数值大小。 易错点1：顶点坐标公式记混 注意横坐标有负号，纵坐标分子是4ac-b²（不是b²-4ac）。建议用配方法验证，减少记忆错误。 易错点2：增减性忽略对称轴 讨论二次函数的增减性必须以对称轴为分界点。开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时相反。不能笼统地说"y随x增大而增大"或"y随x增大而减小"。 易错点3：最值不考虑自变量范围 当自变量x有取值范围限制时，最值不一定在顶点处取得。需要比较顶点函数值与区间端点函数值，取最大（小）者。这是实际应用题中的高频失分点。 8．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 9．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 10．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 11．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 12．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 13．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 14．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 15．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． ◆题型4 二次函数图象的平移与变换 平移口诀 "左加右减，上加下减"——左右平移针对x（在括号内加减），上下平移针对整个函数（在括号外加减）。注意：左右平移的方向与加减号相反，向左移用加法，向右移用减法。 核心思想 抛物线的平移和变换本质上是顶点的移动，a（开口方向和大小）在平移中不变，在对称变换中可能变号。抓住顶点这一"锚点"，所有变换问题都迎刃而解。 易错点1：平移方向与加减号混淆 "左加右减"是高频易错点。向左平移h个单位，解析式中x变为x+h（加）；向右平移h个单位，x变为x-h（减）。方向与符号相反，务必通过顶点坐标验证：向左移顶点横坐标减小，对应x+h才能让新顶点在左侧。 易错点2：平移一般式时直接加减 平移时必须先化为顶点式，再按"左加右减、上加下减"处理。不能在一般式 y = ax²+bx+c 中直接对x加减，否则会出错。正确做法：化为顶点式→平移→（如需）化回一般式。 易错点3：对称变换忽略a变号 关于x轴、原点、顶点对称时，开口方向反向，a要变号；关于y轴对称时，开口方向不变，a不变号。常犯错误是只改变顶点坐标而忘记改变a的符号。 16．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 17．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 【答案】 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 19．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 20．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 21．（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． ◆题型5二次函数与一元二次方程 图象法解不等式 解二次不等式的关键是画出抛物线草图，确定与x轴的交点，然后根据"大于取两边，小于取中间"（a>0时）的原则写出解集。注意a<0时方向相反，建议先将a化为正数再判断。 易错点1：解不等式时忽略开口方向 二次不等式的解集与开口方向密切相关。a>0时"大于取两边，小于取中间"；a<0时正好相反。解题前必须先确认a的符号，或先将二次项系数化为正数。 易错点2：交点个数判断混淆 抛物线与x轴交点个数由 Δ = b²-4ac 决定；抛物线与直线交点个数由联立后方程的判别式决定（注意此时二次项系数仍为a，但一次项和常数项会变化）。两者不能混用。 易错点3：写解集时端点取舍 不等式 ax²+bx+c ≥ 0 或 ≤ 0 的解集包含等号，即包含与x轴交点的横坐标；而 > 0 或 < 0 的解集不包含端点。注意区分"≥"与">"、"≤"与"<"。 22．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 23．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 24．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 25．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 26．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 28．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 29．（2026·辽宁·中考真题）已知二次函数，与的几组对应值如表所示： … … … … (1)选取部分数据，求二次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，点是抛物线与抛物线的一个交点． ①过点作垂直于轴的直线，与，分别相交于点，．若点在点的上方，且，求的值； ②若函数其中，且函数的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数其中，且函数的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的表达式为． (2)①的值为；②的值为；③的取值范围是或． 【详解】（1）解：把，代入 得 二次函数的表达式为． （2）解： 把向右平移个单位，再向上平移个单位得： 即 当时， 把代入得： ①，。 因为点在点上方，所以线段的长度为： 令，解得。 ② 因此，当时，取得最大值， 对，当时，取得最小值， 情况1：当时， 当时，，此时, , 不符合题意； 情况2：当时， ， ，，则： 不符合题意； 情况3：当时， 此时，（由在处的取值决定）， 令，化简得： 解得（舍去，因），。 故； ③令，解得， 即与轴交点为、。 令，由求根公式得， 即与轴交点为、， 当时， 函数的图象在范围内与轴无交点； 又，故函数的图象在范围内与轴最多只有个交点， 因此不符合题意； 当时， 在范围内与轴有个交点； 要使函数的图象与轴总共有个交点，需函数的图象在范围内与轴无交点， 或 即或 的取值范围是或． ◆题型6二次函数的实际应用 建模关键 利润问题中，销售量往往与售价成一次函数关系（售价提高，销量减少）。设降价（或涨价）金额为x元，用含x的式子表示单件利润和销售量，总利润即为关于x的二次函数，再求最值。务必注意自变量x的实际取值范围。 面积问题通常设一边长为x，用含x的式子表示另一边长，面积即为关于x的二次函数。注意利用几何关系（周长固定、相似三角形等）建立边长之间的联系，并确认x的取值范围受几何条件约束。 抛物线型问题的关键是建立合适的平面直角坐标系。通常选择抛物线的顶点为原点，或选择抛物线与地面的交点为原点，使解析式尽可能简单（顶点式或交点式）。建系后先确定关键点坐标，再求解析式。 易错点1：忽略自变量取值范围 这是实际应用题最常见的失分点。求出二次函数解析式后，必须根据实际情境确定x的取值范围（如售价≥进价、边长>0、不超过墙长等）。顶点不一定在取值范围内，若不在则最值在端点取得。 易错点2：利润问题中销量表达式错误 售价每提高1元少售10件，当售价为x元时，提高了(x-50)元，销量为200-10(x-50)，而非200-10x。要正确理解"每提高1元"对应的变化量，用售价与基准售价的差来计算销量变化。 易错点3：拱桥问题中建系后坐标符号错误 以顶点为原点建系时，水面在顶点下方，所以水面交点的纵坐标为负数。计算船能否通过时，要正确理解y值的含义，不能直接用y的绝对值与船高比较，需结合拱高进行换算。 30．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 32．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 33．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 34．（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 35．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 36．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． ◆题型1 二次函数与几何综合（培优/压轴） 核心思想 几何综合题的本质是"几何条件代数化"：将几何关系（边长相等、垂直、平行等）转化为代数方程。关键是用参数表示点坐标，再用坐标表示几何量。分类讨论时要做到不重不漏，最后检验所有解是否符合题意。 易错点1：分类讨论不完整 存在性问题必须全面分类。等腰三角形分3种（哪个顶点为顶角），直角三角形分3种（哪个顶点为直角），平行四边形分3种（哪条线段为对角线）。漏掉任何一种情况都会失分。讨论后还要注意去重。 易错点2：忘记检验解的合理性 解方程得到的参数值不一定都符合题意。需要检验：点是否在指定范围内、四点是否共线（不能构成四边形）、是否有重合点等。不符合条件的解必须舍去。 易错点3：面积计算方法选择不当 坐标系中三角形面积优先用铅垂高法或坐标法，避免用"底×高/2"中高难以计算的情况。铅垂高法的关键是找到水平方向的底边和铅垂方向的高，将面积转化为二次函数求最值。 37．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 38．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 39．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  40.如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 41.如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． ◆题型2 二次函数中的新定义与阅读理解（压轴） 解题心法 新定义题"新"的只是包装，"旧"的是内核。无论定义多么新颖，解题最终都要回归到二次函数的解析式、图象、性质、方程等基础知识。关键是准确理解定义，将新语言翻译成熟悉的数学表达式，然后用常规方法求解。 42．如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”． (1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值； (2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点． ①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”； ②若，，求点与原点的距离的取值范围． 【详解】（1）解：∵三点均在（为常数，）的图象上， 将三点横坐标代入函数可得：，，， ∵， ， ∵这三点的纵坐标构成“美丽三数组”， 或或， ∴或或， ∴或或， 或或0（此时无意义，舍去）， 或； (2)①证明：∵， ∴均不为0， ∴都不为0， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， 联立直线与抛物线解析式，消去可得， 即， ∵直线与抛物线交于两点， ∴是方程的两根， ， ， ∴构成“美丽三数组”； ②∵，是方程的根， ， ， ， ∴， 若，则，由可得，则，因此，故与（负数大于正数）矛盾，因此， 整理可得， 解得， ， ， 令， 则，且，， ， ∴当时，随的增大而减小，当时，有最大临界值，当时，有最小临界值， 当时，随的增大而增大，当时，有最小临界值，当时，有最大临界值， 且， ∵P到原点的距离为非负数， 且． 43．（2026·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； (3)解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是 ，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； 44.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，如点，，，……都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． (1)若点是反比例函数（n为常数，）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； (2)函数，（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值； (3)若二次函数（a是常数且不为0）的图象上存在两个“梦之点”，，且，试求二次函数的顶点坐标． 【答案】(1) (2)“梦之点”坐标为， (3)顶点坐标为或 【详解】（1）解：∵点是“梦之点”， ∴， ∴， ∴把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设相同的“梦之点”坐标为， 将代入，得， 整理得， 当，即时，， ∴“梦之点”坐标为， 将代入，得， 解得； 当，即时，则函数为， ∴其图象上所有点均为“梦之点”，此时相同的“梦之点”不唯一，不符合题意，舍去.； ∴“梦之点”的坐标为，n的值为7． （3）解：∵“梦之点”满足， 将代入，得， 整理得， ∵， ∴无论取何值，方程都有实数根， 由题意得，该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 由得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， 即， ∴或， 当时，解得，符合题意， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 当时，解得，符合题意， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 综上所述，二次函数的顶点坐标为或． 45．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为 (3)a的取值范围为或或 【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”， ∴两个函数的点分别关于原点中心对称， 设函数上的任一点为，则它的对称点为， 将代入函数得， ∴． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为； 同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （2）解：如图，当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大， ∵“伴随函数”的开口方向向下， ∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大， ∴，同时“伴随函数”的对称轴应与直线重合或在直线的左侧， ∴， ∴， 综上，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为； （3）解：①当“伴随函数”的顶点在上时，如图， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点为对称中心， ∴函数N的对称轴为直线， ∴函数N的顶点坐标为， ∵关于点对称的点为， ∴将代入得， ∴； ②当两个函数的交点在上时，如图， 二次函数与x轴的交点为和， ∵点为对称中心， ∴函数N与x轴的交点为和， ∴函数N的解析式为， 当时，， 解得； ③当“伴随函数”经过点B时，如图， ∵点， ∴， 解得． 综上，图形W与线段恰有2个公共点，a的取值范围为或或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 2．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 二、填空题 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 7．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 8．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 9．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三、解答题 10．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 11．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 12．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 13．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 14．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)或或；或 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $