14.3 第1课时 角的平分线的画法及性质-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（人教版·新教材）

321川川红勾·八年级数学·上 14.3角的平分线 第1课时 角的平分线的画法及性质 基础达标 A.PC-PD B.OC-PC 答案见活20 C.∠CPO=∠DPOD.OC=OD 知识点①作已知角的平分线 4.(2024青海中考)如图，OC平分∠AOB,点 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如 P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到 图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是 OA的距离是 ( A.4 A B.3 C.2 公 D.1 D B M B 5.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ A.SAS B.ASA OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D. C.SSS D.AAS 求证：OC=OD, 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 B 线，其中点D在边BC上， D (1)用圆规和直尺在图中作出角平分线AD. E (不要求写作法，保留作图痕迹) (2)若∠C=80°，∠B=40°，求∠ADB的 度数 6.如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC, B 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足 分别是M,N. 求证：PM=PN. 知识点②角的平分线的性质 3.（2025潍坊坊子区月考)如图，若OP平 分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别 是C,D,则下列结论中错误的是 () A B 第十四章全等三角形133 能力提升 5.如图，在△ABC中，∠C=90°. 答案见活20 (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D. 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB= (尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母， 50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小 不用写作法和证明) 于AC的长为半径作弧，分别交AB,AC于 (2)若CD=3,AB+BC=16,求△ABC的 点E,F;②分别以点E,F为圆心，大于 面积. 2EF的长为半径作弧，两孤在∠CAB的内 B 部相交于点G;③作射线AG,交边BC于点 D.则∠ADC的度数为 () A.40° B.55 C.65° D.75° E 第1题图 第2题图 2.如图，OD平分∠AOB,DE⊥OA于点E, 核心素养 DE=3,F是射线OB上的任一点，则DF 6.(推理能力)如图，在四边形ABCD中，∠B= 的长度不可能是 ( 90°，AB∥CD,M为边BC上一点，且AM A.2.8B.3 C.4.2 D.5 平分∠BAD,DM平分∠ADC. 3.如图，在△ABC中，点O 求证：(1)AM⊥DM. 是∠ABC,∠ACB的平分 (2)M为BC的中点. 线的交点，AB+BC+ AC=12,过O作OD⊥ B BC于点D,且OD=2, 则△ABC的面积是 4.(2025邯郸大名县期末)如图，在△ABC中， BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥ AB于点E,DF⊥BC于点F, (1)若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC 的度数 (2)若DE=2,BC=9,求△BCD的面积.AB=CD 4.证明：：C是BD的中点，∴BC=DC 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, (AB=ED, AE-CF 在△ABC和△EDC中， AC=EC, ..△ABE≌△CDF(SAS)」 BC=DC (2),∠BCE=30°，∠CBE=70°， ,∴.△ABC≌△EDC(SSS). ∴.∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°+70°=100 5.解：如图所示，△ABC即为所求 .'△ABE≌△CDF, C ∴.∠CFD=∠AEB=100° 微专题3 1.C 2.证明：如图所示，延长 AE到F,使EF=AE 连接DF,AE是 △ABD的中线，∴.BE ED. 能力提升 在△ABE与△FDE中 BE-DE 1.B2.B3.C ∠AEB-∠FED, 4.65 AE-FE, (AC=BD, ∴.△ABE≌△FDE(SAS), .AB DF 5.证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD, ∠BAE=∠EFD,.·∠BDA是△ADC的外 AB-BA. 角，∴.∠DAC ∠C=∠BDA=∠BAD. ∴.△ABC≌△BAD(SSS),.∠C=∠D. .∠BAE+∠EAD=∠BAD, ∠BAE= 6.解：如图，在△ABC ∠EFD,,.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠C, 与△ADE中， .∠ADF=∠ADC,AB=DC,.DF=DC, (AB=AD, BC=DE, D (AD-AD, 在△ADF与△ADC中，∠ADF=∠ADC, AC=AE :△ABC≌△ADE(SSS),B 2 FD-CD, E ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴. ∠C ..∠B=∠D,∠BAC ∠AFD-=∠BAE. ∠DAE,.∠BAC-∠BAE=∠DAE 第2课时 三角形全等的判定二 ∠BAE,,.∠1=∠DAB=25°，∠B= ∠D,∠BOE=∠AOD,∴.∠2=∠DAB=25 (ASA、AAS) 7.解：(1)证明：AD=BE,.AD十BD 基础达标 BE+BD,即AB=DE,在△ABC和△DEF 1.∠B=∠E2.ASA (AB=DE, 3.证明：ABCD,AE∥CF 中， AC=DF,∴.△ABC≌△DEF(SSS) .∠B=∠D,∠AEB=∠CFD BC=EF BF=DE,∴.BE=DF, (2),△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E= I∠B=∠D 45°，∴.∠A=∠FDE=55°，∴.∠F=180° 在△ABE与△CDF中， BE=DF, (∠FDE+∠E)=180°-(55°+45)=80 ∠AEB=∠CFD, 微专题4 .△ABE≌△CDF(ASA),AB=CD. 4.C5.∠B C 1.证明：如图，连接AD, 6.解：(1)证明：点O为EF的中点， AB=AC, ..FO=EO, 在△ABD和△ACD中，{AD=AD, I∠AOE=∠BOF, BD=CD. 在△AOE和△BOF中， ∠A=∠B, ∴.△ABD≌△ACD(SSS),.∠B=∠C OE=OF, .△AOE≌△BOF(AAS). (2).△AOE≌△BOF,.OA=OB AB=12,0A=zAB=6. 能力提升 1.C2.D3.C4.C 5.DE=EF(答案不唯一)6.3 7.解：(1)证明：MN∥CD,∴.∠BMN= 2.证明：连接AC,如图， ∠BPD,∠BPD=∠APC,,,∠BMN= ∠APC,:'∠C+∠MND=180°，∠BNM+ ∠MND=180°，∴.∠C=∠BNM,在△ACP I∠C=∠BNM, 和△BNM中， CP=NM, ∠APC=∠BMN AB=CD. .∴.△ACP≌△BNM(ASA). (1)在△ABC和△CDA中，{BC=DA, (2)由(1)知△ACP≌△BNM,∴.BM=AP AC=CA, 3.AB=7..PM=AB-AP-BM=1. ∴.△ABC≌△CDA(SSS), 8.解：由题意，得CD⊥BD,AB⊥BD.,.∠CDP ,∴.∠ACB=∠CAD,∴AD∥BC ∠PBA=90°.∠DPC=17°，∴.∠PCD (2)由(1)可知，△ABC≌△CDA, 90 -∠DPC=73°. .·∠APB=73 .∠B=∠D. .∠PCD=∠APB.在△CPD和△PAB中， ∠CDP=∠PBA, 第4课时 作一个角等于已知角 DC=BP, ∴.△CPD≌△PAB(ASA). 基础达标 ∠PCD=∠APB, 1.A .'PD AB.DB 33 m,BP =8 m, 2.解：如图所示，∠DCB即为所求 ∴.AB=PD=DB-BP=33-8=25(m). A ,∴.楼AB的高度是25m. D 第3课时 三角形全等的判定三(SSS) 基础达标 1.C2.C3.C 活20川川2树勾·八年级数学·上 能力提升 :AD与A'D分别为BC,B'C边上的中线， 1.解：如图，点M即为所求 .'BC=2CD,B'C'=2C'D'..BC=B'C'. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， E AC=AC ∠C=∠C'=90, A BC=BC' ∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS) 7. 解：由题意得∠C=∠QAP=90° B 根据直角三角形全等的判定方法HL可知， M ①当点P运动到PA=BC时， 2.解：如图，△ABC即为所求 在Rt△ABC和Rt△QPA中， (BC=PA, AB=QP. .Rt△ABC≌Rt△QPA(HL). ∴.BC-PA=5cm. 1 Q ,'.CP=AC-AP=10-5=5(cm) PA=CP,即点P运动到AC的中点处 ②当点P运动到与点C重合时，AP一AC, 在R△ABC和R△PQA中，(AC-PA, AB=PQ, ∴.Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). '.AC=PA=10 cm. 综上所述，当点P运动到AC的中点处或与点 3.解：答案不唯一 C重合时，△ABC才能和△APQ全等 方法 专题训练三全等三角形的 作法：(1)作△ABC (2)在AC的延长线上载取CA'=AC,在BC 基本模型 的延长线上载取CB'=BC 1.证明：BE=CF,.BE一CE=CF一CE (3)连接AB,如图1，则△A'B'C≌△ABC 即BC=EF..AC⊥BC,DF⊥EF, (SAS). ∴·∠ACB与∠DFE都是直角.在Rt△ABC 和R△DEF中，E-E.∴R△ABC☑ Rt△DEF(HL). ∴.AC=DF A 2.证明：AB∥DE,∴.∠B=∠DEF.BE= CF,.BE+EC=CF+EC.∴.BC=-EF,在 ∠A=∠D, △ABC与△DEF中， ∠B=∠DEF, A B BC=EF. .△ABC≌△DEF(AAS). 图1 图2 3.证明：E,D分别是CA,CB的中点 方法二 作法：(1)作△ABC CE=2CA,CD=CB. (2)在AC的延长线上载取CB'-CB,在BC CA=CB,..CE=CD. 的延长线上载取CA'=CA CA=CB, (3)连接A'B',如图2，刚△A'BC≌△ABC 在△ACD和△BCE中， ∠C=∠C (SAS) CD=CE. 4.解：因为∠ABC=60°，∠BAC=75°， ∴.△ACD≌△BCE(SAS).∴.∠A=∠B 所以∠ACB=45 4.解：(1)证明：在△ABC和△BAD中， 如图所示，△ABC即为所求， ∠C- ∠D=90°， ∠CBA=∠DAB, AB=BA ,.△ABC≌△BAD(AAS). (2)20 5.证明：，E为AC的中点，AE=EC, CF∥AB,∴∠F=∠ADE, ∠ADE=∠F, 在△ADE和△CFE中， ∠AED-∠CEF, AE-CE. ∴.△ADE≌△CFE(AAS), B C DE=FE 第5课时 直角三角形全等的判定(HL)6.解：，1)证明： 在△ABC和△ADE中， (AB-AD, 基础达标 ∠BAC=∠DAE,..△ABC≌△ADE(SAS) 1.C2.A3.D4.AC=AD(答案不唯一) AC-AE 5.证明：BE=CF,,.BE十EF=CF+EF (2)'△ABC≌△ADE,.∠BAC=∠DAE 即BF=CE.∠A=∠D=90°，∴.△ABF ∠E= ∠C,:∠BAC=∠BAD+∠DAC, 与△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和 ∠DAE=∠DAC+∠CAE,∠BAD=20, R△DCE中，B-E:R△MBF≌ ∠CAE=∠BAD=20°，∠E=∠C, ∠AOE=∠DOC,,.∠CAE=∠CDE, Rt△DCE(HL). ,∴.∠CDE=20 6.解：相等.理由如下： 7.证明：∠C=90°，DE⊥AB于点E, .AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°，在 ∠C= ∠BED=90°.，BD∥AC, (AB=AC. ∠DBE A Rt△ADB和Rt△ADC中， 在△ABC和△BDE中， LAD-AD 1∠A=∠DBE, ∴.Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴.BD=CD AC=BE, .△ABC≌△BDE(ASA). ,两锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等. ∠C=∠BED, 能力提升 .'.AB=BD. 1.B2.C3.D 8. 证明：： ∠ADC=∠ACB= ∠CEB, 4.ABE DCF 5.30 ∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，∠ACD+ 6.证明：在Rt△ACD和Rt△A'CD'中， ∠ACB B=80,.. ∠DAC= AD=AD,R△ACD≌R△AC'D(HD. AC=AC ECB,在△ADC和△CEB中 ∠ADC=∠CEB, .CD=C'D'. ∠DAC-∠ECB,.△ADC≌△CEB(AAS) AC=CB, ..AD=CE,CD=BE,,.DE=CE+CD= (2)△AEF≌△CEB,∴.EF=BE=4, AD+BE. AE=CE, ∴AE=CE=CF+EF=5+4=9. 专题训练四 证明三角形全等的 14.解：(1)△CGO≌△OFB.理由如下： 由题意可知∠CGO=∠OFB-90°，OB=OC 常见辅助线作法 ∠BOC=90°，.∠COG+∠BOF 1.解：过点C作CD ∠BOF+∠OBF=90 ∴.∠COG=∠OBF ∠CGO=∠FB, 在△CGO和△OFB中， ∠COG=∠OBF, ∠ADC=90°，，∴.∠0AB+ OC=BO, ∠CAD=90°， ∠OAB+ ,.△CGO)≌△OFB(AAS). AB)=90...AB)= (2)△CG O≌△OFB, ..G=OF,OG= ∠CAD,在△AOB和 0 BF.'.'BF =1.8 m,CG=2.2 m,OF= △CDA中， 2.2m,(G=1.8m. ..FG=OF-OG= I∠ABO=∠CAD 2.2-1.8=0.4(m)..妈妈在距地面1.2m ∠AOB=∠CDA,∴.△A(OB≌△CDA(AAS) 高的B处接住小丽，即MF1.2m, AB=CA. .MG=MF+FG=1.2+0.4=1.6(m). ..OA=CD,OB=AD,A(1,0),B(0, 二爸爸是在距离地面1.6m高的地方接住小 2),.OB=2,OA=1,∴.AD=OB=2. 即的. CD=QA=1,..OD=0A+AD=1+2=3, 14.3 角的平分线 .点C的坐标为(3,1)， 2.证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG 第1课时 角的平分线的画法及性质 AD=AB,在△ABE和△ADG中， 基础达标 AB=AD 1.C ∠ABE=∠ADG,∴.△ABE≌△ADG(SAS),2.解：(1)如图，AD即为所求 BE=DG .∠BAE=∠DAG,AE=AG,.∠EAG= D木 90°，∴.∠GAF=∠EAG ∠EAF=45°，在 (AE-AG, △FAE和△FAG中， ∠EAF=∠GAF=45 A R AF=AF, (2)∠C=80°，∠B=40°，∴.∠CAB ∴.△FAE≌△FAG(SAS),∴.EF=FG 180°-∠B-∠C=60°，：AD平分∠CAB, 3.解：(1)AB=AC+CD.理由如下： ,AD为∠BAC的平分线， .∠EAD .∠CAD=∠DAB=2 ×60°=30， ∠CAD,在△EAD和△CAD中， ∴.∠ADB=∠C+∠CAD=80°+30°=110° (AE=AC, 3.B4.C ∠EAD=∠CAD,∴.△EAD≌△CAD(SAS), AD=AD. 5.证明：E是∠AOB的平分线上一点，EC OA,EDLOB,.EC=ED. ∴.ED=CD,∠AED=∠C=90°，.∠BED /C=P) 90°，∠ACB=2∠B=90°，∴.∠B=45° 在Rt△(OCE和Rt△ODE中， ∠EDB=∠B=45,ED=EB,.EB OE=OE, .Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)..OC=OD. CD...AB=AE+EB=AC+CD. 6. 证明：：BD是∠ABC的平分线， (2)AB=AC CD 理由如下： ∴，∠ABD=∠CBD. 如图，在AB上载币AF= (AB=CB. AC,连接FD,AD为 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, ∠BAC的平分线. BD=BD ∠FAD ∠CAD,在 ,.△ABD≌△CBD(SAS). △FAD和△CAD中， AF=AC, B 洋分地 .∠ADP=∠CDP ∠FAD=∠CAD,'.△FAD≌△CAD(SAS), 又PM⊥AD,PN⊥CD,.PM=PN. AD-AD. .FD=CD,∠AFD=∠ACB,,∠AFD= 能力提升 ∠B ∠FDB. ∠ACB=2∠B,∴.∠B+ 1.C2.A ∠FDB=2∠B,,∠FDB=∠B,,FD= 3.12 FB, .FB CD,,AB AF+FB 4.解：(1)，BD平分∠ABC,∠ABC=40°， AC+CD. ·∠DBC=7∠ABC=7X40°=20°， (3)不成立，新数量关系为CD=AB十AC 'CD平分∠ACB,∠ACB=70°， 滚动练习一（14.1~14.2) 1.C2.C 3.D4.B5.B6.C ∠DCB=2∠ACB=2X70°=35， 7.12070768.(6,-4) .∠BDC=180°-20°-35°=125° 9.AB=AC(答案不唯一)10.8 (2),BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, 11.解：如图所示.（答案不唯一） DE=2,DF DE =2.BC =9, S△BD=2 XBCX DF=2X9X2=9, 5.解：(1)∠ABC的平分线BD如图所示 H D 12.证明：，ACBE, ∠DBF (2)如图，过点D作DH⊥AB于点H. ∠C= DRE BD平分∠ABC,∠C=90°，DH⊥AB, 在△ABC和△DEB中， BC=EB. ∴.CD=DH=3. ∠ABC=∠E ∴.△ABC≌△DEB(ASA), ∴.S△AC=S△D十S△ABD= BC·CD+ ..AB=DE. 13.解：(1)证明：△ABC的两条高AD,CE 2AB·DH= X3BC+ 1 2 交于点F,.∠BEC ∠AEF=90°， ·∠BCE+ /R- ∠DAB+∠B=90° 3(BC-+AB)= 2×3×16=24. ∠BCE=∠DAB,在△AEF和△CEB中， 6.证明：(1).AB∥CD,∴.∠BAD+∠ADC= I∠FAE=∠BCE, 180°. AM平分∠BAD,DM平分∠ADC AEF-∠CEB,∴.△AEF≌△CEB(AAS) ,.∠BAD=2∠MAD,∠ADC=2∠ADM AF=CB, .2∠MAD+2∠ADM=180°. ∴.∠MAD ∠ADM=90°.∴.∠AMD=180°-（∠MAD+2.解：PB+PC>AB+AC. ,∴.点A在BC的垂直平分线上 (3)如图，作出线段AC的垂直平分线与射线 ∠ADM)=90°，即AM⊥DM. 理由如下：如图，在BA的 ,OB=(C,.点O在BC的垂直平分线上 BP的交点即为点Q (2)如图， 过 点M A 延长线上载取一点F, 使 ,.AO是BC的垂直平分线.∴.AO⊥BC 15.2画轴对称的图形 作MN⊥AD于点N AF=AC,连接PF 在 6.如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的 ∠B=90°， AB∥ 第1课时 画轴对称的图形 △ACP和△AFP中， 补角 CD,,.BM⊥AB, AC-AF 基础达标 CM⊥CD.AM 平 能力提升 ∠CAP=∠FAP,∴.△ACP≌△AFP(SAS). 1.D2.C3.B4.C5.C 1.B 分∠BAD,DM平分 AP=AP. 6.证明：(1)，GB=GC,AB=AC,.点G,A 2.解：如图所 ∠ADC,∴.MB=MN, MN=MC..MB=MC,即M为BC的 ..PC=PF. PB+PF>BF,AC=AF, 在线段BC的垂直平分线上.又，两点确定一 囍 来 田 中点 ∴.PB+PC>AB+AC 条直线，∴AG垂直平分BC. 第2课时 角的平分线的判定 3.解：如图，延长BE交 (2).AG垂直平分BC,点D在AG上， 3.解：所作图形如图所示 AC于点F ..DB=DC. 基础达标 在△ABE和△AFE中 7.证明：：∠ACB=90°，∴.AC⊥BC,ED 1.A2.D3.∠A ∠C ∠BAE=∠FAE AB,BE平分∠ABC,∴.EC=ED.DE垂 4.证明：，BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD= AE-AE. 直平分AB,∴.EA=EB.,AC=AE+CE, ∠CED=90°， 在△BDF与△CDE中 ∠AEB= ∠AEF=90°， .'BE+DE=AC. I∠BFD=∠CED, ∴.△ABE≌△AFE(ASA) 8.解：(1)AB,AC的垂直平分线分别交BC ∠BDF=∠CDE,∴.△BDF≌△CDE(AAS ..∠ABE=∠AFE 于点D,E,.AD=BD,AE=CE,∴AD+ BD=CD, .:∠AFB= )B+ DE+AE BD+DE+CE=BC =12. DF=DE DF⊥AB,DE⊥AC,∴.AD ∴.∠ABE=∠DBE+∠C. ,,△ADE的周长为12. 是∠BAC的平分线.即AD平分∠BAC. 2)点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 5.证明：DE⊥AB, DF⊥AC, ∠DEB= ∠DFC=90°.D是BC的中点，∴.BD= 第十五章 轴对称 如图，连接AO,BO,CO,OM,ON分别 是AB,AC的垂直平分线，，OA=OB, 能力提升 CD.在△BED和△CFD中， 15.1 图形的轴对称 OA=OC,,∴OB=OC,,∴.点O在BC的垂直 I∠BDE=∠CDF. 1.9:302.B))K ∠BED=∠CFD,∴.△BED≌△CFD(AAS). 15.1.1 轴对称及其性质 平分线上 3.解：(1)△A,B,C,如图所示 BD=CD 基础达标 ∴.DE=DF ,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 1.B2.C3.D4.C5.D6.A 于点F,.点D在∠BAC的平分线上，AD 7.解：两个四边形关于直线1对称，四边形 B 平分∠BAC. 6.C ABCD≌四边形FEHG,.∠H=∠C=90°， D M 能力提升 ∠A=∠F=80°，∠E=∠B=135°，∴.∠G= 360°-∠H-∠E-∠F=55°，a=AB=EF 1.A2.A 3.1154.55° 5 cm,b=HE=BC=4 cm. 第2课时 作线段的垂直平分线 能力提升 基础达标 5.解：(1)如图，过点P作PF⊥BE于点F. 1.C BP平分∠ABC,PH⊥BA,PF⊥BE,. 1.D2.C3.B4.D PH-PF=5cm.∴.点P到直线BC的距离为5.39° 2.解：如图所示 (2)△A,B,C,是由△AB,C,先向右平移6个 5 cm. 6.解：(I),'Rt△ABC关于直线MN的对称点分 单位长度，再向下平移2个单位长度得到的 (答案不唯一) H 别为点A',B',C,AC=8cm,A'C=12cm, ∴AB=AB,BC=B'C',AC=A'C',且点 4.解：(1)如图所示，△ADE即为所求 A',C,B'在一条直线上 .△A'B'C'的周长为B'C'+A'B+A'C' A'C+AC=12+8=20(cm). (2)如图，连接CC ./A=90 .∠A′ FE 90.∴.△A'CC的面积 (2)证明：如图，连接AP CP平分 B ∠ACE, PD⊥AC,PF⊥BE PF PD. 为 ?ACXAC- 又PH=PF,∴.PD=PH. .PD⊥AC, 3.解：如图所示 A PH⊥BA, 的平分线上千升二HAC点P在 2×12X8=48(cm2). 6.证明：(1)如图，作EF⊥BC 7.解：(1)，点P与点M关于OA对称，∴.MQ 于点F,AD⊥CD,CE平 PQ,∠EQM=∠EQP=90°.又，EQ=EQ, (2)由题意得，S△Ac=2×4 X2×2- ∠BCD,EF ⊥BC, ∴△EMQ≌△EPQ(SAS.∴ME=PE.同 2 EF=DE. E为AD的中 理FN=FP.,.△PEF的周长为PE十FPH 1 点.∴.AE=DE,∴.AE EF=ME+FN-EF=MN=10. 2×2×1-×1×4=3. 能力提升 EF,AB∥CD,AD⊥CD (2),点P与点M关于OA对称， .∠OQP= (3)3 1.B .,/A=180 )=90 90°.同理∠RP=90°.由四边形的内角和是 .BE平 2.20 第2课时 用坐标表示轴对称 .AD AB, 分∠ABC. 360可知，∠QOR=360°-∠OQP-∠ORP 3.解：如图所示，点P即为所求 基础达标 ∠QPR=360°-90°-90°-130°=50°，即 (2)在Rt△CDE和Rt△CFE中， 1.A2.A3.A ∠AOB=50°， ∠MPN=130°，∴.∠M+ (CE=CE, 4.解：(1)如图，△A'BC即为所求 DE-FE,Rt△CDE≌Rt△CFE(HL.), /入N=10°- ∠MPV=180°-130°=50， ∴.CF=CD,同理BF=BA,∴.BC=BF .△EMQ≌△EPQ,.∠M-∠QPE.同理 CF=AB+CD. 可得∠N=∠FPR.∴.∠EPF=∠MPN 5 专题训练五 与角平分线有关的 (∠MPE+∠FPN)=∠MPN-(∠M+ ∠V)=130°-50°=80° 全等证明的三种模型 (3)证明：点P与点M关于OA对称，点P 1.证明：如图， 过点D分别 作DE上AB于点E, 与点V关于OB对称，PQ=2PM,PR= 4.解：(1)如图，分别作出线段AB和线段BC的 D LAC于点F .AD 垂直平分线，交点即为点O 3-43-2y012:34:5 PN,PQ⊥OA,PR⊥OB,PM=PN, 1 平分∠BAC,DE⊥AB C? AC,.∠F ∠DEB=90°，DE=DF. .PQ=PR.又PQ⊥OA,PR⊥OB,.点 A B ∠ABD+ ∠ACD= P在∠AOB的平分线上. 180° ∠ACD+∠FCD=180°，.∠ABD= 15.1.2线段的垂直平分线 5 ∠FCD.在△DFC和△DEB中， 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 ∠F=∠DEB (2)(-x,y) ∠FCD=∠EBD,∴.△DFC≌△DEB(AAS).基础达标 能力提升 DF-DE. 1.B2.=>3.34.D (2)如图，作出∠B的平分线与线段AC的交1.B2.B3.C4.C5.D6.B .'DB=DC. 5.证明：，AB=AC, 点即可得到点P. 7.(8,0)8.4 9.解：(1)如图，四边形A'B'CD'即为所求作.13.解：(1)如图，直线EF即为所作图形 A A 3-2OW2345x 3 3 (2)如图，由(1)可知，EF垂直平分AP, .EF⊥AP,AO=OP, (AO=PO, 在△AOF和△POE中. ∠AOF=∠POE (2)SE边Axn=5X5-2X1X2-2X1X FO=EO, .△AOF≌△POE(SAS), ×1×4-×3×4=25-1-2-2 4- ∴.∠FAO=∠EPO. 6=14. 10.解：如图所示，△PQ'R'和△P“Q"R"即为所 求，设(x,y)为△PQR上的点， 则点(x,y)关于直线n的对称点的坐标为 一x+2，V)， 关于直线n的对称点的坐标为(x,一y-2) P 14.证明：在Rt△AED和Rt△AFD中， 3 E-6:R△AED≌RAAFD(H, 2 ∴AE=AF.∴点A在EF的垂直平分线上 R 1 R 又DE一DF,点D在EF的垂直平分线 54321023$56nx ,∴AD是EF的垂直平分线.，AD垂直 平分EF. 15.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求 R" -3引 B B -6 1 :x 11.解：(1)如图，△A,B,C1即为所求作：点 A1(2,0),B1(-3,2),C1(-2,4). y C 1 (2)△ABC的面积为4×3- 1 ×1X4 2 B 3×2 2×2×2-5. 3-2-1012345 16.解：(1)证明：，AD⊥BC,垂足为D,且 A BD=DE,.AD垂直平分BE,,AB AE,:EF垂直平分AC,交AC于点F,交 BC于点E,.EA=EC,.AB=EC, (2)EF垂直平分AC,交AC于点F,交 -5 BC于点E,AC=2AF.BD=DE, 6 C BC=2DEEC.由(1)得AB=EC, △ABC的周长=AB+BC+AC=EC+ (2)如图，△A,B,C,即为所求作；点A,(一2， 2DE+EC+2AF=2(DC-AF)=32. -2),B。(3,-4),C。(2,-6) (3)A,C1=AC2,A,C1∥AC 15.3 等腰三角形 滚动练习二（15.1~15.2) 15.3.1 等腰三角形 1.A2.A3.D4.A5.D6.D 第1课时等腰三角形的性质 7.21:0 8.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 基础达标 直平分线上 1.C2.66 9.210.60°11.12 3.解：在△ABC中，AB=AC,∠A=50°， 12.解：(1)如图所示. (答案不唯一) ·∠ABC=∠ACB=2(180°-∠A)=65°， 又.∠PBC=∠PCA,∠PCA+∠PCB=65, ∴∠PBC+∠PCB=65 (2)如图所示.（答案不唯一） 46c6180-65-i15 7.证明：，AB=AC,AD是边BC上的中线 .AD⊥BC.,BG平分∠ABC,EF⊥AB, .'EF=ED. 能力提升 1.B2.C3.B 4.70°，40或55°，55°5.40 6.证明：，AB=AC,AD是边BC上的中线， 参考答案川活21