广东广州市玉岩中学2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

**基本信息** 2025学年高二数学期末卷（150分）以集合、导数、概率统计等核心知识为载体，通过医药试验回归分析、细胞分裂概率模型等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，体现“用数学思维解决实际问题”的命题导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、导数定义、向量数量积、排列组合|基础题注重概念辨析，如第2题通过瞬时变化率考查导数本质| |多选题|3/18|二项分布方差、正态分布性质、独立事件概率|第9题综合考查概率统计核心素养，选项设置区分度高| |填空题|3/15|数列前n项和、非线性回归、二项式定理|第13题通过水生植物覆盖面积建模，强化数据意识| |解答题|5/77|数列通项与求和、回归模型评估、函数单调性、概率分布与证明|第16题结合医药试验残差图分析模型拟合效果，第18题以细胞分裂为背景构建概率递推关系，突出数学建模与逻辑推理|

2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学 说明：本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡交回。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则(    ) A． B． C． D． 2.若函数y=f(x)在x=2处的瞬时变化率为，且== 4+Δx，则等于(　　) A.2 B.4 C.2+Δx D.4+Δx 3.已知向量，若，则(   ) A． B．80 C． D． 4．将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有(   ) A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 5.已知随机变量X~B(10, p),Y~N(5,),且E(2X+1)=7,若P(Y9)=1-,则P(19)=( ) A. B. C. D. 6.已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 7.已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为(   ) A．13 B．17 C．18 D．20 8.已知正实数a，b满足，则ab的值为(   ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是(    ) A. 若随机变量X~B(10,),则D(3X-1)=20 B. 若随机变量X~N(,),当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中,样本决定系数越大,残差平方和越小,模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中,当(为的临界值)时,推断零假设不成立 10.下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是(    ) A. B. C. D. 11.设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是(   ) A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，，则___________． 13.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积单位：与水生植物的株数单位：株之间的相关关系，收集了组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示： 得到与的线性回归方程，则           ． 14.已知当时，有，若对任意的都有，则          ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 16.某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y(单位：)随给药剂量x(单位：mg)的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图(如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量)． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． (ⅰ)已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； (ⅱ)若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．(结果精确到0.01) 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． ． 17.已知函数． 讨论函数的单调性； 证明：当时，，使得． 18.现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 19.已知关于的函数，与在区间上恒有． 若，，，求的表达式； 若，，，，求的取值范围； 若，，，，求证：． 广州市玉岩中学2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学 说明：本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡交回。 2、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，所以. 2.若函数y=f(x)在x=2处的瞬时变化率为，且== 4+Δx，则等于(　　) A.2 B.4 C.2+Δx D.4+Δx 答案　B 解析　根据导数的定义可知，f'(2)==(4+Δx)=4. 3.已知向量，若，则(   ) A． B．80 C． D． 【答案】A 4．将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有(   ) A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 【答案】D 5.已知随机变量X~B(10, p),Y~N(5,),且E(2X+1)=7,若P(Y9)=1-,则P(19)=( ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由随机变量，得. 又，即，故. 则​​​​​​​. 由于，故, 则，因此. 则. 6.已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点在线段上(不含端点)，，得， 则，因此 ， 当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为. 7.已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为(   ) A．13 B．17 C．18 D．20 【答案】B 【详解】设等比数列{an}的公比为且，，所以， 所以，因为关于直线对称，所以，所以集合 中的元素个数为个 8.已知正实数a，b满足，则ab的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对两边取自然对数，得， 即，设，，则， 所以在上单调递增，所以方程的解只有一个， 又因为，所以，所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是(    ) A. 若随机变量X~B(10,),则D(3X-1)=20 B. 若随机变量X~N(,),当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中,样本决定系数越大,残差平方和越小,模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中,当(为的临界值)时,推断零假设不成立 【答案】ACD  10.下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  11.设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，可得；因此C错误； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A正确； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，，则___________． 【答案】 【解析】由题意可知，由可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 当且时，， 不满足上式，故. 13.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积单位：与水生植物的株数单位：株之间的相关关系，收集了组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示： 得到与的线性回归方程，则           ． 【答案】  解：由已知可得，，， 所以，有，解得，所以，， 由，得，所以，，则．故答案为：． 14.已知当时，有，若对任意的都有，则          ． 【答案】  【解析】当时，有， 所以， 则， 则为展开式中的系数， 因为，所以．故答案为： 5、 解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【详解】(1)两边取倒数得， 即，又，所以， 从而为首项为，公差为2的等差数列， 所以，故， (2)， 所以. 16.某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y(单位：)随给药剂量x(单位：mg)的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图(如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量)． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． (ⅰ)已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； (ⅱ)若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．(结果精确到0.01) 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【详解】(1)模型一的拟合效果更好，理由如下： 模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． (2)(ⅰ)点，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为， 所以该方程相应于点的残差为，故选点； (ⅱ)由题可知，，所以， 由，， 所以 ． 17.已知函数． 讨论函数的单调性； 证明：当时，，使得． 解：易知，， 当时，，函数在上单调递减 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上，当. 时，函数在上单调递减 当时，在上单调递减，在上单调递增． 证明：由可知，当时，在处取得最小值， 若，使得，只需． 令，由， 可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，． 所以，，使得  18.现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 【答案】(1)解：的可能取值为， 由题意计算得，， ，. 的分布列为： 计算得. (2)解：若，则存在，使得第次分裂时由1个细胞分裂为2个， 前次分裂均为1个分裂为1个，后次分裂中2个细胞每次均分裂为1个， 对应概率为. ， 由等比数列求和公式化简得. (3)证明：由全概率公式得， 化简得. 代入， 整理得. 两边同乘，得. 由累加法，结合，得， 拆分求和得 .整理得， 因为，，故，得证. 19.已知关于的函数，与在区间上恒有． 若，，，求的表达式； 若，，，，求的取值范围； 若，，，，求证：． 解：由得， 又，，所以， 所以，函数的图象为过原点，斜率为的直线，所以， 经检验：，符合题意，故的表达式为． ， 设，设，在上，，单调递增， 在上，，单调递减，所以， 所以当时，； 令 所以，得， 当时，即时，在上单调递增， 所以，， 当 时，即时，，即，解得． 综上，． 因为，所以，                                                                                       所以函数的图象在处的切线为： ， 可见直线为函数的图象在处的切线． 由函数的图象可知，当在区间上恒成立时，， 又由，得， 设方程的两根为，，则，， 所以， ，则，由图象可知，， 设，则， 所以当时，，单调递减， 所以， 故，即．  第 2 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $