精品解析：2026年宁夏回族自治区中考数学试题

宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1. 若规定向东走记作，则向西走记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图都相同 3. 关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各数中，介于和之间的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（ ） A. 130 B. 55 C. 50 D. 45 6. 校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲运动员 B. 乙运动员 C. 丙运动员 D. 丁运动员 7. 如图，的直径，是弦，．的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：__________． 10. 写出一个使在实数范围内有意义的的值__________． 11. 一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 12. 在平面直角坐标系中，点，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得点的坐标为__________． 13. 如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 14. 如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 15. 观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 16. 三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，，点和点，点和点是对应顶点． （1）求证：； （2）连接，．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）作的角平分线； （2）过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 21. 为保障居民出行安全，《宁夏回族自治区电动自行车管理规定》自2025年1月1日起施行，其第十条第二款规定：驾驶人和乘坐人应当规范佩戴安全头盔，乘坐人应当正向骑坐．学校数学兴趣小组为了解这条规定的实施情况，随机对某区域居民开展了调查． 【数据收集与整理】 “驾驶人和乘坐人应当规范佩戴安全头盔，乘坐人应当正向骑坐”实施情况调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况如实填写，谢谢您的配合！ 1．您通过什么方式了解这一规定（ ） A．各类媒体报道 B．社区宣传 C．交警劝导 D．家人告知 E．其他 2．如果选择骑电动自行车出行，您佩戴头盔是因为（ ） A．保障安全 B．遵守规定 C．从众心理 D．避免交警处罚 E．其他 根据收回的有效问卷，整理并绘制如下统计图： 【数据分析与应用】 根据上述统计图，回答下列问题： （1）本次调查收回有效问卷共________份； （2）“各类媒体报道”所占百分比为________，A所对应的圆心角是________； （3）若该区域共有10000人，估计B有________人； （4）谈谈你对规定实施情况的看法，并提出一条合理化建议． 22. 【回顾】整式乘法运算： ． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：． 【猜想】具有某种特征的二次三项式能化成两个一次因式乘积的形式，即． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． （1）根据的特征，补全下表： … … … … （2）当恒成立时，写出，与，满足的数量关系，并说明理由． （3）【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求的值． 23. 六盘山药用植物科普教育基地规划引种展示药用植物618种，目前已成功引种驯化587种．基地计划分两批次新增引种珍稀药用植物，用于补齐规划种类，同时开展濒危中药材保护繁育． （1）若第二批次新增引种数量比第一批次的2倍少5种，恰好补齐规划剩余药用植物种类．求第一批次、第二批次各计划新增引种多少种？ （2）基地准备为研学学生采购药用植物标本制作工具，每套定价30元．现有两商家给出优惠方案： 甲商家：每套九折优惠； 乙商家：一次性购买不超过60套，每套按定价支付；超过60套，超出部分每套打七折．若基地采购套工具，请说明选择哪家更划算． 24. 如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． （1）求抛物线表达式； （2）点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 26. 在矩形中，，（），点，在上，点，在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点恰好落在上同一点处，点的对应点为，点的对应点为． （1）如图1，当，时，求的值； （2）如图2，当，，时，求的值； （3）当，时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1. 若规定向东走记作，则向西走记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题干的正方向规定，利用相反意义的量的表示方法求解． 【详解】解：∵规定向东走记为正，向西与向东是相反意义的量， ∴向西走记作． 2. 如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 3. 关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得到解集；在数轴上在处画实心圆点，线条向左延伸． 【详解】解：∵， ∴． 在数轴上表示为在处取实心点，方向向左．与选项D匹配． 4. 下列各数中，介于和之间的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用平方法将无理数与整数的大小比较转化为有理数比较． 【详解】解：，，需找平方后在和之间的正数， A、， ，A不符合； ， ，B不符合； ，， ，C符合； ， ，D不符合． 5. 如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（ ） A. 130 B. 55 C. 50 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】先从量角器读出，再根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由量角器读数可得 ∵， 6. 校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲运动员 B. 乙运动员 C. 丙运动员 D. 丁运动员 【答案】A 【解析】 【详解】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 7. 如图，的直径，是弦，．的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据绝对值的定义计算即可． 【详解】解：由绝对值的定义可知，负数的绝对值是它的相反数， ， ． 10. 写出一个使在实数范围内有意义的的值__________． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须大于等于，才有意义， ∴， 解得， 在范围内取一个值，即得到符合要求的，例如． 11. 一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． 12. 在平面直角坐标系中，点，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点平移的坐标变化规律：左移横坐标减，上移纵坐标加，计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 点的坐标为， ∴向左平移个单位长度后，横坐标为，向上平移个单位长度后，纵坐标为， ∴ 所得点的坐标为． 13. 如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【解析】 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 14. 如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【解析】 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 15. 观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分别找出数的绝对值规律和符号规律，即可得到第个数的代数式． 【详解】解：观察给出的数可知，第个数的绝对值为，当为奇数时，为正数；为偶数时，为负数， ∴用代数式表示第个数为． 16. 三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 【答案】72 【解析】 【分析】过点E作于点G，则，在中，根据，设，，根据勾股定理构造方程，可求出．延长交于点H，证明四边形是矩形，得到，．根据三个相同的叶片均匀分布，得到，，从而根据“三线合一”得到，因此通过解直角三角形得到，结合可求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵在中，， ∴设，， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵三个相同的叶片均匀分布， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴叶片的长度为． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19. 如图，，点和点，点和点是对应顶点． （1）求证：； （2）连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：， ， ， ． （2）证明：， ，， ∴， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）作的角平分线； （2）过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为保障居民出行安全，《宁夏回族自治区电动自行车管理规定》自2025年1月1日起施行，其第十条第二款规定：驾驶人和乘坐人应当规范佩戴安全头盔，乘坐人应当正向骑坐．学校数学兴趣小组为了解这条规定的实施情况，随机对某区域居民开展了调查． 【数据收集与整理】 “驾驶人和乘坐人应当规范佩戴安全头盔，乘坐人应当正向骑坐”实施情况调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况如实填写，谢谢您的配合！ 1．您通过什么方式了解这一规定（ ） A．各类媒体报道 B．社区宣传 C．交警劝导 D．家人告知 E．其他 2．如果选择骑电动自行车出行，您佩戴头盔是因为（ ） A．保障安全 B．遵守规定 C．从众心理 D．避免交警处罚 E．其他 根据收回的有效问卷，整理并绘制如下统计图： 【数据分析与应用】 根据上述统计图，回答下列问题： （1）本次调查收回有效问卷共________份； （2）“各类媒体报道”所占百分比为________，A所对应的圆心角是________； （3）若该区域共有10000人，估计B有________人； （4）谈谈你对规定实施情况的看法，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）800 （2），162 （3）3820 （4）可以进社区开展电动自行车安全宣讲活动，进一步提升居民的安全出行意识．（答案合理即可） 【解析】 【分析】（1）因为条形统计图给出了各了解方式的人数，所以将所有类别的人数相加，即可得到总问卷数． （2）如果已知“各类媒体报道”的人数和总问卷数，那么用该类人数除以总问卷数再乘以，得到对应百分比．求A对应的圆心角：因为扇形统计图各部分百分比之和为1，所以先计算A所占的百分比，再用该百分比乘以，得到对应圆心角度数． （3）估计该区域B类人数：如果已知区域总人数和B类所占的百分比，那么用总人数乘以B类的百分比，得到估计的人数． （4）谈看法和提建议：结合两个统计图反映的数据特征，围绕规定实施的宣传、落实等角度阐述即可． 【小问1详解】 解：将条形统计图中所有了解方式的人数相加，得到有效问卷总数：  （份）． 【小问2详解】  解：“各类媒体报道”的百分比 对应人数总人数， 即； 扇形统计图中A（佩戴头盔原因是保障安全）的占比 ：  ， 对应圆心角 ：． 【小问3详解】 解：估计B有（人）． 【小问4详解】 略． 22. 【回顾】整式乘法运算： ． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：． 【猜想】具有某种特征的二次三项式能化成两个一次因式乘积的形式，即． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． （1）根据的特征，补全下表： … … … … （2）当恒成立时，写出，与，满足的数量关系，并说明理由． （3）【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求的值． 【答案】（1）补全表格如下： … … … … （2），．理由如下：， ，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据、的值把多项式因式分解，即可得出、的值，进而补全表格即可； （2）利用乘法公式把右边式子展开，根据对应项的系数相等，即可得出答案； （3）由分式能约分得出分母中含的因式，设，根据对应项系数相等求出、的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：当，，时， ， ∴， 当，，时， ， ∴， 补全表格略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分式能约分， ∴分母中含的因式， 设， ，， 解得，． 23. 六盘山药用植物科普教育基地规划引种展示药用植物618种，目前已成功引种驯化587种．基地计划分两批次新增引种珍稀药用植物，用于补齐规划种类，同时开展濒危中药材保护繁育． （1）若第二批次新增引种数量比第一批次的2倍少5种，恰好补齐规划剩余药用植物种类．求第一批次、第二批次各计划新增引种多少种？ （2）基地准备为研学学生采购药用植物标本制作工具，每套定价30元．现有两商家给出优惠方案： 甲商家：每套九折优惠； 乙商家：一次性购买不超过60套，每套按定价支付；超过60套，超出部分每套打七折．若基地采购套工具，请说明选择哪家更划算． 【答案】（1）第一批次计划新增引种12种，则第二批次引种19种 （2），乙商家更划算；，甲乙商家一样；，甲商家更划算 【解析】 【分析】（1）设第一批次计划新增引种种，则第二批次新增引种种，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）求出两商家所需费用，分3种情况，列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：设第一批次计划新增引种种，则第二批次新增引种种． 由题意，得． 解得． ． 答：第一批次计划新增引种12种，则第二批次引种19种； 【小问2详解】 解：由题意，甲商家：（元）； 乙商家：元． 当时，，乙商家更划算； 当时，，甲乙商家一样； 当时，，甲商家更划算． 答：，乙商家更划算；，甲乙商家一样；，甲商家更划算． 24. 如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； 【小问2详解】 略 25. 如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． （1）求抛物线表达式； （2）点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的最大值是4 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 26. 在矩形中，，（），点，在上，点，在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点恰好落在上同一点处，点的对应点为，点的对应点为． （1）如图1，当，时，求的值； （2）如图2，当，，时，求的值； （3）当，时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件得出，面积比是相似比的平方，得到相似比，利用相似比得出，的长度，折叠前后图形大小和形状不改变，利用勾股定理求出，的长度，结合图形得到的长度，即可求出的值； （2）利用第（1）问，根据已知条件求出面积比，从而得到相似比，利用相似比得出，的长度，折叠前后图形大小和形状不改变，利用勾股定理求出，的长度，结合图形得到的长度，即可求出的值； （3）根据已知条件推出，，利用三角形面积公式和已知条件得出和的关系，利用勾股定理求出，的长度，利用矩形的性质，结合图形得到的长度，从而得到的长度，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠性质得：，，，，，，，； ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ； 【小问2详解】 当时，由（1）已证， ，， ， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ，，， ，， 由折叠可知：，，，，，，，，，； ，，，， ，， ，， 设， ， ， 故， ， ， 在中，，，， ， ， ，， ， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， ， ． 【点睛】折叠前后图形的大小不变；矩形的对边相等且平行，每个角都是直角；两个三角形相似，面积比是相似比的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $