第三单元 整数乘法（二）（易错专项讲义）数学北师大版四年级上册（新教材）

该小学数学第三单元“整数乘法（二）”易错专项讲义通过知识框架图系统梳理了两、三位数乘两位数的核心内容，涵盖口算、竖式计算、脱式计算等9大易错题型，用分步解析表呈现各题型的算理逻辑与易错点，清晰展示知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“算理-错题-应用”三阶练习设计，如积的变化规律题型通过反向核验法强化推理意识，用估算解决实际问题时结合购物、工程场景培养应用意识。每个题型配精讲例题与分层巩固题，帮助学生提升运算能力，教师可据此实施精准复习教学。

第三单元 整数乘法（二）易错专项讲义  易错题型01 两、三位数乘两位数的口算 易错题型02 两、三位数乘两位数的竖式计算 易错题型03 含两、三位数乘两位数的脱式计算 易错题型04 两、三位数乘整十数的乘法 易错题型05 两、三位数乘两位数的乘法 易错题型06 积的变化规律（整数乘法） 易错题型07 用估算解决实际问题 易错题型08 计算器的认识及复杂计算 　易错题型09 用计算器探索规律 易错题型01 两、三位数乘两位数的口算 1、同时满足「数位拆分逻辑合规、口算过程匹配整十/整百数乘法算理」推导得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘两位数口算的合规结果，脱离计数单位本质、随意拼接乘积数位得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展两、三位数乘两位数口算时，要严格依托“拆数凑整”的方法运算：把两位数拆成整十数和个位数分别相乘再相加，不能直接把两个数的最高位相乘后直接补0，混淆整十数乘法和非整十数乘法的计算逻辑。 3、计算末尾带0的乘法口算时，要严格依托“先算非0部分的乘积，再数两个因数末尾共有几个0、就在积的末尾补几个0”的规则运算，不能错误把非0部分算出的0和因数末尾的0重复计数，也不能漏数末尾的0，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验口算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计口算过程中的部分积时，要仅统计拆分后每个部分对应的有效乘积，不能把拆分时的整十数当成个位数计算、少补一个0，得到乘积量级缩小10倍的错误结果。 【题型精讲1】直接写出得数。 320×20＝    400×12＝    160×5＝    299×51≈ 900×60＝    502×4＝    505÷5＝    301×18≈ 【易错巩固1】直接写出得数。 30×60＝    700×20＝    125×80＝    50×120＝ 300×21＝    104×20＝    131×39≈    298×21≈ 【易错巩固2】直接写出得数。 3×23＝    12×60＝    123×3＝    11×90＝ 600×5＝    6×101＝    22×40＝    260×2＝ 【易错巩固3】直接写出得数。 21×30＝    150×10＝    12×30＝    210×30＝ 40×21＝    60×3＝    300×32＝    200×42＝ 【易错巩固4】直接写得数。                                                                           易错题型02 两、三位数乘两位数的竖式计算 1、同时满足「数位对齐规则合规、每一步乘积计算逻辑匹配竖式算理」推导得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘两位数竖式计算的合规结果，脱离竖式数位对位逻辑、随意拼接部分积得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、列竖式计算时，要严格依托“相同数位对齐”的规则书写因数，通常把位数多的因数写在上方、位数少的两位数写在下方，不能把两个因数的最高位错位对齐、混淆个位和十位的对位逻辑。 3、计算分步乘积时，要严格遵循运算顺序：先用两位数个位上的数去乘上方因数，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘上方因数，得数的末位和两位数的十位对齐，不能错误把十位相乘的部分积末位对齐个位，得到数位偏差10倍的错误结果。 4、反向核验竖式计算结果的合理性时，将算出的最终乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数完全匹配，也可以交换两个因数的位置重新列竖式计算，两次结果必须一致，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计最终总乘积时，要仅把两次乘得的有效部分积按数位对齐后相加，不能把竖式计算过程中的进位数值重复叠加到总乘积里，得到结果虚高的错误答案。 【题型精讲2】用竖式计算。 43×12＝    14×26＝    86×33＝ 305×84＝    190×60＝    75×540＝ 【易错巩固1】用竖式计算。 55×71＝    16×58＝    42×69＝    83×27＝ 【易错巩固2】用竖式计算。 25×340＝    27×205＝    236×48＝ 【易错巩固3】用竖式计算。 35×13＝    28×25＝    54×19＝    45×78＝ 【易错巩固4】列竖式计算。 534×45＝    206×53＝    327×90＝    640×38＝ 易错题型03 含两、三位数乘两位数的脱式计算 1、同时满足「运算顺序合规、简便运算逻辑匹配四则运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的含两、三位数乘两位数脱式计算的合规结果，脱离运算优先级、随意凑整拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展脱式计算时，要严格遵循四则运算优先级：无括号时先算乘法、后算加减，同级运算从左到右依次计算；有括号时优先计算括号内的部分，不能为了强行凑整随意颠倒运算顺序，混淆合规简便运算和乱序错算的逻辑。 3、反向核验脱式计算结果的合理性时，将算出的结果按照原式的原始运算顺序、不使用简便方法重新计算一遍，得到的数值必须和简算结果完全匹配，不能出现两种算法结果不一致的逻辑矛盾。 4、进行脱式递推计算时，要仅统计每一步运算后得到的等价有效结果，不能把上一步已经完成运算的数值重复带入下一步叠加计算，也不能遗漏括号内的运算项，得到结果虚高或偏低的错误答案。 5、同一道脱式计算题的计算过程中，运算顺序的判定标准、进位的计算规则、简便运算的定律适用范围必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、漏记进位数值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲3】脱式计算。 26×45＋256    469－318÷6    127×（128－59） 【易错巩固1】脱式计算。 15×4×18    628－324÷9    （90–67）×30 【易错巩固2】脱式计算。 3420＋18×35   720÷9×56 235×（92－75） 【易错巩固3】脱式计算。 1990－90×15          245×68＋304        816÷8×35 【易错巩固4】用递等式计算。 1900－30×60     240＋360÷6      720÷9×61 易错题型04 两、三位数乘整十数的乘法 1、同时满足「数位计数规则合规、乘积推导匹配整十数乘法算理」得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘整十数乘法的合规结果，脱离整十数的计数单位本质、随意补0拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算两、三位数乘整十数时，要严格依托“先算非0部分的乘积，再在积的末尾补对应个数的0”的方法运算，不能直接把整十数当成个位数相乘后忘记补0，混淆整十数和个位数的数位计数逻辑。 3、计算非0部分的乘积时，要严格按照两、三位数乘一位数的规则计算，不能错误把整十数的十位和两、三位数的十位错位对齐相乘，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验计算结果的合理性时，将算出的乘积除以题目给出的整十数因数，得到的结果必须和题目给定的两、三位数原始数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计积末尾需要补的0的个数时，要仅统计因数末尾自带的有效0，不能把非0部分相乘得到的末尾0和因数自带的0重复计数，也不能漏数整十数自带的1个0，得到积末尾0的个数错误、量级偏差的结果。 【题型精讲4】10张纸摞起来的高度大约是1毫米，阳阳买了一包纸，厚度是5厘米，这包纸大约有（    ）张。 A．50 B．500 C．5000 D．50000 【易错巩固1】最大的三位数与最小的两位数的积是（    ）。 A．9900 B．1000 C．9990 D．9000 【易错巩固2】学校开展“节约用水，人人有责”的活动，如果每个月节约用水356千克，10个月可以节约用水（ ）千克。 【易错巩固3】实验小学购买984根跳绳，平均分给6个年级，每个年级有4个班。如果每个班分40根，那么这些跳绳够分吗？ 【易错巩固4】为了丰富学生的课间体育活动，某学校需要购置1000根跳绳，现有甲，乙两家商店可以选择。两家商店跳绳的单价都是18元，但优惠情况不同，甲商店2根30元，乙商店买4根送1根，学校去哪家商店买更划算？ 易错题型05 两、三位数乘两位数的乘法 1、同时满足「数位对位规则合规、乘积推导匹配整数乘法算理」得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘两位数乘法的合规结果，脱离整数计数单位本质、随意拼接数位数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展两、三位数乘两位数计算时，要严格依托“先用两位数个位乘第一个因数、再用两位数十位乘第一个因数，最后将两次部分积相加”的流程运算，不能直接将两个因数的最高位相乘后直接补0，混淆分步对位乘法和高位凑整估算的计算逻辑。 3、计算部分积的进位时，要严格按照“哪一位相乘满几十就向前一位进几”的规则运算，不能错误将进位值直接加在当前数位的乘积上，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验计算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个原始因数完全匹配，也可通过交换两个因数位置重算的方式验证，两次计算结果必须一致，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算多位数乘法的总乘积时，要仅统计两次分步得到的有效部分积按数位对齐后的和，不能把竖式计算过程中标记的临时进位值重复计入总乘积，得到结果虚高的错误答案。 6、标注两、三位数乘两位数实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位，路程类标注长度单位、总价类标注货币单位、工程类标注工作量单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 【题型精讲5】班级图书角每层书架摆放32本课外书，一个书架共11层。竖式计算32×11时，十位上的1乘32得到的320，表示的含义是（    ）。 A．1层书架放32本书 B．10层书架放320本书 C．11层书架一共352本书 D．每层书架多放320本书 【易错巩固1】欢欢搜到一篇关于连云港的旅游攻略，点击量是12×4的积，这篇旅游攻略的点击量可能是（    ）次。 A．8124 B．103848 C．9728 D．37446 【易错巩固2】聪聪绕广场外围走了一圈，走了632步，聪聪平均每步长75厘米。广场外围长是多少厘米，相当于多少米？ 【易错巩固3】一只小海狮的质量为68千克，一只小海象的质量是这只小海狮的17倍。小海象比小海狮重多少千克？ 【易错巩固4】2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 易错题型06 积的变化规律（整数乘法） 1、同时满足「因数变化判定合规、规律推导匹配整数乘法算理」得到的结论，才是本单元认可的积的变化规律应用的合规结果，脱离因数的缩放逻辑、随意判定积的变化方向得到的不符合运算本质的结果不能作为有效判断依据。 2、应用积的变化规律时，要严格依托核心规律推导：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）相同的数，不能直接认为因数变化时积保持不变，混淆因数缩放和积的联动逻辑。 3、分析两个因数同时变化的场景时，要严格按照“两个因数的缩放倍数相乘即为积的总缩放倍数”的规则计算，不能错误将两个因数的缩放倍数直接相加得到积的变化幅度，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验规律应用的合理性时，将判定的积的变化结果反向代入原式推导因数的变化幅度，推导出的缩放倍数必须和题目给定的因数变化条件完全匹配，不能出现反向推导后倍数不一致的逻辑矛盾。 5、统计积的总缩放倍数时，要仅统计每个因数有效乘除的非0倍数，不能把因数“乘1”“除以1”这类不改变数值的无效变化重复计入缩放倍数，得到积的变化幅度虚高或虚低的错误结论。 【题型精讲6】如果△×□＝5600，要使积变成560，那么下面方法正确的是（    ）。 A．△除以10，□乘10 B．△除以100，□乘10 C．△乘10，□除以10 D．△乘100，□除以10 【易错巩固1】明明用计算器计算一个乘法算式，按键时不小心把其中的一个因数50输成了5，要想得到正确的结果，他只需要把错误结果再（    ）。 A．乘5 B．乘10 C．除以5 D．除以10 【易错巩固2】如果A×B＝120，那么（A×9）×B＝（ ），（A×4）×（B÷3）＝（ ）。 【易错巩固3】用○和△表示两个数，已知○×△＝148，则○×（△÷4）的结果是（ ），（○×3）×（△×3）的结果是（ ）。 【易错巩固4】积的变化规律可以帮助我们快速计算，已知×＝240（和都是不为0的自然数），请根据下面的线索，推理出每个算式的得数。 （1）不变，乘3，积是（ ）。 （2）不变，除以4，积是（ ）。 易错题型07 用估算解决实际问题 1、同时满足「估算策略适配场景、估算逻辑匹配凑整运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的整数乘法估算实际应用的合规结果，脱离实际场景需求、随意凑整拼接数值得到的不符合估算逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、开展整数乘法估算时，要严格依托“把因数看成接近的整十、整百、整千数再相乘”的基本方法运算，不能直接把两个因数的最高位相乘后补0、完全忽略其余数位的数值影响，混淆精确计算和估算的凑整逻辑。 3、选择估算凑整方向时，要严格匹配场景判断需求：判断“钱够不够”“材料够不够”类问题时，要根据判断方向统一往大估或往小估，不能所有场景都统一把因数往小估，得到完全偏离实际情况的判断结果。 4、反向核验估算结果的合理性时，将估算值和精确计算的结果做对比，估算值必须和精确值处于同一量级、偏差在合理范围内，不能出现估算结果和精确值差出10倍、100倍的逻辑矛盾。 5、统计估算纳入计算的数值时，要仅统计和问题相关的有效数值参与凑整，不能把题目里的干扰数值、不参与运算的冗余条件也纳入估算计算，得到估算结果虚高或虚低的错误结论。 6、标注估算实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位，费用类标注货币单位、长度类标注长度单位、产量类标注重量单位，同时要说明估算的凑整方向，避免出现单位错配、估算方向不明的问题，导致判断结果的指代完全失真。 7、计算多物品采购、多段工程类的估算问题时，要先统一凑整的尺度再合并计算，不能有的因数往大估、有的因数往小估导致偏差互相抵消，得到和实际情况完全相反的错误判断。 8、同一道估算题的推导过程中，凑整的精度标准、估算的方向选择、数值的单位必须完全统一，不能中途随意更改凑整尺度、跳换单位换算标准，打乱估算逻辑的严谨性。 【题型精讲7】水果店库存不足，准备再购入19箱葡萄，每箱葡萄的进价是69元，大约准备（    ）元就够了。 A．1600 B．1400 C．1200 【易错巩固1】曹冲称象时，选用大小相近的石头来估计大象有多重。将这些石头用同样大的筐装起来，共装满5筐。任意抽出3筐，称得的重量依次是598千克、601千克、599千克。这头大象大约重（ ）千克。 【易错巩固2】一辆载重3000千克的卡车，装了48桶豆油，每桶豆油连桶重58千克，这辆卡车超载了吗？（请你用估算方法解决） 【易错巩固3】某学校计划组织596名学生前往位于阳信县的山东渤海军区教导旅成立旧址展馆开展红色研学活动，计划租用大巴车统一出行，每辆大巴车最多可乘坐学生52人，租用12辆大巴车够不够？ 【易错巩固4】王叔叔拿到CBA总决赛的门票，他的座位是第22看台，28排39座，这是最后一个看台的最后一排的最后一个座位。如果每个看台的座位数差不多，估一估，这个篮球馆大约有多少个座位？ 易错题型08 计算器的认识及复杂计算 1、同时满足「按键操作逻辑合规、计算流程匹配计算器运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的计算器复杂计算的合规结果，脱离计算器的运算优先级、随意乱按拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、使用计算器进行整数乘法复杂计算时，要严格依托“按数字键输入数值、按运算符号键选择运算、按等号键输出结果”的标准流程操作，不能直接跳过数字输入步骤乱按功能键，混淆手动笔算和计算器按键操作的逻辑。 3、输入多位数数值时，要严格按照从高位到低位的顺序依次按下对应数字键，不能错误颠倒数位顺序输入数值，得到完全偏离正确值的计算结果。 4、反向核验计算器计算结果的合理性时，将算出的结果通过手动笔算或交换运算顺序重新用计算器计算，得到的数值必须和原始题目给定的条件推导结果完全匹配，不能出现两次计算结果不一致的逻辑矛盾。 5、统计计算器输入的运算步骤时，要仅输入题目要求的有效运算项，不能把题目里的冗余数值、无关运算符号也一并输入计算器，得到结果虚高或虚低的错误答案。 6、计算包含多步运算的复杂算式时，要先确认计算器的运算优先级是否匹配四则运算规则，不能直接按从左到右的顺序盲目按键，得到违背四则运算顺序的错误结果。 7、同一道计算器复杂计算的操作过程中，数值的输入顺序、运算符号的选择标准、功能键的使用规则必须完全统一，不能中途随意按清除键打断运算流程、错按功能键改变数值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲8】用计算器计算2134×5678时，正确的操作步骤是（    ）。 ①按键     ②按键     ③依次按键     ④依次按键 ⑤按键 A．③④②① B．⑤①③④② C．⑤③④②① D．⑤③②④① 【易错巩固1】用计算器依次按键，计算结果是（    ）。 A．672 B．700 C．2825 D．16800 【易错巩固2】数学社团用计算器统计全校读书打卡人数，输入数字输错了一位，只想清除当前错误数字，保留之前输入的总数，需要按下（    ）键。 A．ON B．AC C．CE D．OFF 【易错巩固3】括号里可以填几？估一估，再用计算器检验，找到合适的答案。 算式 98×（    ） 71×（    ） 407×（    ） 积的范围 3500~4000 1900~2000 20000~21000 【易错巩固4】用计算器计算。                                                                              易错题型09 用计算器探索规律 1、同时满足「数值输入操作合规、规律推导匹配整数乘法运算逻辑」得到的结论，才是本单元认可的用计算器探索规律的合规结果，脱离运算本质、随意拼接数值得到的不符合数学逻辑的结果不能作为有效推导依据。 2、用计算器探索规律时，要严格依托“先输入基础算式算出结果，再有序改变因数数值、记录对应结果变化”的流程操作，不能直接跳过基础运算步骤凭空臆想规律，混淆手动推导和计算器辅助验证的逻辑。 3、记录多组算式的运算结果时，要严格按照因数的变化顺序依次整理对应乘积，不能错误颠倒因数和结果的对应关系，得到完全偏离正确方向的规律结论。 4、反向核验探索出的规律的合理性时，将新的符合规律条件的数值代入算式用计算器计算，得到的结果必须和规律预判的结果完全匹配，不能出现代入新数值后规律失效的逻辑矛盾。 5、统计规律推导所需的有效算式组时，要仅选取变量单一、其余条件完全一致的对照算式，不能把变量混乱、多条件同时变化的无关算式纳入统计，得到规律指向模糊的错误结论。 6、探索多因数联动变化的复杂规律时，要先固定其余变量、只改变单一变量逐步推导，不能同时改变多个因数的数值直接合并结果，得到重复统计变量影响的错误规律。 7、完成规律推导后，要通过多组不同数值的算式做交叉验证，确保规律在整数乘法的适用范围内普遍成立，不能仅凭2-3组特殊数值的巧合结果就下绝对化结论，得到以偏概全的错误规律。 【题型精讲9】用计算器探索规律：11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，推测11111×11111＝（    ）。 A．1222221 B．123453221 C．123454321 D．12344321 【易错巩固1】平平用计算器算出了999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，照这样的规律，999×5＝（ ），999×8＝（ ）。 【易错巩固2】先用计算器计算，再说出规律。 （ ）        （ ） （ ）        （ ） 我发现：积都是（ ）位数，且中间的数字都是（ ），积的前两位数等于第一个乘数（ ）1，后两位数等于100（ ）第一个乘数。 【易错巩固3】“142857”是一个十分有趣的数。用它分别乘1、2、3、4、5、6，得到的数分别由哪几个数字组成？用计算器算一算。 _____________    _____________ _____________    _____________ _____________    _____________ 先算出前三道题的得数，再直接填出后两题横线上的数。 _____________ _____________ _____________ __________________________ __________________________ 【易错巩固4】计算并观察方框中算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001＝            55×99＝ 22×1001＝            555×999＝ 23×1001＝            5555×9999＝ 24×1001＝            55555×99999＝ 25×1001＝            555555×999999＝ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 整数乘法（二）易错专项讲义  易错题型01 两、三位数乘两位数的口算 易错题型02 两、三位数乘两位数的竖式计算 易错题型03 含两、三位数乘两位数的脱式计算 易错题型04 两、三位数乘整十数的乘法 易错题型05 两、三位数乘两位数的乘法 易错题型06 积的变化规律（整数乘法） 易错题型07 用估算解决实际问题 易错题型08 计算器的认识及复杂计算 　易错题型09 用计算器探索规律 易错题型01 两、三位数乘两位数的口算 1、同时满足「数位拆分逻辑合规、口算过程匹配整十/整百数乘法算理」推导得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘两位数口算的合规结果，脱离计数单位本质、随意拼接乘积数位得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展两、三位数乘两位数口算时，要严格依托“拆数凑整”的方法运算：把两位数拆成整十数和个位数分别相乘再相加，不能直接把两个数的最高位相乘后直接补0，混淆整十数乘法和非整十数乘法的计算逻辑。 3、计算末尾带0的乘法口算时，要严格依托“先算非0部分的乘积，再数两个因数末尾共有几个0、就在积的末尾补几个0”的规则运算，不能错误把非0部分算出的0和因数末尾的0重复计数，也不能漏数末尾的0，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验口算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计口算过程中的部分积时，要仅统计拆分后每个部分对应的有效乘积，不能把拆分时的整十数当成个位数计算、少补一个0，得到乘积量级缩小10倍的错误结果。 【题型精讲1】直接写出得数。 320×20＝    400×12＝    160×5＝    299×51≈ 900×60＝    502×4＝    505÷5＝    301×18≈ 【答案】6400；4800；800；15000； 54000；2008；101；6000； 【易错巩固1】直接写出得数。 30×60＝    700×20＝    125×80＝    50×120＝ 300×21＝    104×20＝    131×39≈    298×21≈ 【答案】1800；14000；10000；6000； 6300；2080；5200；6000 【易错巩固2】直接写出得数。 3×23＝    12×60＝    123×3＝    11×90＝ 600×5＝    6×101＝    22×40＝    260×2＝ 【答案】69；720；369；990； 3000；606；880；520 【易错巩固3】直接写出得数。 21×30＝    150×10＝    12×30＝    210×30＝ 40×21＝    60×3＝    300×32＝    200×42＝ 【答案】630；1500；360；6300； 840；180；9600；8400 【易错巩固4】直接写得数。                                                                           【答案】1500；2400；870；30000 1000；210；6000；10000 易错题型02 两、三位数乘两位数的竖式计算 1、同时满足「数位对齐规则合规、每一步乘积计算逻辑匹配竖式算理」推导得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘两位数竖式计算的合规结果，脱离竖式数位对位逻辑、随意拼接部分积得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、列竖式计算时，要严格依托“相同数位对齐”的规则书写因数，通常把位数多的因数写在上方、位数少的两位数写在下方，不能把两个因数的最高位错位对齐、混淆个位和十位的对位逻辑。 3、计算分步乘积时，要严格遵循运算顺序：先用两位数个位上的数去乘上方因数，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘上方因数，得数的末位和两位数的十位对齐，不能错误把十位相乘的部分积末位对齐个位，得到数位偏差10倍的错误结果。 4、反向核验竖式计算结果的合理性时，将算出的最终乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数完全匹配，也可以交换两个因数的位置重新列竖式计算，两次结果必须一致，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计最终总乘积时，要仅把两次乘得的有效部分积按数位对齐后相加，不能把竖式计算过程中的进位数值重复叠加到总乘积里，得到结果虚高的错误答案。 【题型精讲2】用竖式计算。 43×12＝    14×26＝    86×33＝ 305×84＝    190×60＝    75×540＝ 【答案】516；364；2838； 25620；11400；40500 【分析】两位数乘两位数：先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数末尾对齐个位；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数末尾对齐十位；最后把两次乘积相加。 三位数乘两位数：先用两位数个位上的数乘三位数，得数末尾对齐个位；再用两位数十位上的数乘三位数，得数末尾对齐十位；最后相加。乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，最后看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【解答】43×12＝516  14×26＝364 86×33＝2838                    305×84＝25620 190×60＝11400   75×540＝40500          【易错巩固1】用竖式计算。 55×71＝    16×58＝    42×69＝    83×27＝ 【答案】3905；928；2898；2241 【分析】竖式计算时，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，得数的末位和个位对齐，再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，得数的末位和十位对齐，然后将两次的积相加。 【解答】55×71＝3905    16×58＝928    42×69＝2898     83×27＝2241                            【易错巩固2】用竖式计算。 25×340＝    27×205＝    236×48＝ 【答案】8500；5535；11328 【分析】三位数乘两位数的方法：先用两位数个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。 【解答】25×340＝8500 27×205＝5535 236×48＝11328                【易错巩固3】用竖式计算。 35×13＝    28×25＝    54×19＝    45×78＝ 【答案】455；700；1026；3510 【分析】两位数乘两位数时：先用下面乘数个位的数去乘上面乘数，得数的末位和下面乘数的个位对齐，再用下面乘数十位上的数去乘上面的乘数，得数的末位和下面乘数的十位对齐，然后把两次乘得的数加起来。 【解答】35×13＝455     28×25＝700      54×19＝1026    45×78＝3510                         【易错巩固4】列竖式计算。 534×45＝    206×53＝    327×90＝    640×38＝ 【答案】24030；10918；29430；24320 【分析】三位数乘两位数的竖式计算法则：相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加。 【解答】534×45＝24030    206×53＝10918   327×90＝29430    640×38＝24320                       易错题型03 含两、三位数乘两位数的脱式计算 1、同时满足「运算顺序合规、简便运算逻辑匹配四则运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的含两、三位数乘两位数脱式计算的合规结果，脱离运算优先级、随意凑整拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展脱式计算时，要严格遵循四则运算优先级：无括号时先算乘法、后算加减，同级运算从左到右依次计算；有括号时优先计算括号内的部分，不能为了强行凑整随意颠倒运算顺序，混淆合规简便运算和乱序错算的逻辑。 3、反向核验脱式计算结果的合理性时，将算出的结果按照原式的原始运算顺序、不使用简便方法重新计算一遍，得到的数值必须和简算结果完全匹配，不能出现两种算法结果不一致的逻辑矛盾。 4、进行脱式递推计算时，要仅统计每一步运算后得到的等价有效结果，不能把上一步已经完成运算的数值重复带入下一步叠加计算，也不能遗漏括号内的运算项，得到结果虚高或偏低的错误答案。 5、同一道脱式计算题的计算过程中，运算顺序的判定标准、进位的计算规则、简便运算的定律适用范围必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、漏记进位数值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲3】脱式计算。 26×45＋256    469－318÷6    127×（128－59） 【答案】1426；416；8763 【分析】（1）先计算乘法，再计算加法； （2）先计算除法，再计算减法； （3）先计算小括号内的减法，再计算小括号外的乘法。 【解答】26×45＋256 ＝1170＋256 ＝1426 469－318÷6 ＝ 469－53 ＝416 127×（128－59） ＝127×69 ＝8763 【易错巩固1】脱式计算。 15×4×18    628－324÷9    （90–67）×30 【答案】；；； 【分析】算式中只有乘法，按照从左往右的顺序依次计算； 算式中既有减法又有除法，先算除法，再算减法； 算式中含有小括号，先算小括号里面的减法，再算小括号外面的乘法。 【解答】 【易错巩固2】脱式计算。 3420＋18×35   720÷9×56 235×（92－75） 【答案】4050；4480；3995 【分析】（1）先算乘法，再算加法。 （2）按照从左到右的顺序依次计算。 （3）先算小括号里面的减法，再算括号外的乘法。 【解答】3420＋18×35 ＝3420＋630 ＝4050 720÷9×56 ＝80×56 ＝4480 235×（92－75） ＝235×17 ＝3995 【易错巩固3】脱式计算。 1990－90×15          245×68＋304        816÷8×35 【答案】640；16964；3570 【分析】（1）先算乘法，再算减法； （2）先算乘法，再算加法； （3）先算除法，再算乘法。 【解答】1990－90×15 ＝1990－1350 ＝640 245×68＋304 ＝16660＋304 ＝16964 816÷8×35 ＝102×35 ＝3570 【易错巩固4】用递等式计算。 1900－30×60     240＋360÷6      720÷9×61 【答案】100；300；4880 【分析】（1）算式里既有减法又有乘法，先算乘法，再算减法。 （2）算式里既有加法又有除法，先算除法，再算加法。 （3）只有除法和乘法，属于同级运算，从左往右依次计算。 【解答】1900－30×60 ＝1900－1800 ＝100 240＋360÷6 ＝240＋60 ＝300 720÷9×61 ＝80×61 ＝4880 易错题型04 两、三位数乘整十数的乘法 1、同时满足「数位计数规则合规、乘积推导匹配整十数乘法算理」得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘整十数乘法的合规结果，脱离整十数的计数单位本质、随意补0拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算两、三位数乘整十数时，要严格依托“先算非0部分的乘积，再在积的末尾补对应个数的0”的方法运算，不能直接把整十数当成个位数相乘后忘记补0，混淆整十数和个位数的数位计数逻辑。 3、计算非0部分的乘积时，要严格按照两、三位数乘一位数的规则计算，不能错误把整十数的十位和两、三位数的十位错位对齐相乘，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验计算结果的合理性时，将算出的乘积除以题目给出的整十数因数，得到的结果必须和题目给定的两、三位数原始数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计积末尾需要补的0的个数时，要仅统计因数末尾自带的有效0，不能把非0部分相乘得到的末尾0和因数自带的0重复计数，也不能漏数整十数自带的1个0，得到积末尾0的个数错误、量级偏差的结果。 【题型精讲4】10张纸摞起来的高度大约是1毫米，阳阳买了一包纸，厚度是5厘米，这包纸大约有（    ）张。 A．50 B．500 C．5000 D．50000 【答案】B 【分析】根据1厘米＝10毫米，低级单位转换为高级单位除以进率，高级单位转换为低级单位乘上进率，将这包纸的厚度转换为毫米，再乘上1毫米的纸张数即可。 【解答】5厘米＝50毫米 50×10＝500（张） 这包纸大约有500张。 故答案为：B 【易错巩固1】最大的三位数与最小的两位数的积是（    ）。 A．9900 B．1000 C．9990 D．9000 【答案】C 【分析】最大的三位数是999，最小的两位数是10，然后再相乘求出积即可。 【解答】999×10＝9990 最大的三位数与最小的两位数的积是9990。 故答案为：C 【易错巩固2】学校开展“节约用水，人人有责”的活动，如果每个月节约用水356千克，10个月可以节约用水（ ）千克。 【答案】3560 【分析】根据题意，用356乘10，求出10个月可以节约用水多少千克。 【解答】356×10＝3560（千克） 10个月可以节约用水3560千克。 【点睛】熟练掌握乘数末尾有0的计算方法是解答此题的关键。 【易错巩固3】实验小学购买984根跳绳，平均分给6个年级，每个年级有4个班。如果每个班分40根，那么这些跳绳够分吗？ 【答案】够分 【分析】要判断跳绳是否够分，需先算出总班级数，再求出所有班级一共需要的跳绳数量，将其与购买的跳绳总数比较即可。 【解答】（个） （根） 答：这些跳绳够分。 【易错巩固4】为了丰富学生的课间体育活动，某学校需要购置1000根跳绳，现有甲，乙两家商店可以选择。两家商店跳绳的单价都是18元，但优惠情况不同，甲商店2根30元，乙商店买4根送1根，学校去哪家商店买更划算？ 【答案】乙商店 【分析】甲商店2根30元，计算出1000根里有几个2根，就是有几个30元；乙商店买4根送1根，也就是买5根只需要18×4＝72（元），计算出1000根里有几个5根，也就是需要几个72元。将两个商店购买1000根需要的钱计算出来，再比较。 【解答】甲商店： 1000÷2×30 ＝500×30 ＝15000（元）乙商店： 1000÷（4＋1） ＝1000÷5 ＝200（组）4×18＝72（元） 200×72＝14400（元）15000＞14400答：学校去乙商店买更划算。 易错题型05 两、三位数乘两位数的乘法 1、同时满足「数位对位规则合规、乘积推导匹配整数乘法算理」得到的结果，才是本单元认可的两、三位数乘两位数乘法的合规结果，脱离整数计数单位本质、随意拼接数位数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展两、三位数乘两位数计算时，要严格依托“先用两位数个位乘第一个因数、再用两位数十位乘第一个因数，最后将两次部分积相加”的流程运算，不能直接将两个因数的最高位相乘后直接补0，混淆分步对位乘法和高位凑整估算的计算逻辑。 3、计算部分积的进位时，要严格按照“哪一位相乘满几十就向前一位进几”的规则运算，不能错误将进位值直接加在当前数位的乘积上，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验计算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个原始因数完全匹配，也可通过交换两个因数位置重算的方式验证，两次计算结果必须一致，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算多位数乘法的总乘积时，要仅统计两次分步得到的有效部分积按数位对齐后的和，不能把竖式计算过程中标记的临时进位值重复计入总乘积，得到结果虚高的错误答案。 6、标注两、三位数乘两位数实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位，路程类标注长度单位、总价类标注货币单位、工程类标注工作量单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 【题型精讲5】班级图书角每层书架摆放32本课外书，一个书架共11层。竖式计算32×11时，十位上的1乘32得到的320，表示的含义是（    ）。 A．1层书架放32本书 B．10层书架放320本书 C．11层书架一共352本书 D．每层书架多放320本书 【答案】B 【分析】两位数乘两位数时，十位上的1表示1个十，对应10层书架，乘每层32本得到的结果就是10层书架摆放的总本数。 【解答】十位上的1代表10，（本），表示10层书架放320本书。 【易错巩固1】欢欢搜到一篇关于连云港的旅游攻略，点击量是12×4的积，这篇旅游攻略的点击量可能是（    ）次。 A．8124 B．103848 C．9728 D．37446 【答案】C 【分析】三位数乘两位数，相同数位对齐，用第二个因数的个位乘第一个因数的个位和十位以及百位，结果从个位写起，再用第二个因数的十位乘第一个因数的个位和十位以及百位，结果从十位写起，最后结果相加，满十向前一位进一。据此解题。 【解答】个位数2×4＝8，说明结果的个位数字是8； 三位数十位上的数最大是9，最小是0，也就是这个三位数最大是192，最小是102；两位数最高位不能是0，所以两位数最大是94，最小是14；据此用192×94和102×14计算出积最大和最小分别是多少。192×94＝18048，102×14＝1428，选择在1428和18048之间的数即可。 A．8124个位不是8，所以不符合题意。 B． 103848＞18048，所以不符合题意。 C．1428＜9728＜18048，符合题意。 D．37446个位不是8，所以不符合题意。 【易错巩固2】聪聪绕广场外围走了一圈，走了632步，聪聪平均每步长75厘米。广场外围长是多少厘米，相当于多少米？ 【答案】广场外围长是47400厘米；相当于474米 【分析】根据题意，用平均每步的长度乘聪聪走的步数，即可求出广场外围长是多少厘米，再根据1米＝100厘米，进行单位换算，即可求出广场外围长相当于多少米。 【解答】632×75＝47400（厘米） 47400厘米＝474米 答：广场外围长是47400厘米，相当于474米。 【易错巩固3】一只小海狮的质量为68千克，一只小海象的质量是这只小海狮的17倍。小海象比小海狮重多少千克？ 【答案】1088千克 【分析】小海象质量是小海狮的17倍，所以可以先计算小海象的质量，再用小海象的质量减去小海狮的质量即可得到结果；也可以先计算小海象质量比小海狮多的倍数，再用小海狮的质量乘多的倍数求解。 【解答】方法一：68×17－68 ＝1156－68 ＝1088（千克） 方法二：68×（17－1） ＝68×16 ＝1088（千克） 答：小海象比小海狮重1088千克。 【易错巩固4】2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【答案】能 【分析】先计算笑笑15分钟能讲的总字数，再和稿子的3000字比较，若总字数大于或等于3000，就能在规定时间内讲完稿子。 【解答】（个） 答：她能演讲完。 易错题型06 积的变化规律（整数乘法） 1、同时满足「因数变化判定合规、规律推导匹配整数乘法算理」得到的结论，才是本单元认可的积的变化规律应用的合规结果，脱离因数的缩放逻辑、随意判定积的变化方向得到的不符合运算本质的结果不能作为有效判断依据。 2、应用积的变化规律时，要严格依托核心规律推导：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）相同的数，不能直接认为因数变化时积保持不变，混淆因数缩放和积的联动逻辑。 3、分析两个因数同时变化的场景时，要严格按照“两个因数的缩放倍数相乘即为积的总缩放倍数”的规则计算，不能错误将两个因数的缩放倍数直接相加得到积的变化幅度，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验规律应用的合理性时，将判定的积的变化结果反向代入原式推导因数的变化幅度，推导出的缩放倍数必须和题目给定的因数变化条件完全匹配，不能出现反向推导后倍数不一致的逻辑矛盾。 5、统计积的总缩放倍数时，要仅统计每个因数有效乘除的非0倍数，不能把因数“乘1”“除以1”这类不改变数值的无效变化重复计入缩放倍数，得到积的变化幅度虚高或虚低的错误结论。 【题型精讲6】如果△×□＝5600，要使积变成560，那么下面方法正确的是（    ）。 A．△除以10，□乘10 B．△除以100，□乘10 C．△乘10，□除以10 D．△乘100，□除以10 【答案】B 【分析】根据积的变化规律，如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变； 如果一个因数不变，另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，积也乘或除以相同的数； 如果一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，另一个因数也乘一个数或除以一个不为0的数，则积将乘或除以这两个数的积； 如果一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，另一个因数除以一个不为0的数或乘一个数，则积将乘或除以这两个数的商。据此判断各选项对应的积的变化是否符合要求即可。 【解答】A．（△÷10）×（□×10）＝△×□÷10×10＝5600÷10×10＝560×10＝5600，积不变，不符合题意； B．（△÷100）×（□×10）＝△×□÷100×10＝5600÷100×10＝56×10＝560，积变为560，符合题意； C．（△×10）×（□÷10）＝△×□×10÷10＝5600×10÷10＝56000÷10＝5600，积不变，不符合题意； D．（△×100）×（□÷10）＝△×□×100÷10＝5600×100÷10＝560000÷10＝56000，56000≠560，不符合题意； 【易错巩固1】明明用计算器计算一个乘法算式，按键时不小心把其中的一个因数50输成了5，要想得到正确的结果，他只需要把错误结果再（    ）。 A．乘5 B．乘10 C．除以5 D．除以10 【答案】B 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也要乘或除以这个数，如果把一个因数50输成了5，50÷5＝10，则一个因数除以10，积也除以10，要想得到正确的结果，把错误的积乘10即可。 【解答】他只需要把错误结果再乘10。 【易错巩固2】如果A×B＝120，那么（A×9）×B＝（ ），（A×4）×（B÷3）＝（ ）。 【答案】1080 160 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几；如果两个因数都乘或除以一个数（0除外），积就乘或除以这两个数的乘积。 【解答】（A×9）×B ＝A×B×9＝120×9＝1080。 （A×4）×（B÷3）＝A×B×4÷3＝120×4÷3＝160 【易错巩固3】用○和△表示两个数，已知○×△＝148，则○×（△÷4）的结果是（ ），（○×3）×（△×3）的结果是（ ）。 【答案】37 1332 【分析】积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几；两个因数同时乘相同的数（0除外），积乘两次这个数。 【解答】根据积的变化规律可知，一个因数除以4，积应除以4，即； 根据积的变化规律可知，两个因数同时乘3，积应乘，即。 【易错巩固4】积的变化规律可以帮助我们快速计算，已知×＝240（和都是不为0的自然数），请根据下面的线索，推理出每个算式的得数。 （1）不变，乘3，积是（ ）。 （2）不变，除以4，积是（ ）。 【答案】（1）720 （2）60 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几。一个因数不变，另一个因数除以几，积就除以几。 （1）△不变，☆乘3，积也乘3。 （2）☆不变，△除以4，积也除以4。 【解答】（1）240×3＝720 （2）240÷4＝60 易错题型07 用估算解决实际问题 1、同时满足「估算策略适配场景、估算逻辑匹配凑整运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的整数乘法估算实际应用的合规结果，脱离实际场景需求、随意凑整拼接数值得到的不符合估算逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、开展整数乘法估算时，要严格依托“把因数看成接近的整十、整百、整千数再相乘”的基本方法运算，不能直接把两个因数的最高位相乘后补0、完全忽略其余数位的数值影响，混淆精确计算和估算的凑整逻辑。 3、选择估算凑整方向时，要严格匹配场景判断需求：判断“钱够不够”“材料够不够”类问题时，要根据判断方向统一往大估或往小估，不能所有场景都统一把因数往小估，得到完全偏离实际情况的判断结果。 4、反向核验估算结果的合理性时，将估算值和精确计算的结果做对比，估算值必须和精确值处于同一量级、偏差在合理范围内，不能出现估算结果和精确值差出10倍、100倍的逻辑矛盾。 5、统计估算纳入计算的数值时，要仅统计和问题相关的有效数值参与凑整，不能把题目里的干扰数值、不参与运算的冗余条件也纳入估算计算，得到估算结果虚高或虚低的错误结论。 6、标注估算实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位，费用类标注货币单位、长度类标注长度单位、产量类标注重量单位，同时要说明估算的凑整方向，避免出现单位错配、估算方向不明的问题，导致判断结果的指代完全失真。 7、计算多物品采购、多段工程类的估算问题时，要先统一凑整的尺度再合并计算，不能有的因数往大估、有的因数往小估导致偏差互相抵消，得到和实际情况完全相反的错误判断。 8、同一道估算题的推导过程中，凑整的精度标准、估算的方向选择、数值的单位必须完全统一，不能中途随意更改凑整尺度、跳换单位换算标准，打乱估算逻辑的严谨性。 【题型精讲7】水果店库存不足，准备再购入19箱葡萄，每箱葡萄的进价是69元，大约准备（    ）元就够了。 A．1600 B．1400 C．1200 【答案】B 【分析】准备购物钱款时要往大估算，避免钱不够，把两个因数看作接近的整十数计算即可。 【解答】把19看作20，69看作70：（元） 【易错巩固1】曹冲称象时，选用大小相近的石头来估计大象有多重。将这些石头用同样大的筐装起来，共装满5筐。任意抽出3筐，称得的重量依次是598千克、601千克、599千克。这头大象大约重（ ）千克。 【答案】3000 【分析】观察已知的三筐石头重量598千克、601千克、599千克，发现这三个数都非常接近整百数600。结合题干中“选用大小相近的石头”这一条件，可以推断其余筐的重量也接近600千克。因此，将每筐石头的重量估算为600千克，再乘总筐数5，即可求出大象的大约体重。 【解答】把598、601、599都看作600。 （千克） 因此，这头大象大约重3000千克。 【易错巩固2】一辆载重3000千克的卡车，装了48桶豆油，每桶豆油连桶重58千克，这辆卡车超载了吗？（请你用估算方法解决） 【答案】没有超载 【分析】由题意可知，用豆油的桶数×每桶豆油连桶重量即可求出总重量，判断卡车是否超载，可将桶数和每桶重量都往大估，若估得的总重量不超过卡车载重，实际总重量一定小于载重，即不超载。 【解答】48≈50，58≈60 （千克） ，， 答：这辆卡车没有超载。 【易错巩固3】某学校计划组织596名学生前往位于阳信县的山东渤海军区教导旅成立旧址展馆开展红色研学活动，计划租用大巴车统一出行，每辆大巴车最多可乘坐学生52人，租用12辆大巴车够不够？ 【答案】够 【分析】把52看作50，再用50乘12估算出12辆大巴车坐的总人数，再和596进行比较即可解答。 【解答】把52看作50。 50×12＝600（人） 600＞596 答：租用12辆大巴车够。 【易错巩固4】王叔叔拿到CBA总决赛的门票，他的座位是第22看台，28排39座，这是最后一个看台的最后一排的最后一个座位。如果每个看台的座位数差不多，估一估，这个篮球馆大约有多少个座位？ 【答案】24000个 【分析】第22看台是最后一个看台，说明共有22个看台；28排是最后一排，说明每个看台大约有28排；39座是最后一个座位，说明每排大约有39个座位。用看台数乘每个看台的排数，再乘每排座位数，估算时把三个数分别看作接近的整十数。 【解答】22≈20，28≈30，39≈40 22×28×39≈20×30×40＝600×40＝24000（个） 答：这个篮球馆大约有24000个座位。 易错题型08 计算器的认识及复杂计算 1、同时满足「按键操作逻辑合规、计算流程匹配计算器运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的计算器复杂计算的合规结果，脱离计算器的运算优先级、随意乱按拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、使用计算器进行整数乘法复杂计算时，要严格依托“按数字键输入数值、按运算符号键选择运算、按等号键输出结果”的标准流程操作，不能直接跳过数字输入步骤乱按功能键，混淆手动笔算和计算器按键操作的逻辑。 3、输入多位数数值时，要严格按照从高位到低位的顺序依次按下对应数字键，不能错误颠倒数位顺序输入数值，得到完全偏离正确值的计算结果。 4、反向核验计算器计算结果的合理性时，将算出的结果通过手动笔算或交换运算顺序重新用计算器计算，得到的数值必须和原始题目给定的条件推导结果完全匹配，不能出现两次计算结果不一致的逻辑矛盾。 5、统计计算器输入的运算步骤时，要仅输入题目要求的有效运算项，不能把题目里的冗余数值、无关运算符号也一并输入计算器，得到结果虚高或虚低的错误答案。 6、计算包含多步运算的复杂算式时，要先确认计算器的运算优先级是否匹配四则运算规则，不能直接按从左到右的顺序盲目按键，得到违背四则运算顺序的错误结果。 7、同一道计算器复杂计算的操作过程中，数值的输入顺序、运算符号的选择标准、功能键的使用规则必须完全统一，不能中途随意按清除键打断运算流程、错按功能键改变数值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲8】用计算器计算2134×5678时，正确的操作步骤是（    ）。 ①按键     ②按键     ③依次按键     ④依次按键 ⑤按键 A．③④②① B．⑤①③④② C．⑤③④②① D．⑤③②④① 【答案】D 【分析】计算器中AC键是清除键，用计算器计算乘法的流程：先按清除键，依次按照数字顺序输入第一个因数，按乘号键，依次按照数字顺序输入第二个因数，最后按等号键得出结果。 【解答】根据分析用计算器计算2134×5678时的顺序是： ⑤按键 ③依次按键 ②按键 ④依次按键 ①按键 【易错巩固1】用计算器依次按键，计算结果是（    ）。 A．672 B．700 C．2825 D．16800 【答案】B 【分析】 中CE键把24清除了，所以相当于输入28×25＝，最后的结果为700。 【解答】28×25＝700 根据分析，用计算器依次按键，计算结果是700。 【易错巩固2】数学社团用计算器统计全校读书打卡人数，输入数字输错了一位，只想清除当前错误数字，保留之前输入的总数，需要按下（    ）键。 A．ON B．AC C．CE D．OFF 【答案】C 【分析】计算器按键功能的定义，ON/AC键是开机及清除屏键，CE键是清除当前输入键，OFF键是关机键。题目要求清除当前显示的数字重新输入，应选择清除当前输入的功能键。 【解答】根据分析可知： 数学社团用计算器统计全校读书打卡人数，输入数字输错了一位，只想清除当前错误数字，保留之前输入的总数，需要按下CE键。 【易错巩固3】括号里可以填几？估一估，再用计算器检验，找到合适的答案。 算式 98×（    ） 71×（    ） 407×（    ） 积的范围 3500~4000 1900~2000 20000~21000 【答案】36；27；50（答案不唯一） 【分析】（1）乘积在3500~4000之间，先把98看作100，进行估值，一个乘数往大了估，另一个乘数实际数值要比估出来的数值大，据此求出另一个数的范围，再用计算器检验； （2）乘积在1900~2000之间，先把71看作70，进行估值，一个乘数往小了估，另一个乘数实际数值要比估出来的数值小，据此求出另一个数的范围，再用计算器检验； （3）乘积在20000~21000之间，先把407看作400，进行估值，一个乘数往小了估，另一个乘数实际数值要比估出来的数值小，据此求出另一个数的范围，再用计算器检验； 【解答】100×35＝3500，100×40＝4000，因为98比100小，另一个乘数最小的数要比35大一点，最大的数为40，不可超过40，估算可以取的值为：36，37，38，39，40。用计算器进行验算： 98×35＝3430，98×36＝3528，98×40＝3920，98×41＝4018，所以可以填36，37，38，39，40。 70×27＝1890，70×28＝1960，因为70比71小，可填最小数为27，最大的数要比28小一点，估算可以取的值为：27，28。用计算器进行验算： 71×26＝1846，71×27＝1917，71×28＝1988，71×29＝2059，所以可以填27，28。 400×50＝20000，400×52＝20800，因为400比407小，可填最小数为50，最大的数要比52小一点，估算可以取的值为：50，51。用计算器进行验算： 407×49＝19943，407×50＝20350，407×51＝20757，407×52＝21164，所以可以填50，51。 【易错巩固4】用计算器计算。                                                                              【答案】412；895；354；3588 125；4915；287 3932；3741；20 【分析】（1）（2）（3）（4）先依次按第1个数的数字键，再按运算符号键（乘号键、除号键、加号键、减号键。），然后依次按第2个数的数字键，最后按等号键，计算器屏幕上显示的数字就是最后得数。 （5）（6）（7）先依次按第1个数的数字键，再按第1个运算符号键（乘号键、除号键、加号键、减号键。），然后依次按第2个数的数字键，再按第2个运算符号键（乘号键、除号键、加号键、减号键。），然后依次按第3个数的数字键，最后按等号键，计算器屏幕上显示的数字就是最后得数。 （8）先用计算器计算出2345＋613的和，然后按M＋键，把2345＋613的和储存在计算器里，然后输入6890，再按减号键，再按MR，最后按等号键，计算器屏幕上显示的数字就是最后得数，最后按一下MC清除内存。 （9）先用计算器计算出33×23的积，然后按M＋键，把33×23的积储存在计算器里，然后输入4500，再按减号键，再按MR，最后按等号键，计算器屏幕上显示的数字就是最后得数，最后按一下MC清除内存。 （10）先依次按第1个数的数字键，再按运算符号键（乘号键、除号键、加号键、减号键。），然后依次按第2个数的数字键，再按等号键，求出前两个数的和，再按运算符号键（乘号键、除号键、加号键、减号键。），再依次按第3个数的数字键，最后按等号键，计算器屏幕上显示的数字就是最后得数。 【解答】412        895      354       3588 125          4915        287 3932      3741       20 易错题型09 用计算器探索规律 1、同时满足「数值输入操作合规、规律推导匹配整数乘法运算逻辑」得到的结论，才是本单元认可的用计算器探索规律的合规结果，脱离运算本质、随意拼接数值得到的不符合数学逻辑的结果不能作为有效推导依据。 2、用计算器探索规律时，要严格依托“先输入基础算式算出结果，再有序改变因数数值、记录对应结果变化”的流程操作，不能直接跳过基础运算步骤凭空臆想规律，混淆手动推导和计算器辅助验证的逻辑。 3、记录多组算式的运算结果时，要严格按照因数的变化顺序依次整理对应乘积，不能错误颠倒因数和结果的对应关系，得到完全偏离正确方向的规律结论。 4、反向核验探索出的规律的合理性时，将新的符合规律条件的数值代入算式用计算器计算，得到的结果必须和规律预判的结果完全匹配，不能出现代入新数值后规律失效的逻辑矛盾。 5、统计规律推导所需的有效算式组时，要仅选取变量单一、其余条件完全一致的对照算式，不能把变量混乱、多条件同时变化的无关算式纳入统计，得到规律指向模糊的错误结论。 6、探索多因数联动变化的复杂规律时，要先固定其余变量、只改变单一变量逐步推导，不能同时改变多个因数的数值直接合并结果，得到重复统计变量影响的错误规律。 7、完成规律推导后，要通过多组不同数值的算式做交叉验证，确保规律在整数乘法的适用范围内普遍成立，不能仅凭2-3组特殊数值的巧合结果就下绝对化结论，得到以偏概全的错误规律。 【题型精讲9】用计算器探索规律：11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，推测11111×11111＝（    ）。 A．1222221 B．123453221 C．123454321 D．12344321 【答案】C 【分析】仔细观察三个算式可知，两个乘数完全相同，得到的积的位数等于两个乘数的位数之和减1。在算式11111×11111中，乘数是五位数，5×2－1＝10－1＝9，所以积是九位数。积的最中间数位上的数等于一个乘数的位数，从积的最高位到中间的数位，数字从1依次增大，然后从最中间的数位到个位，数字依次减小，乘数是五位数，所以积等于123454321，即11111×11111＝123454321。 【解答】由分析得，11111×11111＝123454321。 故答案为：C 【易错巩固1】平平用计算器算出了999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，照这样的规律，999×5＝（ ），999×8＝（ ）。 【答案】4995 7992 【分析】观察可知，第一个乘数都是999，第二个乘数是2、3、4……，积首位比第二个乘数少1，中间是两个9，末尾是9减去积首位。据此解答。 【解答】999×2＝1998 999×3＝2997 999×4＝3996 999×5＝4995 999×6＝5994 999×7＝6993 999×8＝7992 999×9＝8991 【易错巩固2】先用计算器计算，再说出规律。 （ ）        （ ） （ ）        （ ） 我发现：积都是（ ）位数，且中间的数字都是（ ），积的前两位数等于第一个乘数（ ）1，后两位数等于100（ ）第一个乘数。 【答案】10989 11988 12987 13986 五 9 减 减 【分析】根据题意可知：依次用计算器计算出算式的结果填写如下：，，，，观察这些算式的结果可知：积都是五位数，且中间数字都是9，积的前两位数依次是10，11，12，13，对应的第一个乘数依次是11，12，13，14，观察可知积的前两位数等于第一个乘数减1；积的后两位数依次是89，88，87，86，结合第一个乘数可得100－11＝89，100－12＝88，100－13＝87，100－14＝86，可知：后两位数等于100减第一个乘数；据此解答。 【解答】根据分析填空如下： ，，，， 我发现：积都是五位数，且中间的数字都是9，积的前两位数等于第一个乘数减1，后两位数等于100减第一个乘数。 【易错巩固3】“142857”是一个十分有趣的数。用它分别乘1、2、3、4、5、6，得到的数分别由哪几个数字组成？用计算器算一算。 _____________    _____________ _____________    _____________ _____________    _____________ 先算出前三道题的得数，再直接填出后两题横线上的数。 _____________ _____________ _____________ __________________________ __________________________ 【答案】142857 285714 428571 571428 714285 857142 999999 999999 999999 428571 999999 285714 999999 【分析】首先根据计算器的按键顺序与使用方法，分别求出前几个算式的结果；142857×1＝142857；142857×2＝285714；142857×3＝428571；142857×4＝571428；142857×5＝714285；142857×6＝857142，通过观察结果都是由1、4、2、8、5、7组成； 用计算器计算出142857×1＋857142＝999999；142857×2＋714285＝999999；142857×3＋571428＝999999，发现结果都是999999，且从左数算式的第一个数都是142857，第二个数从1开始依次加1，用7减去第二个数，再用得到的数乘142857的结果就是算式的第三个数，142857×4加的数就是7－4＝3，142857×3的结果，算式结果是999999；142857×5加的数就是7－5＝2，142857×2的结果，算式结果是999999；据此解题。 【解答】“142857”是一个十分有趣的数。用它分别乘1、2、3、4、5、6，得到的数分别由1、4、2、8、5、7六个数字组成； 142857×1＝142857 142857×2＝285714 142857×3＝428571 142857×4＝571428 142857×5＝714285 142857×6＝857142 142857×1＋857142＝999999 142857×2＋714285＝999999 142857×3＋571428＝999999 142857×4＋428571＝999999 142857×5＋285714＝999999 【易错巩固4】计算并观察方框中算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001＝            55×99＝ 22×1001＝            555×999＝ 23×1001＝            5555×9999＝ 24×1001＝            55555×99999＝ 25×1001＝            555555×999999＝ 【答案】21021；5445； 22022；554445； 23023；55544445； 24024；5555444445； 25025；555554444445 【分析】第一组：1001可拆为1000＋1，根据乘法分配律推导积与乘数的规律，验证规律后后续算式直接按规律写结果；第二组，55×99＝55×（100－1），555×999＝555×（1000－1），根据乘法分配律推导积的位数、数字组成规律，验证规律后后续算式直接按规律写结果。 【解答】21×1001 ＝21×（1000＋1） ＝21×1000＋21×1 ＝21000＋21 ＝21021 22×1001 ＝22×（1000＋1） ＝22×1000＋22×1 ＝22000＋22 ＝22022 观察上面算式及结果，易发现：两位数乘1001，相当于把这个两位数重复写两遍，中间补1个0，直接得到五位数的积，比如21重复两次就是21，中间插0就得到21021。 验证规律：23×1001 ＝23×（1000＋1） ＝23×1000＋23×1 ＝23000＋23 ＝23023 符合规律特征，所以 24×1001＝24024 25×1001＝25025 55×99 ＝55×（100－1） ＝55×100－55 ＝5500－55 ＝5400＋100－55 ＝5400＋45 ＝5445 555×999 ＝555×（1000－1） ＝555×1000－555×1 ＝555000－555 ＝554000＋1000－555 ＝554000＋445 ＝554445 观察上面算式及结果，易发现：n个5组成的数乘n个9组成的数，积的规律是：先写（n－1）个5，接着写n个4，最后末尾加1个5。比如55乘99，就先写1个5，接着写2个4，末尾加5，得到5445。 验证规律： 5555×9999 ＝5555×（10000－1） ＝5555×10000－5555×1 ＝55550000－5555 ＝55540000＋10000－5555 ＝55540000＋4445 ＝55544445 符合规律特征，所以 55555×99999＝5555444445 555555×999999＝555554444445 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $