5.7 三角函数的应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，核心知识点为函数y=Asin(ωx+φ)的参数意义及模型构建。课堂通过交变电流产生情境导入，展现线圈旋转的周期变化，衔接三角函数性质，以参数辨析为支架，引导从实际现象抽象数学模型。 其亮点在于情境化设计与分层教学，如用单摆、气温等实例落实数学建模，通过题型精析（物理应用、生活问题、模型拟合）培养数学运算能力。通性通法总结（四步骤解题）强化数学思维，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

5.7　三角函数的应用 新课程标准解读 核心素养 1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、 数学运算 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数 学模型 数学建模、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中 按逆时针方向匀速旋转产生交变电流（电刷及回路 等部分省略），当线圈处于如图所示的位置时，线 圈中的感应电流 y 达到最大值 A ；当线圈由此位置 逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流 y 为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流 y 达到反向最大值－ A ；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂 直位置时，线圈中的感应电流 y 又一次为0；当线圈继续逆时针旋转 90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流 y 又一次达到最大值 A . 这样周而复始，形成周期变化. 目录 数学·必修第一册 【问题】　　（1）交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型 刻画？ （2）以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）， A ＞0，ω＞0中参数的物理意义 提醒　（1） A ：表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离， 称为振幅；（2） T ：表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时 间，称为周期；（3） f ：表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运 动的次数，称为频率. 目录 数学·必修第一册 1. 函数 y ＝ sin 的周期、振幅、初相分别是（　　） 目录 数学·必修第一册 2. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s （cm）和时间 t （s）的函数关系式为 s ＝6 sin （2π t ＋ ），那么 单摆摆动一个周期所需的时间为（　　） A. 2π s B. π s C. 0.5 s D. 1 s 解析： 　依题意是求函数 s ＝6 sin 的周期， T ＝ ＝ 1，故选D. 目录 数学·必修第一册 3. 电流强度 I （单位：A）随时间 t （单位：s）变化的关系式是 I ＝5 sin ，则当 t ＝ 时，电流强度为（　　） A. 1.5 A B. 2.5 A C. 3.5 A D. 4.5 A 解析： 　将 t ＝ 代入 I ＝5 sin ，得 I ＝2.5，故电流 强度为2.5 A. 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 三角函数在物理中的应用 【例1】　已知电流 I 与时间 t 的关系为 I ＝ A sin （ω t ＋φ）. （1）如图所示的是 I ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ） 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I ＝ A sin （ω t ＋φ）的解 析式； 目录 数学·必修第一册 解： 由题图可知 A ＝300， 设 t1＝－ ， t2＝ ， 则周期 T ＝2（ t2－ t1）＝2（ ＋ ）＝ ， ∴ω＝ ＝150π. 又当 t ＝ 时， I ＝0，即 sin （150π· ＋φ） ＝0， 又｜φ｜＜ ，∴φ＝ . 故所求的解析式为 I ＝300 sin （150π t ＋ ）. 目录 数学·必修第一册 （2）如果 t 在任意一段 的时间内，电流 I ＝ A sin （ω t ＋φ）都能取 得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解： 依题意知，周期 T ≤ ，即 ≤ （ω＞0）， ∴ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. 目录 数学·必修第一册 通性通法 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同 的特点是具有周期性； （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概 念，因此要熟知其物理意义并与对应的三角函数知识结合解题. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s （cm）随时间 t （s）的变化规律为 s ＝4 sin （2 t ＋ ）， t ∈[0，＋ ∞）.用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： （1）小球在开始振动（ t ＝0）时的位移是多少？ 解：列表如下： 0 π 2π t s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示. 目录 数学·必修第一册 （1）将 t ＝0代入 s ＝4 sin （2 t ＋ ），得 s ＝4 sin ＝2 ，所 以小球开始振动时的位移是2 cm. 目录 数学·必修第一册 （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ 解：小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和 －4 cm. （3）经过多长时间小球往复振动一次？ 解：因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间 是π s. 目录 数学·必修第一册 题型二 三角函数在日常生活中的应用 【例2】　某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性 规律，因此第 n 个月的月平均最高气温 G （ n ）可近似地用函数 G （ n ）＝ A cos （ω n ＋φ）＋ k 来刻画，其中正整数 n 表示月份且 n ∈[1，12]，例如 n ＝1表示1月份， A 和 k 是正整数，ω＞0，φ∈（0， π）.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1 月份的月平均最高气温为3 ℃，是一年中月平均最高气温最低的月 份，随后逐月递增，直到7月份达到最高，为33 ℃. 目录 数学·必修第一册 （1）求 G （ n ）的解析式； 解： 因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最 高气温最高， 所以最小正周期 T ＝2×（7－1）＝12， 所以ω＝ ＝ ，所以 cos （ ＋φ）＝－1， cos （ ＋φ）＝1. 因为φ∈（0，π），所以φ＝ . 因为1月份的月平均最高气温为3 ℃，7月份的月平均最高气温为 33 ℃，所以－ A ＋ k ＝3， A ＋ k ＝33，所以 A ＝15， k ＝18. 所以 G （ n ）的解析式为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n 为正整数. 目录 数学·必修第一册 （2）某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，求一年 中该植物在该地区可生存的月份数. 解： 因为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1， 12]， n 为正整数， 所以 G （ n ）在区间[1，7]上单调递增，在区间[7，12]上单调 递减. 目录 数学·必修第一册 因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，且 G （3）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝10.5， G （4）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝18， 所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存. 又 G （10）＝ G （4）＝18， G （11）＝ G （3）＝10.5， 所以该植物在11月份、12月份也可生存. 即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解三角函数应用问题的基本步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　心脏在跳动时，血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别称 为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，通常认为 计数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数关系式 P （ t ）＝ 115＋25 sin 160π t ，其中 P （ t ）为血压（mmHg）， t 为时间 （min）. （1）求函数 P （ t ）的最小正周期； 解： 由题意可得，函数 P （ t ）的最小正周期 T ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册 （2）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较. 解： 函数 P （ t ）＝115＋25 sin 160π t 的最大值是115＋25 ＝140， 最小值是115－25＝90，即此人的血压在血压计上的读数为 140/90 mmHg，与标准值相比较偏高一点. 目录 数学·必修第一册 题型三 三角函数模型的拟合 【例3】　“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的 海浪高度 y （米）随着时间 t （单位：时，0≤ t ≤24）周期性变化.为 了了解其变化规律，该表演队观察若干天后，得到每天海浪高度的平 均值与时间的关系如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 目录 数学·必修第一册 （1）从 y ＝ at ＋ b ， y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜ ＜ ）中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式； 解： 以时间为横坐标，海浪高度为纵 坐标，在平面直角坐标系中作出散点图如 图所示， 由图可知选择 y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）作为函数模型较为合适. 由图可知 A ＝ ＝ ，最小正周期 T ＝12， b ＝ ＝1，则ω＝ ＝ ，所以 y ＝ sin （ t ＋φ）＋1. 目录 数学·必修第一册 因为当 t ＝0时， y ＝1，所以 ×0＋φ＝ k π， k ∈Z，所以φ＝ k π， k ∈Z， 又｜φ｜＜ ，所以φ＝0，所以 y ＝ sin t ＋1（0≤ t ≤24）. 目录 数学·必修第一册 （2）如果当海浪高度不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天内恰 当的训练时间段. 解： 由 sin t ＋1≥ （0≤ t ≤24），得 sin t ≥－ ， 则－ ＋2 k π≤ t ≤ ＋2 k π， k ∈Z， 得－1＋12 k ≤ t ≤7＋12 k ， k ∈Z，从而0≤ t ≤7或11≤ t ≤19或 23≤ t ≤24. 所以在白天11时～19时进行训练较为恰当. 目录 数学·必修第一册 通性通法 处理函数拟合和预测问题的几个步骤 （1）根据原始数据，画出散点图； （2）通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟 合曲线； （3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； （4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便 为决策和管理提供依据. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　一物体相对于某一固定位置的位移 y （cm）和时间 t （s）之间的一 组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置 y 和时间 t 之间的 关系的一个三角函数式为 ⁠. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 y ＝－4 cos t 　 解析：设 y ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），则从表中数据可以 得到 A ＝4，ω＝ ＝ ＝ ，又由4 sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1， 取φ＝－ ，故 y ＝4 sin （ t － ），即 y ＝－4 cos t . 目录 数学·必修第一册 1. 函数 f （ x ）的最大值为 ，最小正周期为 ，初相为 的函数表达 式是（　　） 解析： 　由最小正周期为 ，排除A、B；由初相为 ，排除C. 目录 数学·必修第一册 2. 如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、 OB 为终边的角 θ（－π＜θ＜π）与时间 t （s）满足函数关系式θ＝ sin （2 t ＋ ），则当 t ＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是（　　） D. 2，π 解析： 　当 t ＝0时，θ＝ sin ＝ ，由函数解析式易知单摆的周 期为 ＝π，故单摆的频率为 . 目录 数学·必修第一册 3. 交流电的电压 E （单位：V）与时间 t （单位：s）的关系可用 E ＝ 220 sin 来表示，求： （1） t ＝0时电压； 解： 当 t ＝0时， E ＝110 （V），即开始时的电压为 110 V. （2）电压值重复出现一次的时间间隔. 解： T ＝ ＝ （s），即时间间隔为0.02 s. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 简谐运动 y ＝4 sin 的相位与初相是（　　） 解析： 　相位是5 x － ，当 x ＝0时的相位为初相即－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 2. 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图①），各种音叉因 其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲 击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点 P 离开平衡位置的位移 y 与时间 t 的函数关系为 y ＝ sin ω t （ω＞0）.图②是该函数在一 个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（　　） A. 200 B. 400 C. 200π D. 400π 解析： 由图象可得， T ＝4× ＝ ，即 ＝ ，则ω＝400π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 3. 在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1和 M2的小球，它们做上下自 由振动.已知它们在时间 t （s）时离开平衡位置的位移 s1（cm）和 s2（cm）分别由下列两式确定： s1＝5 sin （2 t ＋ ）， s2＝5 cos （2 t － ）.则在时间 t ＝ 时， s1与 s2的大小关系是（　　） A. s1＞ s2 B. s1＜ s2 C. s1＝ s2 D. 不能确定 解析： 　当 t ＝ 时， s1＝5 sin （2× ＋ ）＝－5， s2＝5 cos （2× － ）＝－5，∴ s1＝ s2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 4. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针 位置 P （ x ， y ）.若初始位置为 P0（ ， ），当秒针从 P0（注： 此时 t ＝0）开始走时，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数解析式为 （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意可得函数的初相为 ，排除B、D，又 T ＝60且秒 针按顺时针旋转，即 T ＝ ＝60，所以｜ω｜＝ ，即ω＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 5. 在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因 素，在 t 秒内，它们引发的水面波动分别由函数 y1＝ sin t ， y2＝ sin 和 y3＝ sin （ t ＋ ）描述，如果两个振动波同时启动，则 水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开 始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（　　） A. 仍保持平静 B. 不断波动 C. 周期性保持平静 D. 周期性保持波动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为 sin t ＋ sin ＋ sin ＝ sin t ＋ sin t cos ＋ cos t sin ＋ sin t cos ＋ cos t sin ＝ sin t － sin t ＋ cos t － sin t － cos t ＝ sin t － sin t ＝0，即三个振动源同时开始工作时， 水面仍保持平静，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 6. （多选）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的 是（　　） A. 该质点的运动周期为0.8 s B. 该质点的振幅为5 cm C. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 解析：ABD　由题图可知， ＝0.7－0.3＝0.4，所以 T ＝0.8 s； 最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动 的端点，所以速度为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 7. 某人的血压满足函数式 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，其中 f （ t ）为 血压（单位：mmHg）， t 为时间（单位：min），则此人每分钟心 跳的次数为 ⁠. 解析：因为 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，所以 T ＝ ＝ ＝ ， f ＝ ＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80. 80　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 8. 一根长 l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离 开平衡位置的位移 s （cm）与时间 t （s）的函数关系式为 s ＝3 cos （ t ＋ ），其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时， 线长 l ＝ cm. 解析：由已知得 ＝1，所以 ＝2π， ＝4π2， l ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 9. 如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深 （m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深 y （m）和时刻 t （0≤ t ≤24）的关系可用函数 y ＝ A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）近似描述，则该港口在 11：00的水深为 m. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析：由题意得函数 y ＝ A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0） 的周期为 T ＝12，解得∴ω＝ ＝ ，∴ y ＝ 2 sin t ＋5，∴该港口在11：00的水深为 y ＝2 sin π＋5＝4（m）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 10. 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行 集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深 y （米）是随着一 天的时间 t （0≤ t ≤24，单位：小时）呈周期性变化，某天各时 刻 t 的水深数据的近似值如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （1）根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从① y ＝ A sin （ω t ＋φ）；② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b ；③ y ＝－ A sin ω t ＋ b （ A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模 型，并求出该拟合模型的函数解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解： 根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b 作为函数模型， ∴ A ＝ ＝ ， b ＝ ＝ ， T ＝12，∴ω＝ ＝ ， ∴ y ＝ cos ＋ ，又∵函数图象过点（3，2.4）， 即2.4＝ cos ＋ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 ∴ cos ＝1，∴ sin φ＝－1， 又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ ， ∴ y ＝ cos ＋ ＝ sin t ＋ （0≤ t ≤24）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05 米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试 问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队 员的安全？ 解： 由（1）知， y ＝ sin t ＋ ， 令 y ≥1.05，即 sin t ＋ ≥1.05， ∴ sin t ≥－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 ∴2 k π－ ≤ t ≤2 k π＋ （ k ∈Z）， ∴12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z）， 又∵5≤ t ≤18， ∴5≤ t ≤7或11≤ t ≤18， ∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训 队员的安全. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 11. 某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测， 发现每个季度的平均单价 y （每平方米的价格，单位：元）与第 x 季度之间近似满足： y ＝500 sin （ω x ＋φ）＋9 500（ω＞0），已 知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（　　） A. 10 000元 B. 9 500元 C. 9 000元 D. 8 500元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为 y ＝500 sin （ω x ＋φ）＋9 500（ω＞0），所以当 x ＝1时，500 sin （ω＋φ）＋9 500＝10 000；当 x ＝2时，500 sin （2ω＋φ）＋9 500＝9 500，所以ω可取 ，φ可取π，即 y ＝500 sin （ x ＋π）＋9 500，所以当 x ＝3时， y ＝9 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 12. （多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似 地满足函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （0＜φ＜π），则下列说法正 确的是（　　） A. 该函数的周期是16 B. 该函数图象的一条对称轴是直线 x ＝14 D. 这一天的函数关系式也适用于第二天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意以及函数的图象可知， A ＋ B ＝30，－ A ＋ B ＝10，∴ A ＝10， B ＝20.∵ ＝14－6＝8，∴ T ＝16，A正确； ∵ T ＝ ，∴ω＝ ，∴ y ＝10 sin （ x ＋φ）＋20.∵图象经过点 （14，30），∴30＝10 sin （ ×14＋φ）＋20，∴ sin ＝1，∴φ＝ ，∴ y ＝10 sin ＋20（0≤ x ≤24），B 正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个 关系式不一定适用，∴D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 13. （多选）如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心 O 距离水面的高 度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮 上点 P 从水中浮现时的起始（图中点 P0）开始计时，记 f （ t ）为 点 P 距离水面的高度关于时间 t （s）的函数，则下列结论正确的 是（　　） A. f （3）＝9 B. f （1）＝ f （7） C. 若 f （ t ）≥6，则 t ∈[2＋12 k ，5＋12 k ]（ k ∈N） D. 不论 t 为何值， f （ t ）＋ f （ t ＋4）＋ f （ t ＋8）是定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　如图，以水轮所在平面为坐标平 面，以水轮的轴心 O 为坐标原点， x 轴和 y 轴分 别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题 意得， OP 在 t （s）内所转过的弧度数为 t ，则 ∠ POx ＝ t － ，则点 P 的纵坐标为 y ＝6 sin （ t － ），所以点 P 距离水面的高度关于时间 t （s）的函数为 f （ t ）＝6 sin （ t － ）＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 f （3）＝6 sin （ － ）＋3＝3 ＋3，选项A错误；因为 f （1）＝6 sin （ － ）＋3＝3， f （7）＝6 sin （ － ）＋3＝3，所以 f （1）＝ f （7），选项B正确；由 f （ t ）≥6，得 sin （ t － ）≥ ，解得 t ∈[2＋12 k ，6＋12 k ]（ k ∈N），选项C错误；由 f （ t ）＋ f （ t ＋4）＋ f （ t ＋8）＝6 sin （ t － ）＋3＋6 sin （ t ＋ ）＋3＋6 sin （ t ＋ ）＋3，展开整理得 f （ t ）＋ f （ t ＋4）＋ f （ t ＋8）＝9为定值， 选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 14. 某地一天0～24时的气温 y （单位：℃）与时间 t （单位：h）的关 系满足函数 y ＝6 sin ＋20（ t ∈[0，24]），则这一天的 最低气温是 ℃. 解析：因为0≤ t ≤24，所以－ ≤ t － ≤ ，故当 t － ＝－ ，即 t ＝2时函数取最小值－6＋20＝14. 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 15. 已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数 y ＝10 sin ＋20， x ∈[4，16]. （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； 解： 由函数易知，当 x ＝14时函数取最大值，即最高 温度为30 ℃； 当 x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃. 所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时 间内，该细菌能生存多长时间？ 解： 令10 sin ＋20＝15，可得 sin ＝－ . 而 x ∈[4，16]，所以 x ＝ . 令10 sin ＋20＝25，可得 sin ＝ ， 而 x ∈[4，16]，所以 x ＝ . 故该细菌的存活时间为 － ＝ 小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $