04三角恒等变换——2027届高三数学一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖半角、升幂降幂等公式及应用，以知识梳理构建公式体系，回归教材夯实基础，通过考点梳理（化简、给角求值等题型）、方法指导与真题训练，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于回归教材与高考真题深度结合，如教材例题变式训练，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（公式应用表达），跟踪练习分层次设计，确保有限时间内最大化复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

2027届高三一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义 ——04 三角恒等变换 知识梳理： 1.半角公式：，，. 2.升幂公式：;. 3.降幂公式：；. 4.其他公式变形：；. 5.积化和差公式 ; ; ; . 6.和差化积公式 ; ； ; . 回归教材： 1、【人教A版必修一习题5.5第15题】求证： （1）； （2）. 2. 【人教A版必修一第5.5.2节226页练习第4题】 求证： （1）； （2）； （3）． 3、【人教A版必修一第5.5.2节例7】 试以表示，，. 4、【人教A版必修一第5.5.2节例8】求证： （1）； （2）. 5. 【人教A版必修一复习参考题5第15题】（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 6、【人教A版必修一第5.5.2节例10】如图5.5-2，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 7. 【人教A版必修一复习参考题5第17题】已知，，的值． 8、【人教A版必修一习题5.5第16题】是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由. 考点梳理： 三角函数式的化简 例.＝(　　) A．－ B．1 C. D．2 例．化简：(180°＜α＜360°)＝________. 例、【人教A版必修一复习参考题5第13题】化简： （1）； （2）； （3）； （4） 小结： 三角函数式的化简的原则及方法 1．化简原则 2．化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； (2)式子中的分母尽量不含三角函数； (3)尽量使被开方数不含三角函数等． 3．化简方法 (1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化； (2)“1”的代换，三角公式的正用、逆用． 给角求值问题 例、＝(　　) A．－ B. C．－ D. 例、＝________． 例、sin20°＝________． 小结： 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．其基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值，或可正、负相消的项和特殊角的三角函数值，或可约分的项和特殊角的三角函数值等． 给值求值问题 例．（2026·河北张家口·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 例．（2026·河北张家口·一模）已知锐角满足，则的值为______． 例. 【人教A版必修一复习参考题5第14题】（1）已知，求的值 （2）已知，求的值 （3）已知，求的值； （4）已知，求的值. 小结： 给值求值问题的解题策略 给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来． 给值求角问题 例、已知cosα＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A. B. C. D. 例．已知α为锐角，β为钝角且cos α＝，tan β＝－3，则α＋β的值为(　　) A. 　　　　　　B. 　　　　　　C.　　　　　　D. 例．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝－，则β的值为________． 例、已知sin(α＋2β)＝，cos(2α＋β)＝－，α∈，β∈，则α－β＝________． 小结： 给值求角时，选取函数应遵循的原则 (1)已知正切函数值，则选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好． 辅助角公式 例、【人教A版必修一习题5.5第12题】化简 （1）； （2）； （3）； （4）. 例、【人教A版必修一第5.5.2节例9】求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 例、【人教A版必修一习题5.5第17题】（1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最大值和最小值. 小结： 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) . 跟踪练习： 1．（2026·辽宁抚顺·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 2. 若 ，则( ). A. B. C. D. 3. 设 ，则( ). A. B. C. D. 4．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 5. ( ) A. B. C. D. 6. 下列计算结果不正确的是( ) A. B. C. D. 7．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·青海西宁·一模）已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北邢台·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 10、已知 ，，，，则( C ). A. 或 B. C. D. 11．(多选)下列四个等式中正确的是(　　) A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝ B.＝1 C．cos2－sin2＝ D.－＝4 12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 13．（多选）已知sin10°＝a，则－的值用a可以表示为(　　) A. B. C．16a D．32a 14．（多选）已知α∈(π，2π)，sinα＝＝tan，则(　　) A．tanα＝ B．cosα＝ C．tanβ＝4 D．cosβ＝ 15．（2026·山西晋城·一模）若，则__________． 16. 已知，， ，,，则. 17．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β的值为________． 18．若tan(α＋β)＝3，tan β＝2，则＝________. 19．已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝. (1)求sin β的值；(2)求的值． 20、（1）. （2）化简：. 21、（1）; （2）; （3）. 22．(1)求tan70°·cos10°(tan20°－1)的值； (2)已知函数f(x)＝2cos2＋2sin(π－x)cosx－.若f＝，x0∈，求sin2x0的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义 ——04 三角恒等变换 知识梳理： 1.半角公式：，，. 2.升幂公式：;. 3.降幂公式：；. 4.其他公式变形：；. 5.积化和差公式 ; ; ; . 6.和差化积公式 ; ； ; . 回归教材： 1、【人教A版必修一习题5.5第15题】求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】 （1）对等式的左边运用二倍角的余弦公式进行运算即可证明出等式的左边等于等式的右边； （2）对等式的左边运用切化弦、逆用两角差的正弦公式、辅助角公式可以证明出等式的左边等于等式的右边. 【详解】证明：（1）左边 右边； （2）左边 右边. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力. 2. 【人教A版必修一第5.5.2节226页练习第4题】 求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】证明见解析； 【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，证明即可． 【详解】证明：（1）； （2）； （3）等式成立． 3、【人教A版必修一第5.5.2节例7】 试以表示，，. 解：是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替， 得，所以. 在倍角公式中， 以代替 ①，以代替，得，所以②. 将①②两个等式的左右两边分别相除，得. 4、【人教A版必修一第5.5.2节例8】求证： （1）； （2）. 证明：（1）因为， 将以上两式的左右两边分别相加，得， 即. （2）由（1）可得. ① 设，，那么，. 把，的值代入①，即得. 5. 【人教A版必修一复习参考题5第15题】（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简可求进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．（2）将两边同时平方，再相加即可得解； 【详解】（1）， ，，． （2）因为，，所以，， 上述两式相加得， 即，解得。 6、【人教A版必修一第5.5.2节例10】如图5.5-2，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 分析：可先建立矩形的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值. 解：在中，，.在中，. 所以，. 设矩形的面积为S，则 .由，得，所以当，即时，.因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为. 7. 【人教A版必修一复习参考题5第17题】已知，，的值． 【答案】. 【分析】依题意可得，且，. 然后可得，，进而可得. 【详解】将平方得，所以，所以. 所以，从而. 联立，得. 所以，. 故. 8、【人教A版必修一习题5.5第16题】是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【分析】利用两角和的正切公式可得，结合可求及，求出后可得的值. 【详解】假设存在锐角使得，同时成立.得， 所以.又因为，所以. 因此可以看成是方程的两个根.解该方程得. 若，则.这与为锐角矛盾.所以，故，因为为锐角，所以.所以满足条件的存在，且. 【点睛】三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角变换公式把三角方程化简为角的三角函数的方程，求出它们的值后可得角的大小，化简三角方程时要关注三角方程的结构形式便于找到合理的三角变换方法. 考点梳理： 三角函数式的化简 例.＝(　　) A．－ B．1 C. D．2 答案：C 解析：原式＝＝＝＝. 例．化简：(180°＜α＜360°)＝________. 答案：cos α 解析：原式＝＝＝ ＝.因为180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，所以cos＜0，所以原式＝cos α. 例、【人教A版必修一复习参考题5第13题】化简： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）4；（2）-1（3）-1；（4）1 【分析】（1）利用辅助角公式及二倍角公式计算可得； （2）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； （3）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； （4）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 （3）原式 （4）原式 【点睛】此题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 小结： 三角函数式的化简的原则及方法 1．化简原则 2．化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； (2)式子中的分母尽量不含三角函数； (3)尽量使被开方数不含三角函数等． 3．化简方法 (1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化； (2)“1”的代换，三角公式的正用、逆用． 给角求值问题 例、＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：＝＝＝. 例、＝________． 答案： 解析：＝＝＝＝＝. 例、sin20°＝________． 答案：1 解析：sin20°＝sin20°＝×2＝ ×2sin70°＝＝＝＝1. 小结： 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．其基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值，或可正、负相消的项和特殊角的三角函数值，或可约分的项和特殊角的三角函数值等． 给值求值问题 例．（2026·河北张家口·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，又，所以，则，即，所以。 例．（2026·河北张家口·一模）已知锐角满足，则的值为______． 【答案】 【详解】已知是锐角，且，则，设， 则，解得，， ． 例. 【人教A版必修一复习参考题5第14题】（1）已知，求的值 （2）已知，求的值 （3）已知，求的值； （4）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由，利用同角的三角函数关系求出，再计算的值； （2）由，两边平方利用二倍角正弦公式求出的值； （3）由，根据平方公式和二倍角公式求出的值； （4）由，利用平方关系结合题意求得的值． 【详解】（1）由，，得， 所以； （2）由，所以， 解得； （3）由，得， 解得，则； （4）由，得 ． 【点睛】本题考查了三角函数的求值与应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，属于中档题． 小结： 给值求值问题的解题策略 给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来． 给值求角问题 例、已知cosα＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为cosα＝，sin(β－α)＝－＜0，α，β均为锐角，所以sinα＝＝， β－α∈，可得cos(β－α)＝＝， sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝－×＋×＝，则β＝. 例．已知α为锐角，β为钝角且cos α＝，tan β＝－3，则α＋β的值为(　　) A. 　　　　　　B. 　　　　　　C.　　　　　　D. 解析：选A　由α为锐角且cos α＝，得sin α＝＝，则tan α＝＝， 则tan(α＋β)＝＝＝－1，又α∈，β∈，则α＋β∈， 得α＋β＝. 例．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝－，则β的值为________． 答案： 解析：∵tan＝，∴tan α＝＝，∴＝，∵sin2α＋cos2α＝1及0<α<，∴sin α＝，cos α＝， ∵0<α<<β<π，∴0<β－α<π.∵cos(β－α)＝－，∴sin(β－α)＝＝， ∴cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝－×－×＝－.∵<β<π，∴β＝. 例、已知sin(α＋2β)＝，cos(2α＋β)＝－，α∈，β∈，则α－β＝________． 答案： 解析：因为α∈，β∈，则<2α＋β<π，－<α＋2β<，<α－β<，所以cos(α＋2β)＝＝，sin(2α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[(2α＋β)－(α＋2β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋2β)＋sin(2α＋β)sin(α＋2β)＝－×＋×＝，因此α－β＝. 小结： 给值求角时，选取函数应遵循的原则 (1)已知正切函数值，则选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好． 辅助角公式 【人教A版必修一习题5.5第12题】化简 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】运用辅助角公式对四个三角式直接化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查特殊角的三角函数值的应用，考查了数学运算能力. 【人教A版必修一第5.5.2节例9】求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了. 解：（1）. 因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2. （2）设，则. 于是，，于是，所以. 取，则，.由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为-5. 【人教A版必修一习题5.5第17题】（1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）周期为，单调递增区间为. （2）最大值为，最小值为 【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可；（2）利用辅助角公式直接求解即可. 【详解】（1） ，最小正周期为； 由，得，∴单调递增区间为. （2），其中，的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查了用辅助角公式求解正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力. 小结： 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) . 跟踪练习： 1．（2026·辽宁抚顺·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出，最后结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】由题意得，所以·.因为， 所以，所以，且，所以，可得. 2. 若 ，则( C ). A. B. C. D. 【答案】C [解析]由题意得， , 即， 即,显然，所以.故选. 3. 设 ，则( D ). A. B. C. D. 【答案】D [解析] ，即， 所以，即， 所以.故选. 4．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 答案：C 解析：解法一：∵＝，∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝sin， ∵α－β∈，－α∈，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.故选C. 解法二：∵tanα＝＝＝＝＝tan， 又α∈，＋∈，∴α＝＋，∴2α－β＝.故选C. 5. ( ) A. B. C. D. 【答案】B [解析] . ，，， ，， 原式.故选. 6. 下列计算结果不正确的是( C ). A. B. C. D. 【答案】C [解析]，正确； ，正确； ，不正确； 由， 可得， 正确.故选. 7．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以. 8．（2026·青海西宁·一模）已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又，，因为是第二象限角，所以，，所以，， 所以. 9．（2026·河北邢台·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，，展开得：， 两式相减得：，则：，即：. 10、已知 ，，，，则( C ). A. 或 B. C. D. 【答案】C [解析]由 ，得 ，由于，故 ，故. 由，，得 ，由于，故， 故. ，由于，故.故选. 11．(多选)下列四个等式中正确的是(　　) A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝ B.＝1 C．cos2－sin2＝ D.－＝4 【答案】AD 解析：A选项，∵tan(25°＋35°)＝＝，∴tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)＝－tan 25°tan 35°，∴tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，正确；B选项，∵tan 45°＝＝1，∴＝，错误；C选项，cos2－sin2＝cos＝cos＝，错误；D选项，－＝＝＝＝＝4，正确．故选A、D. 12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 【答案】AC 解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α＞0，α，β∈，∴β＞α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选A、C. 13．（多选）已知sin10°＝a，则－的值用a可以表示为(　　) A. B. C．16a D．32a 答案：AD 解析：－＝＝＝＝＝，又sin30°＝sin(10°＋20°)＝sin10°cos20°＋cos10°sin20°＝sin10°(1－2sin210°)＋2sin10°cos210°＝3sin10°－4sin310°＝，所以3a－4a3＝，故6a－8a3＝1， 得＝＝＝32a. 14．（多选）已知α∈(π，2π)，sinα＝＝tan，则(　　) A．tanα＝ B．cosα＝ C．tanβ＝4 D．cosβ＝ 答案：BD 解析：因为α∈(π，2π)，所以sinα≠0，又sinα＝＝，所以cosα＝＞0，故B正确；由上述可得α∈，则sinα＝－＝－，tanα＝＝－，故A错误；由已知可得tan＝－，可得tanβ＝＝－4，故C错误；cosβ＝＝＝，故D正确．故选BD. 15．（2026·山西晋城·一模）若，则__________． 【答案】3 【详解】 ． 16. 已知，， ，,，则. [解析] ，,，.，.， ，.，. 17．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β的值为________． 答案： 解析：∵tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，∴tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4， ∴tan(α＋β)＝＝＝.又tan α＋tan β＜0，tan αtan β＞0，∴tan α＜0，tan β ＜0， ∵α，β∈，∴α，β∈，∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 18．若tan(α＋β)＝3，tan β＝2，则＝________. 答案：－7 解析：∵tan(α＋β)＝3，tan β＝2，tan(α＋β)＝，∴＝3，解得tan α＝. ∴＝＝－＝－＝－＝－7. 19．已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝. (1)求sin β的值；(2)求的值． 解：(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝. 所以sin β＝sin[(β＋α)－α]＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α＝×－×＝. (2)因为cos α＝，sin α＝，所以＝＝＝12. 20、（1）. （2）化简：. [解析]（1）. （2）原式. 21、（1）; （2）; （3）. [解析]（1）原式 . （2）. （3）. 22．(1)求tan70°·cos10°(tan20°－1)的值； (2)已知函数f(x)＝2cos2＋2sin(π－x)cosx－.若f＝，x0∈，求sin2x0的值． 解：(1)tan70°cos10°(tan20°－1)＝· ＝·＝· ＝·＝·＝－1. （2）f(x)＝2cos2＋2sin(π－x)·cosx－＝2sin2x＋2sinxcosx－＝sin2x－cos2x ＝2sin，f＝2sin＝，sin＝， 又x0∈，则2x0－∈，∴cos＝－＝－， ∴sin2x0＝sin＝sincos＋cossin ＝×－×＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $