13.1 命题与证明-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（冀教版·新教材）

证明：AE⊥ED(已知)， 4.证明：C是BD的中点，.BC=DC 第十三章全等三角形 .∠AED=90°（垂直的定义）， (AB=ED. .∠2十∠3=90°（平角的定义）， 在△ABC和△EDC中，{AC=EC, 13.1 命题与证明 .∠1+∠2+∠3+∠4=180°（等式的基本 BC=DC. 基础达标 性质)， ∴.△ABC≌△EDC(SSS). 1.C 又∠B=180°-∠1-∠2，∠C= 5.证明：BE= 3 CE,CF=- CE, 2.在分式义中，如果这个分式没有意义 180°一∠3一∠4（三角形内角和定理）， ∴.∠B+∠C=180° ∠2+ ..BE+CE=CF+CE...BC=EF 那么之=0真 180° ∠3-∠4=360°-（∠1+∠2+ (AB=DE 3.解：(1)如果分式有意义，那么分母不 ∠3十∠4)=180°（等式的基本性质）， 在△ABC与△DEF中，{AC=DF, 等于0. ∴ABCD(同旁内角互补，两直线平行)， BC=EF, 条件：分式有意义；结论：分母不等 13.2 全等图形 ∴.△ABC≌△DEF(SSS). 于0. 基础达标 ∴∠ABC=∠DEF(全等三角形的对应 (2)逆命题为：如果分式的分母不等于 1. 角相等). 0,那么这个分式有意义. 2. 解：②与⑨，③与⑩，⑥与⑧是全等图 6.C7.三角形具有稳定性 这是一个真命题. 形，如图所示. 能力提升 4.D 1. A2.D3.D4.C5.2525 5.∠CNM两直线平行，同位角相等 6.解：因为三角形具有稳定性，并且加钉 ∠AMN∠CNM等量代换 ① ② ③ ④ ⑤ 2根木条后，五边形框架侧转化为3个 6.解：(1)在同一平面内，如果两条直线 三角形，所以至少需要2根木条，固定 都垂直于同一条直线，那么这两条直线 方法如图所示.（固定方法不唯一 互相平行 ,O☑ (2)61 a//b ⑦ ⑧⑨0① 证明：如图，a⊥1， C4.A5.70°6.55° bL1,.∠1=∠2=90 7.解：(1)证明：，△ABE≌△DCF, .a//b. .∠B=∠C,.AB∥CD. 7.C (2),△ABE≌△DCF,.BE=CF, 能力提升 .BE-EF=CF-EF,..CE=BF, BC=10,EF=7,.BF=CE= 7.证明：，CE=BF, 1.D2.A3.C4.B 3 '.CE-EF=BF一EF,即CF=BE 5.解：已知：如图，AB∥CD,EF交 2(BC-EF)=2X(10-7)= AB,CD于点G,H,GM,HN分别 2 (AE=DF. 8.解：(1)△ABC≌△DEB, 在△ABE和△DCF中，{BE=CF, 平分∠AGF,∠EHD ..BE=BC=3. AB=DC. 求证：GM∥HN. ∴.AE=AB-BE=6-3=3. '.△ABE≌△DCF(SSS). 证明：，GM,HN分别平分∠AGF (2)△ABC≌△DEB, ∴.∠AEB=∠DFC ∠EHD(已知)， '.∠DBE=∠C=55 ∴.∠AEF=∠DFE. .AE∥DF .∠1= 2∠AGF,∠2=2∠EHD(角 ·∠AED=∠DBE+∠D=55°+ 8.解：有办法检测.检测方案为： 25°=80° (1)用卷尺分别测量DE与DF的长度 平分线定义) 能力提升 (2)用卷尺分别测量HE与HF的长度： 又ABCD(已知)， 1.C2.B3.C4.6 (3)比较各边的长度，若DE=DF, ∴∠AGF=∠EHD(两直线平行，内错5.解：能.如图1、图2所示.（答案不唯一） HE=HF,则风筝符合制作要求；否 角相等)，∠1=∠2， 则，不符合制作要求 ∴.GMHN(内错角相等，两直线平行). 理由：连接DH(图略) 即两直线平行，内错角的平分线也 在△DEH和△DFH中 平行 DE=DF(测量结果)， E ,DH=DH(公共边)， A B EH=FH(测量结果)， 图1 图2 .△DEH≌△DFH(SSS), 一D 6.解：(1)∠BDE AC ∴∠E=∠F(全等三角形的对应角相等) (2)线段BE的长度为4.理由如下： ,△ABC≌△DBE,.BE=BC=4 第2课时全等三角形的判定(SAS) 6.解：(1)①相等的角是内错角的逆命题 (3),∠ABE=162°，∠DBC=30°， 基础达标 是：如果两个角是内错角，那么这两个 .∠ABD+∠CBE=132°. 1.C2.B3.D4.C 角相等 ,△ABC≌△DBE,∴.∠ABC=∠DBE, 5.证明：，AC=2OC,BD=2OD ②如果a十b>0,那么ab>0的逆命题 1 是：如果ab>0,那么a+b>0. .∠CBE=∠ABD= -×132°=66° ∴.OA=OC,OB=OD. 在△AOB和△COD中 (2)因为定理首先是真命题，而(1)中①的7.解：(1)：BP=3tcm,BC=8cm, (OA=OC. 原命题与逆命题都是假命题，所以(1)中 CP=(8-3t)cm ∠AOB=∠COD, ①的原命题和逆命题不是互逆定理， (2)当△BDP≌△CPQ时，BD=CP, OB=OD. 7.解：(1)有两个真命题，分别是： ,AB=10cm,D为AB的中点， ∴.△AOB≌△COD(SAS),∴.AB=CD 命题1：①②→③：命题2：②③→① .5=8-3t.解得t=1. 6.证明：，AD=BE, (2)选择命题1：①②·③ ,△BDP≌△CPQ,∴.BP=CQ ∴.AD+BD=BE+BD,即AB=DE 证明：ABCD(已知) 即3×1=a×1.解得a=3. ,AC∥DF,∴.∠A=∠EDF. ∴.∠B十∠C=180°（两直线平行，同旁 当△BDP≌△CQP时，BP=CP,即 在△ABC与△DEF中， 内角互补). .∠B+∠1+∠2=180°，∠C+ 3t=8-3t,解得t= 4 (AB=DE. 3 ∠A=∠EDF, ∠3十∠4=180°（三角形内角和定理）， △BDP≌△CQP,∴.BD=CQ, AC=DF, ∴∠C=∠1十∠2（等量代换）， .△ABC≌△DEF(SAS) .∠1+∠2+∠3+∠4=180°（等量代换）， 即5=a×3 舞释a=只 ..BC=EF ,∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， 13.3全等三角形的判定 能力提升 ∴.∠2十∠3=90（等式的基本性质）， 第1课时全等三角形的判定(SSS) 1.B2.B3.90°4.92 ∴.∠AED=90°（平角的定义）， 5.证明：，AF=DC, .AE⊥ED(垂直的定义). 基础达标 ∴AF-FC=DC-FC,即AC=DF 选择命题2：②③→①. 1.A2.B3.△ACE△CDB ABDE,.∠A=∠D. (AB=DE, 5.解：(1)证明：，DE⊥AB (2)图中的四对全等三角形： 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D ∴.∠BFE=90° ①△BEC≌△CDB:②△EOB≌△DOC: AC=DF. ③△ABD≌△ACE:④△BEF2△CDG. .△ABC≌△DEF(SAS),.∠B=∠E AC00ABC06解，0D证明，ACD℃ 6.解：，∠A=∠B=60°， 180°-∠ACB=90°.∴.∠A=∠DEB. 1809 ∠ACB=90°，∠DAC+ A,C,P三点构成的三角形与B 在△ABC和△EDB中， ∠ACD=180°-∠ADC=90°， P,Q三点构成的三角形全等，有两种 1∠ACB=∠EBD, ∴.∠DAC=∠ECB 情况： ∠A=∠DEB, 在△ADC和△CEB中 当AP=BP,AC=BQ时 AB=ED. I∠DAC=∠ECB, ,∠A=∠B=60°， ,.△ABC≌△EDB(AAS)..BD=BC. ∠ADC=∠CEB=90° .∴.△ACP≌△BQP(SAS). (2),E是BC的中点，BD=6cm,BD= AC=CB. AP=BP,.1·t=6-1·t, .△ADC≌△CEB(AAS) 解得1=3。·点Q的运动速度为 BC.BE-BC-7BD-3 em. ②△ADC≌△CEB,.CD=BE 3 .△ABC≌△EDB, AD=CE...DE=CE+CD=AD+BE. .∴.AC=BE=3cm. (2)△ADC≌△CEB成立，DE=AD+ 33 cm/s; 6.解：(1)AE∥BFQE=QF BE不成立，此时应有DE=AD一BE. 当AP=BQ,AC=BP时， (2)QD=QF,证明如下： 证明：：∠ACD+∠ECB=90°， :∠A=∠B=60°， ,BF⊥CP,AE⊥CP ∠DAC+∠ACD=90°， .△ACP≌△BPQ(SAS). .∠BFP=∠AEP..AE∥BF. ∴.∠DAC=∠ECB. 'AC=BP,即AC=AB-AP ∴.∠DAQ=∠FBQ 又，∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB, ∴.4=6一1·t,解得t=2. 又，Q为AB的中点，.BQ=AQ ∴.△ADC≌△CEB(AAS) ·点Q的运动速度为Q_AP 在△FBQ和△DAQ中 ∴.CD=BE,AD=CE 2 2 =1 cm/s. I∠FBQ=∠DAQ. '.DE=CE-CD=AD一BE 综上所述，点Q的运动速度为营cm/: BQ=AQ. 专题训练二全等三角形的 ∠BQF=∠AQD 基本模型 或1cm/s时，能使得A,C,P三点构 ∴.△FBQ≌△DAQ(ASA) 1.解：(1)证明：AD=CF 成的三角形与B,P,Q三点构成的三 ..QD=QF. ∴.AD+CD=CF+CD,即AC=DF 角形全等。 第4课时具有特殊位置关系的 在△ABC和△DEF中， 第3课时全等三角形的 三角形全等 (AB=DE, 判定(ASA与AAS) 基础达标 ∠A=∠EDF 基础达标 1.D2.76° AC=DF, 3.解：当选择①②③时 ∴.△ABC≌△DEF(SAS) 1.D BE=CE. ∴.∠B=∠E. 2.证明：在△ABC和△DEC中， (2)CG:BG=2:3,CG=4, 1∠A=∠D, .BE+EC=CF+EC,即BC=EF AB=DE, (AB=DE, ∴.BG=6. ∴.BC=BG+CG=6+4=10 ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，{BC=EF AC=DE. 由(I)得△ABC≌△DEF, .△ABC≌△DEC(ASA)..AC=DC .△ABC≌△DEF(SSS). .EF=BC=10. 3.C4.C 2.解：(1)△BCE△ACD 5.证明：，CD⊥AB,BE⊥AC, 当选择①③④时 .BE=CF. (2)①证明：∠ACB=∠DCE=a, ∴.∠AEB=∠ADC=90°. 在△ABE和△ACD中， .'BE+EC=CF+EC,BC=EF. ∴.∠ACD=∠BCE. 在△ABC和△DEF中 在△ACD和△BCE中 I∠AEB=∠ADC, ∠BAE=∠CAD, (AB=DE, (AC=BC. ∠ACD=∠BCE, AB=AC ∠ABC=∠DEF BC=EF. CD=CE .△ABE≌△ACD(AAS) .△ABC≌△DEF(SAS). ∴.△ACD≌△BCE(SAS). 6.解：(1)证明：AE∥BC (答案不唯一，写出一种即可) ∴.AD=BE .∠E=∠CDF, ②，△ACD≌△BCE 点F是AC的中点，∴AF=CF。 4. A5.AC=AE(答案不唯一)》 在△AEF和△CDF中， 6.解：(1)证明：AD是△ABC的中线， ∴.∠CAD=∠CBE .BD=DC. .∠BAC+∠ABC=180°-a I∠E=∠CDF .∠BAM+∠ABM=180°-a. ∠AFE=∠CFD 在△BDN和△CDM中， (DN=DM, ∴.∠EMD=∠AMB=180°-(180° AF=CF. .△AEF≌△CDF(AAS). ∠BDN=∠CDM, 3.解：(1)证明：AD=BE, (2)由(1)得△AEF≌△CDF, BD=CD. ..AE=CD. .△BDN≌△CDM(SAS) ∴.AD+BD=BE+BD,即AB=DE LAC=EF. AE=4,BC=6, (2)∠AMC=80°，.∠DMC 180°-∠AMC=180°-80°=100°. 在△ABC和△EDF中，{∠A=∠E, .CD=4, ,△BDN≌△CDM, AB=ED, .BD=BC-CD=6-4=2 ,.∠N=∠DMC=1009 ∴.△ABC≌△EDF(SAS). 能力提升 能力提升 (2),∠C=90°，∠ABC=60°， 1.D ∴.∠A=180°-∠C-∠ABC=180° 2.AB=CD(或BF=DE或BE=DF) 1.C 2.B 3.AO=DO(AB=CD) 90°-60°=30°， 3.BD 4.10 '△ABC≌△EDF,.∠E=∠A=30° 4.证明：AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥ 5:解：(1)证明：DG⊥BC于点G,4.解：(1)证明：BE⊥AC,CF⊥AB, CE,,.∠B=∠D=∠ACE=90°. EF⊥BC于点F, ∴.∠HFB=∠HEC=90°， ∴.∠DCE+∠DEC=180°-∠D=90°， .∠DGB=∠EFC=90°， 又∠BHF=∠CHE, ∠BCA+∠DCE=180°-∠ACE=90° 又BF=CG, ∴.∠ABD=∠ACG .∠BCA=∠DEC .BF+FG=CG+FG,BG=CF, 在△ABD和△GCA中 在△ABC和△CDE中， 在△BDG和△CEF中， AB=GC, I∠BCA=∠DEC I∠DGB=∠EFC, ∠ABD=∠GCA, ∠B=∠D, BG=CF, BD=CA. AB=CD, ∠B=∠C, ∴.△ABD≌△GCA(SAS), .△ABC≌△CDE(AAS). .△BDG≌△CEF(ASA) ..AD=AG 参考答案川活19第十三章 全等三角形 13.1命题与证明 基础达标 已知：如图，直线AB∥CD,直线EF截 答案见活19 AB,CD于点M,N. 知识点1互逆命题 1.下列命题中，逆命题是真命题的是( A.对顶角相等 B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数 C.两直线平行，内错角相等 D.如果a=b,那么a2=b 求证：∠AMN+ =180° 2.(名师原创)命题：在分式中，如果=0， 证明：.ABCD(已知)， .∴.∠AME=∠CNM( 那么这个分式没有意义.其逆命题是 ,∠AME+ =180°（平角的定义）， ,这个 ∴.∠AMN+ =180°( 逆命题是 (填“真”或“假”)命题. 6.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的 3.命题：分式有意义的条件是分母不等于0. 两条直线互相平行 (1)请将上述命题改写成“如果…，那 (1)请将此命题改写成“如果…那么…” 么…”的形式，并指出命题的条件与 的形式： 结论， (2)如下给出了不完整的“已知”和“求 (2)写出这个命题的逆命题并指出其真假. 证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图，al, 求证： 知识点2命题的证明 4.下列内容：①基本事实；②定义；③定理： ④已知条件.其中能作为证明命题的依据的 知识点③互逆定理 有 ( 7.下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理 A.1个B.2个C.3个D.4个 的是 5.(2025邢台威县月考)已知命题“两直线平 A.同角的余角相等 行，同旁内角互补”.嘉淇想证明该命题， B.互余的两个角都是锐角 下面是她的解题过程，请将其补全，并在括 C.两直线平行，同位角相等 号内填上推理的根据： D.若直线a⊥c,b⊥c,则a% 24川川2对勾·小小版·八年级数学·上 能力提升 6.按要求完成下列各题 答案见活19 (1)请写出以下命题的逆命题： 1.已知命题：如果一个分式的分子和分母没有 ①相等的角是内错角； 公因式，那么这个分式是最简分式.这个命 ②如果a+b>0,那么ab>0. 题的逆命题是 (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互 A.分子和分母没有公因式 逆定理. B.没有公因式的分式是最简分式 C.最简分式 D.如果一个分式是最简分式，那么这个分 式的分子和分母没有公因式 2.下列命题：①若a2>b2,则a>b;②如果 |a1=|b|,那么a3=b3；③同角或等角 的补角相等；④如果C是AB的中点，那么 AC=CB.原命题和逆命题都是真命题的有 核心素养 ( 7.(推理能力)如图，点B,E,C在同一条直 A.1个B.2个C.3个D.4个 线上，请你从下面三个条件中，选出两个作 3.下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是 为已知条件，另一个作为结论，推出一个真 锐角”是一个假命题的反例是 命题.①AB∥CD;②∠1=∠2，∠3=∠4； A.∠A=20°，∠B=609 ③AE⊥ED, B.∠A=30°，∠B=909 (1)上述问题有哪几个真命题？ C.∠A=40°，∠B=50 (2)选择(1)中的一个真命题加以证明. D.∠A=50°，∠B=100° 4.如图，若AO⊥CO,BO⊥DO,则 ∠AOB=∠COD,推理的理由是() D B 0 A.同角的补角相等B.同角的余角相等 C.AO⊥CO D.BO⊥DO 5.(教材变式)证明：两直线平行，内错角的平 分线也平行.