专题03 乘法公式11类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“通法归纳+11类题型精讲”构建乘法公式专项训练体系，通过特征-方法-易错三维度提炼解题策略，实现从基础计算到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|2大解题原则（结构判断、整体代入）|构建公式应用底层逻辑| |11类题型|每类含典例+4变式|平方差/完全平方公式的计算、变形、几何验证、证明、最值及实际应用|从代数计算到几何直观，再到综合证明与实际建模，形成完整能力链|

专题03 乘法公式11类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用平方差公式进行计算 1 类型二、利用平方差公式进行简便计算 2 类型三、利用平方差公式变形求值 6 类型四、平方差公式与几何图形的应用 9 类型五、利用完全平方公式进行计算 14 类型六、利用完全平方公式简便计算 16 类型七、利用完全平方公式变形求值 19 类型八、完全平方公式与几何图形的应用 22 类型九、与乘法公式有关的证明 28 类型十、利用乘法公式求最值 31 类型十一、乘法公式的实际应用 35 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 乘法公式是整式乘除的核心工具，主要包括平方差公式和完全平方公式，是期中期末必考内容。解题贯穿两条原则：一是先观察式子结构，判断符合哪个公式的特征，再套用公式；二是公式中的 a 和 b 可以是数、单项式或多项式，需整体代入。所有计算结果最终均需展开验证 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用平方差公式进行计算 典例精讲1（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，判断两个相乘的二项式是否满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，符合条件即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：原式整理为，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； B选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求； C选项：原式中既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求． 题型归纳 1.特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，形如括号 a 加 b 乘括号 a 减 b 2.方法：直接套用平方差公式，结果等于相同项的平方减相反项的平方，即 a 的平方减 b 的平方 3.易错提醒：分不清哪项是相同项、哪项是相反项；相反项平方后符号为正，不要带负号；a、b 为多项式时忘记整体加括号 变式训练1（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个分解为，然后通过“约分”消去中间项，直接得到首尾相乘的结果即可． 【详解】解：原式 ． 变式训练2（25-26七年级下·浙江台州·期末）若实数满足，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】利用换元法设，则由已知可得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式训练3（25-26七年级下·宁夏银川·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】通过变形后利用平方差公式简化计算，将原式中和改写为与相关的和差形式，再运用平方差公式展开计算即可． 【详解】解：． 变式训练4（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若实数x，y满足方程组，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方差公式，将原式进行适当的变形是解答关键． 将方程组中的第二个方程整理后求出，再利用平方差公式代入求解． 【详解】解：， 由②得：， 由得：， 所以． 故答案为：5 类型二、利用平方差公式进行简便计算 典例精讲2（25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为，再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到，再由平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型归纳 1.特征：两个接近整数的数相乘，如 99 乘 101、48 乘 52，可拆成两数和乘两数差的形式 2.方法：将两个数分别写成同一个整数加一个数、减同一个数的形式，再用平方差公式简化计算 3.易错提醒：拆分后两数的 "中间数" 找错；加和减的数不相等导致无法用公式；计算整数平方时出错 变式训练1（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，将各式进行正确变形是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式训练2（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式训练3（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）请用简便方法进行计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算法则，平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练4（25-26八年级上·全国·单元复习）简便运算． 【答案】2800 【分析】本题考查了平方差公式，先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】 ． 类型三、利用平方差公式变形求值 典例精讲3（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为________． 【答案】8.75 【分析】将代入，得的值，再将x，y代入求出p的值，将x，y，p的值代入即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 故答案为：8.75． 题型归纳 1.特征：已知 a 加 b、a 减 b 或 a 的平方减 b 的平方中的部分值，求另一部分的值 2.方法：利用平方差公式变形：a 的平方减 b 的平方等于括号 a 加 b 乘括号 a 减 b，已知其中两个量可求第三个 3.易错提醒：公式变形时符号出错；已知条件代入时张冠李戴；未考虑多解情况 变式训练1（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 变式训练2（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段检测）已知，则的值为______． 【答案】48或 【分析】先利用等式的性质求出m的值，再利用整式的四则混合运算法则化简，最后代入求值． 【详解】解：，， ∴ 当时，原式； 当时，原式， 综上，的值为48或． 变式训练3（2022八年级下·江西·竞赛）计算的值为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式，先整理原式，再根据平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：1． 变式训练4（25-26八年级上·全国·周测）如果有理数a，b同时满足，那么的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式将所给等式变形是解题的关键． 已知等式整理后，利用平方差公式计算即可求的值． 【详解】解：已知等式变形得：， 整理得：，即， 则， 故答案为：. 类型四、平方差公式与几何图形的应用 典例精讲4（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 18 【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． （2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 题型归纳 1.特征：以几何图形面积为背景，如大正方形减去小正方形、阴影部分面积拼接，要求用平方差公式表示或计算面积 2.方法：将图形面积表示为两正方形面积之差（a 的平方减 b 的平方），或通过割补拼接成长方形（长 a 加 b、宽 a 减 b），利用面积相等验证平方差公式 3.易错提醒：图形边长与公式中 a、b 对应错误；割补后长宽搞反；忽略图形实际意义导致列式错误 变式训练1（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 变式训练2（25-26六年级下·山东烟台·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 变式训练3（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】(1)A (2)16 (3) 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 类型五、利用完全平方公式进行计算 典例精讲5（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的性质和完全平方公式逐一计算即可判断正误． 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 题型归纳 1.特征：求一个二项式的平方，形如括号 a 加 b 的平方或括号 a 减 b 的平方 2.方法：套用完全平方公式：和的平方等于首平方加尾平方加首尾乘积的 2 倍；差的平方等于首平方加尾平方减首尾乘积的 2 倍 3.易错提醒：漏掉中间项的 2 倍；中间项符号出错（和为加、差为减）；首项或尾项为负数时平方符号处理错 变式训练1（25-26八年级上·云南昆明·期末）若定义，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程，根据题意列方程，即可解答，根据新定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：， 由题意可得， 解得 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则________． 【答案】20 【分析】此题考查了完全平方公式，通过展开完全平方公式，比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：左边展开得：， 与右边 比较系数，得： ， 解得，代入得， 因此． 故答案为：20． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）已知，若，则______．（填“>”“<”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查作差法比较大小．可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练4（22-23八年级上·甘肃武威·阶段检测）用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 类型六、利用完全平方公式简便计算 典例精讲6（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型归纳 1.特征：求接近整数的数的平方，如 99 的平方、102 的平方，可拆成整数加或减一个小数的平方 2.方法：将底数拆成整十、整百数加或减一个较小数，用完全平方公式展开计算，避免直接硬算 3.易错提醒：拆分时整数与小数的和差写错；展开时中间项 2 倍漏掉；小数平方计算错误 变式训练1（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练2（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式训练3（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9801 【分析】本题考查平方差公式的应用以及完全平方公式的应用，解题关键在于概念的掌握． （1）将转化为可以使用平方差公式的形式，然后进行简便计算． （2）把转化为，然后利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1） ； （2） ． 类型七、利用完全平方公式变形求值 典例精讲7（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数a、b满足，，则______． 【答案】27 【分析】完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴． 题型归纳 1.特征：已知 a 加 b、a 减 b、a 的平方加 b 的平方、ab 中的部分值，求其他式子的值 2.方法：根据已知条件选择合适变形 3.易错提醒：变形公式记错（2ab 的符号搞反）；代入时数值对应错误；多次变形时中间步骤算错 变式训练1（25-26八年级上·全国·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由已知条件出发，通过平方得到的值，再平方一次得到的值． 【详解】解：由，两边平方得：，整理得： 再对，两边平方得： ∴， 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式结构是解题的关键． 利用完全平方公式，即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式得，， ， 将两式相减得， ， 即， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 【答案】17；3 【分析】由完全平方公式进行变形即可求解； 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴或3， ∵，∴， ∴． 变式训练4（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 类型八、完全平方公式与几何图形的应用 典例精讲8（25-26七年级下·北京顺义·期末）四张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，点分别是线段，，，的中点，图中阴影部分的面积是一张长方形纸片面积的3倍，则a，b满足的关系式是________． 【答案】 【分析】根据图形可知，计算出阴影部分的面积，再由阴影部分的面积是一张长方形纸片面积的3倍，建立等式求解即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， 则小正方形的面积为， 阴影部分一个三角形的底为，高为， 则阴影部分的三角形的面积为， ∴阴影部分总面积为， ∵阴影部分的面积是一张长方形纸片面积的3倍， ∴， 可得，即， 则， ∵， ∴． 题型归纳 1.特征：以正方形面积拼接为背景，如大正方形由两个小正方形和两个长方形组成，要求用完全平方公式表示面积关系 2.方法：将大正方形边长表示为 a 加 b，面积为括号 a 加 b 的平方；同时大正方形面积等于两个小正方形面积（a 的平方、b 的平方）加两个长方形面积（2ab），从而验证完全平方公式 3.易错提醒：图形中各部分边长与 a、b 对应错误；两个长方形面积算成 ab 而非 2ab；面积等量关系列错 变式训练1（25-26七年级下·江苏苏州·期末）将边长分别为，的两个正方形，如图放置，再构造出如图①和图②所示的长方形与正方形，设图①和图②中阴影部分的面积分别为，．若，则，之间的等量关系是________． 【答案】 【分析】图①中阴影部分是一个长为，宽为的长方形，图②中阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去正方形A和正方形B的面积，据此分别表示出与，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴. 变式训练2（25-26七年级下·山西运城·期末）魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 【答案】(1)； (2)内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； (3)①内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米；②平方米 【分析】（1）原长方形布料长、宽，裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为，拼接后，内部正方形边长为小长方形的长减宽，整个桌布的边长为小长方形的长加宽； （2）根据题意得出内部正方形的边长为，从而求出面积；再根据整个桌布的面积四个直角三角形的面积内部正方形的面积求解即可； （3）①根据题意得出，拼接后大正方形（桌布）边长为，据此求出桌布总面积；再根据内部正方形的面积桌布总面积原布料面积求解即可； ②根据正方形的面积桌布总面积四个直角三角形的面积，代入求解即可； 【详解】（1）解：∵原长方形布料长、宽， ∴裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为， ∴内部正方形的边长为：米， 整个正方形桌布的边长为米． （2）解：根据题意可得，4个全等直角三角形的直角边分别为和， 内部正方形的面积， 原布料（4个直角三角形）总面积为， 整个桌布的面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； （3）解：①根据题意，8个全等直角三角形的直角边分别为和，拼接后大正方形（桌布）边长为， 桌布总面积； 原布料（8个直角三角形）总面积为， ∴内部正方形的面积桌布总面积原布料面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； ②∵， ∴平方米． 变式训练3（25-26七年级下·四川达州·期末）小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设 ， ，则 ，，所以 方法2：因为 ，所以 ，所以，， (1)若，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)144 【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值； （2）由长方形边长关系和已知，用表示出和 根据阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， 所以， ∴． （2）解：，，， ，． ∵长方形的面积为40， ∴，即， 设，，则， ∴ ． 所以图中阴影部分的面积和为144． 类型九、与乘法公式有关的证明 典例精讲9（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）若一个整数M能分成两个连续整数的平方和，那么我们称这个整数M为“连续平方和数”． 如：，，25和 5 都是“连续平方和数”． (1)举例说明，当M为13时，M是哪两个数的“连续平方和数”； (2)求证：任意整数 M(连续平方和数)为奇数． 【答案】(1)当M为13时，M是2和3的“连续平方和数” (2) 证明：设两个连续整数分别为：、， ， 因为是偶数， 所以是奇数，     所以任意整数M（连续平方和数）为奇数． 【分析】本题考查了有理数的乘方、完全平方公式的应用，正确理解“连续平方和数”的定义是解答此题的关键． （1）根据结合“连续平方和数”的定义解答即可； （2）设两个连续整数分别为、，表示出，结合是偶数判断即可得解． 【详解】（1）解：因为， 所以当M为13时，M是2和3的“连续平方和数”； （2）略 题型归纳 1.特征：要求证明某个等式成立，或证明某多项式能被某数整除、某式的值为非负数等，需利用乘法公式变形 2.方法：观察式子结构，通过平方差公式或完全平方公式进行因式分解或配方；证明整除则分解出含除数的因数；证明非负则配成完全平方加正数的形式 3.易错提醒：公式选用不当导致无法变形；配方时漏项或多加项；证明逻辑不严谨，缺少关键步骤 变式训练1（24-25八年级上·河北唐山·期中）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 【答案】(1)， (2) ∵ ， ，， ， ∵x为正整数， ∴为整数， ∴代数式总能被5整除． 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、合并同类项法则和几种常见的分解因式的方法． （1）把已知条件中的，，代入，利用多项式乘多项式法则展开，从而列出关于，的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中，，求出的值，利用提取公因式法分解因式，求出它的最大公约数即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 由①得：， 把代入②得：， ； （2） 略 变式训练2（23-24八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边长分别为，求证：是直角三角形． 【答案】 证明： ， 以为三边的是直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】略 变式训练3（25-26八年级上·山西晋城·期中）定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【答案】(1) 证明：由题可知，任意“邻积数”乘4，再加1可以表示为． ， 任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方； (2) 证明：由题可知，两个连续的“邻积数”可以分别表示为． ， 两个连续“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解新定义， 对于（1），根据新定义可设“邻积数”为，再根据条件可得，然后整理得出结论即可； 对于（2），先表示出两个“邻积数”为，再整理得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 类型十、利用乘法公式求最值 典例精讲10（25-26八年级上·湖北荆州·期末）利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握利用配方法将二次三项式化为完全平方式是解题的关键． 利用配方法将二次多项式化为完全平方的形式，再根据非负数的性质求出多项式取得最小值时的值． 【详解】解： ， 由可知，当，即时，多项式取得最小值． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：求一个二次多项式的最大值或最小值，或求实际问题中的最值 2.方法：利用完全平方公式将多项式配方，写成括号 x 加减 a 的平方加常数的形式；完全平方部分大于等于 0，因此当完全平方为 0 时取得最值（常数项） 3.易错提醒：配方时常数项计算错误；完全平方的非负性用反（误认为有最大值）；未说明完全平方为 0 时 x 是否有实数解 变式训练1（25-26八年级上·湖南永州·期中）有最值是（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式把原式变形为，然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【详解】解：， ， ， （当时取等号），（当，即时取等号）， 当且时，原式取最小值． 故选：． 变式训练2（25-26八年级上·甘肃天水·期中）问题提出： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题；你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流，讨论，总结出如下方法： 解： 因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0．所以当时，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．根据上面的经验，求代数式的最大值． 【答案】最大值为14 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法．仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【详解】解： ， 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14． 变式训练3（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2) ，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：略． （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 类型十一、乘法公式的实际应用 典例精讲11（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】用长方形面积减去小路的面积即可得到答案； 由非负数的性质得到，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， 当，时，， 答：此时绿化的面积为． 题型归纳 1.特征：以实际生活情景为背景（如面积变化、增长率、利润、路程等），要求列代数式并用乘法公式化简求值 2.方法：根据实际问题中的数量关系列代数式，观察式子结构选用平方差或完全平方公式化简，代入数值计算，结合实际意义作答 3.易错提醒：数量关系理解错误导致列式错；单位不统一；化简后未结合实际意义检验（如面积、长度为正） 变式训练1（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 【答案】(1)至少需要平方米地砖； (2)n为33时，费用最高，最高预计1089元． 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的应用，能根据题意表示出需要铺地砖部分的面积是解题的关键． （1）根据题意表示出除卧室外的面积即可； （2）根据题意，表示单价面积总费用，列关系式，然后配方为完全平方公式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题知，(平方米)， 答：至少需要平方米地砖； （2）解：总费用为， ∴当时，费用最高，最高为元． 变式训练2（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段检测）现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握该知识点，正确找到等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为45米和30米，列出方程组并解题即可． （2）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为和，列出方程组用含、的代数式表示、，然后根据作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，得到，代入、得到关于、的方程，可求得，则、的代数式也可求得，最终得到和的数量关系． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． （2）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． ， ， ， ， ， ，， ． 变式训练3（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）比较与的大小． (1)尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； (2)归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 【答案】(1)；；； (2) 解：则，理由如下： ∵， ∴，即． (3)当米时，鸡舍面积最大为9平方米． 【分析】本题考查了实数大小的比较，以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是正确计算并熟练掌握完全平方公式． （1）将数值分别代入求解比较大小即可； （2）完全平方公式的非负性判断即可； （3）先表示出鸡舍的另外一边，再根据配方法配成完全平方式，由此求解最大值即可． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴当时，； ②当时，，， ∴当时，； ③当时，，， ∴当时，； 故答案为：；；； （2）略 （3）解：∵总长为6米的木栅栏，平行于墙面的一边为米， 则鸡舍的另一边为米， ∴鸡舍面积为， ∵，即， 当且仅当米时，，鸡舍面积最大为9平方米． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【答案】C 【分析】根据等式左边为完全平方式，可知右边二次三项式为完全平方式，结合二次项与常数项的平方形式，确定一次项系数的两种情况，进而求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得； 综上所述，的值为9或． 3．（25-26六年级下·山东威海·期末）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征将原式变形为两个数的和乘两个数的差的形式，据此判断正确选项即可． 【详解】解：∵平方差公式要求式子变形为的形式，即两个因式中一组项相同，另一组项互为相反数， 观察原式，两个因式中是相同项，和互为相反数，对原式添括号变形：， ∴． 4．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： = = = = 琪琪： = = = = A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 【答案】C 【详解】解：嘉嘉和琪琪的计算过程都正确． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】本题利用换元思想结合完全平方公式的变形求解，无需展开解方程求，可简化计算，用到完全平方公式的变形公式． 【详解】解：设，， 由完全平方公式可得，变形得 ， ， 由题意得 ， 将，代入公式得：， 即． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式展开化简后，即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 8．（25-26七年级下·北京通州·期末）已知，那么代数式的值是______ ． 【答案】 【分析】利用平方差公式变形代数式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵， ∴ ． 9．（25-26七年级下·湖南常德·期中）计算：_____． 【答案】 4 【分析】运用完全平方公式简化计算，观察式子变形后符合完全平方公式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 11．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以将括号去掉，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 【答案】(1) (2)11300元 【分析】（1）先求出绿化休息区的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可； （2）先求出铺设塑胶地面的面积，再根据塑胶地面的造价为每平方米25元求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形， 则绿化休息区的面积为 ， 答：绿化休息区的面积为． （2）解：铺设塑胶地面的面积为 ， ∵，， ∴， ∵塑胶地面的造价为每平方米25元， ∴（元）， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元． 13．（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【答案】(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 14．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】(1) (2)90 (3)5 (4)12 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）设，，则，，根据代入计算即可； （4）设，，由题意得到，，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， 因此阴影部分的面积为， 所以有代数恒等式：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设，，则，， ∴ ； （4）解：∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为，即， ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式11类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用平方差公式进行计算 1 类型二、利用平方差公式进行简便计算 2 类型三、利用平方差公式变形求值 3 类型四、平方差公式与几何图形的应用 3 类型五、利用完全平方公式进行计算 5 类型六、利用完全平方公式简便计算 6 类型七、利用完全平方公式变形求值 6 类型八、完全平方公式与几何图形的应用 7 类型九、与乘法公式有关的证明 9 类型十、利用乘法公式求最值 10 类型十一、乘法公式的实际应用 12 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 乘法公式是整式乘除的核心工具，主要包括平方差公式和完全平方公式，是期中期末必考内容。解题贯穿两条原则：一是先观察式子结构，判断符合哪个公式的特征，再套用公式；二是公式中的 a 和 b 可以是数、单项式或多项式，需整体代入。所有计算结果最终均需展开验证 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用平方差公式进行计算 典例精讲1（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，形如括号 a 加 b 乘括号 a 减 b 2.方法：直接套用平方差公式，结果等于相同项的平方减相反项的平方，即 a 的平方减 b 的平方 3.易错提醒：分不清哪项是相同项、哪项是相反项；相反项平方后符号为正，不要带负号；a、b 为多项式时忘记整体加括号 变式训练1（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 变式训练2（25-26七年级下·浙江台州·期末）若实数满足，则代数式的值为__________． 变式训练3（25-26七年级下·宁夏银川·期中）计算：___________． 变式训练4（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若实数x，y满足方程组，则的值为_____． 类型二、利用平方差公式进行简便计算 典例精讲2（25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：两个接近整数的数相乘，如 99 乘 101、48 乘 52，可拆成两数和乘两数差的形式 2.方法：将两个数分别写成同一个整数加一个数、减同一个数的形式，再用平方差公式简化计算 3.易错提醒：拆分后两数的 "中间数" 找错；加和减的数不相等导致无法用公式；计算整数平方时出错 变式训练1（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 变式训练2（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2) 变式训练3（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）请用简便方法进行计算 (1) (2) 变式训练4（25-26八年级上·全国·单元复习）简便运算． 类型三、利用平方差公式变形求值 典例精讲3（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为________． 题型归纳 1.特征：已知 a 加 b、a 减 b 或 a 的平方减 b 的平方中的部分值，求另一部分的值 2.方法：利用平方差公式变形：a 的平方减 b 的平方等于括号 a 加 b 乘括号 a 减 b，已知其中两个量可求第三个 3.易错提醒：公式变形时符号出错；已知条件代入时张冠李戴；未考虑多解情况 变式训练1（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 变式训练2（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段检测）已知，则的值为______． 变式训练3（2022八年级下·江西·竞赛）计算的值为____________． 变式训练4（25-26八年级上·全国·周测）如果有理数a，b同时满足，那么的值为_____________． 类型四、平方差公式与几何图形的应用 典例精讲4（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 题型归纳 1.特征：以几何图形面积为背景，如大正方形减去小正方形、阴影部分面积拼接，要求用平方差公式表示或计算面积 2.方法：将图形面积表示为两正方形面积之差（a 的平方减 b 的平方），或通过割补拼接成长方形（长 a 加 b、宽 a 减 b），利用面积相等验证平方差公式 3.易错提醒：图形边长与公式中 a、b 对应错误；割补后长宽搞反；忽略图形实际意义导致列式错误 变式训练1（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 变式训练2（25-26六年级下·山东烟台·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 变式训练3（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 类型五、利用完全平方公式进行计算 典例精讲5（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：求一个二项式的平方，形如括号 a 加 b 的平方或括号 a 减 b 的平方 2.方法：套用完全平方公式：和的平方等于首平方加尾平方加首尾乘积的 2 倍；差的平方等于首平方加尾平方减首尾乘积的 2 倍 3.易错提醒：漏掉中间项的 2 倍；中间项符号出错（和为加、差为减）；首项或尾项为负数时平方符号处理错 变式训练1（25-26八年级上·云南昆明·期末）若定义，且，则______． 变式训练2（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则________． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）已知，若，则______．（填“>”“<”或“”） 变式训练4（22-23八年级上·甘肃武威·阶段检测）用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型六、利用完全平方公式简便计算 典例精讲6（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：求接近整数的数的平方，如 99 的平方、102 的平方，可拆成整数加或减一个小数的平方 2.方法：将底数拆成整十、整百数加或减一个较小数，用完全平方公式展开计算，避免直接硬算 3.易错提醒：拆分时整数与小数的和差写错；展开时中间项 2 倍漏掉；小数平方计算错误 变式训练1（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 变式训练2（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 变式训练3（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 类型七、利用完全平方公式变形求值 典例精讲7（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数a、b满足，，则______． 题型归纳 1.特征：已知 a 加 b、a 减 b、a 的平方加 b 的平方、ab 中的部分值，求其他式子的值 2.方法：根据已知条件选择合适变形 3.易错提醒：变形公式记错（2ab 的符号搞反）；代入时数值对应错误；多次变形时中间步骤算错 变式训练1（25-26八年级上·全国·期末）已知，则__________． 变式训练2（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知，，则__________． 变式训练3（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 变式训练4（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 类型八、完全平方公式与几何图形的应用 典例精讲8（25-26七年级下·北京顺义·期末）四张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，点分别是线段，，，的中点，图中阴影部分的面积是一张长方形纸片面积的3倍，则a，b满足的关系式是________． 题型归纳 1.特征：以正方形面积拼接为背景，如大正方形由两个小正方形和两个长方形组成，要求用完全平方公式表示面积关系 2.方法：将大正方形边长表示为 a 加 b，面积为括号 a 加 b 的平方；同时大正方形面积等于两个小正方形面积（a 的平方、b 的平方）加两个长方形面积（2ab），从而验证完全平方公式 3.易错提醒：图形中各部分边长与 a、b 对应错误；两个长方形面积算成 ab 而非 2ab；面积等量关系列错 变式训练1（25-26七年级下·江苏苏州·期末）将边长分别为，的两个正方形，如图放置，再构造出如图①和图②所示的长方形与正方形，设图①和图②中阴影部分的面积分别为，．若，则，之间的等量关系是________． 变式训练2（25-26七年级下·山西运城·期末）魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 变式训练3（25-26七年级下·四川达州·期末）小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设 ， ，则 ，，所以 方法2：因为 ，所以 ，所以，， (1)若，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 类型九、与乘法公式有关的证明 典例精讲9（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）若一个整数M能分成两个连续整数的平方和，那么我们称这个整数M为“连续平方和数”． 如：，，25和 5 都是“连续平方和数”． (1)举例说明，当M为13时，M是哪两个数的“连续平方和数”； (2)求证：任意整数 M(连续平方和数)为奇数． 题型归纳 1.特征：要求证明某个等式成立，或证明某多项式能被某数整除、某式的值为非负数等，需利用乘法公式变形 2.方法：观察式子结构，通过平方差公式或完全平方公式进行因式分解或配方；证明整除则分解出含除数的因数；证明非负则配成完全平方加正数的形式 3.易错提醒：公式选用不当导致无法变形；配方时漏项或多加项；证明逻辑不严谨，缺少关键步骤 变式训练1（24-25八年级上·河北唐山·期中）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． ， 变式训练2（23-24八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边长分别为，求证：是直角三角形． 变式训练3（25-26八年级上·山西晋城·期中）定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 类型十、利用乘法公式求最值 典例精讲10（25-26八年级上·湖北荆州·期末）利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 题型归纳 1.特征：求一个二次多项式的最大值或最小值，或求实际问题中的最值 2.方法：利用完全平方公式将多项式配方，写成括号 x 加减 a 的平方加常数的形式；完全平方部分大于等于 0，因此当完全平方为 0 时取得最值（常数项） 3.易错提醒：配方时常数项计算错误；完全平方的非负性用反（误认为有最大值）；未说明完全平方为 0 时 x 是否有实数解 变式训练1（25-26八年级上·湖南永州·期中）有最值是（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 变式训练2（25-26八年级上·甘肃天水·期中）问题提出： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题；你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流，讨论，总结出如下方法： 解： 因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0．所以当时，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．根据上面的经验，求代数式的最大值． 变式训练3（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 类型十一、乘法公式的实际应用 典例精讲11（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 题型归纳 1.特征：以实际生活情景为背景（如面积变化、增长率、利润、路程等），要求列代数式并用乘法公式化简求值 2.方法：根据实际问题中的数量关系列代数式，观察式子结构选用平方差或完全平方公式化简，代入数值计算，结合实际意义作答 3.易错提醒：数量关系理解错误导致列式错；单位不统一；化简后未结合实际意义检验（如面积、长度为正） 变式训练1（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 变式训练2（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段检测）现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 变式训练3（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）比较与的大小． (1)尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； (2)归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 2．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 3．（25-26六年级下·山东威海·期末）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： = = = = 琪琪： = = = = A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A．B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京通州·期末）已知，那么代数式的值是______ ． 9．（25-26七年级下·湖南常德·期中）计算：_____． 10．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 11．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 13．（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 14．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $