周周练03 第一章勾股定理单元综合检测（数学新教材北师大版八年级上册）

**基本信息** 聚焦勾股定理单元，融合科技（机器人表演、传感器控制灯）、文化（赵爽弦图、数学会徽）与生活（火锅杯、蚂蚁爬行）情境，梯度设计基础巩固（如直角三角形边长判断）与创新应用（如折叠面积计算、最短路径探究），适配八年级周测对知识掌握与核心素养（几何直观、推理能力、应用意识）的检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|勾股定理应用（5,12,13判断）、赵爽弦图（数学风车周长）|以“毕达哥拉斯图案”“五根木棒摆直角三角形”考概念辨析| |填空题|6/18|激光测距楼高、半圆面积关系、方位角计算|结合长方体纸盒三角形卡片放置考空间观念| |解答题|8/64|最短路径（圆柱蚂蚁爬行）、勾股数规律探究、赵爽弦图面积证明|以机器人同时到达问题考方程思想，风筝高度测量考实际应用|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章单元综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 2．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 4．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 6．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 7．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 8．图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 9．在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 12．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 13．如图，在无盖的长方体纸盒中，分别按图中方式放入同样大小的三角形卡片，已知图①、图②中刚好放下个、个这样的三角形卡片，如果，则图③中纸盒底部剩余部分的长为______． 14．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 15．如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 16．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 18．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 19．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． (1)一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； (2)一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 20．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 21．满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 22．如图所示，某市规划在一块总面积为的空地上修建一个口袋公园，公园分为活动广场和绿化区两部分，要求绿化区的面积大于总面积的． 设计方案 已知：，．    解决问题： (1)为方便市民进出，计划在绿化区中铺设一条直道，这条直道的长度为__________； (2)请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由． 23．综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章单元综合检测 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 2．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 4．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 6．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 7．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 8．图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 9．在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 12．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 13．如图，在无盖的长方体纸盒中，分别按图中方式放入同样大小的三角形卡片，已知图①、图②中刚好放下个、个这样的三角形卡片，如果，则图③中纸盒底部剩余部分的长为______． 14．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 15．如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 16．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 18．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章单元综合检测 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 【答案】D 【详解】解：A. ，能作为直角三角形三边长； B. ，能作为直角三角形三边长； C. ，能作为直角三角形三边长； D. ，不能作为直角三角形三边长． 2．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出能构成直角三角形的三组数，并确定公共边，即可解答． 【详解】解：， 长度为，24，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； ， 长度为15，20，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； 共有五根木棒， 这两个直角三角形共用长度为25的木棒，即两个直角三角形共用斜边25组成，且直角边分别为，24和15，20，符合题意的只有C． 4．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 5．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据点P到各边的距离相等，结合勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：连接， 设， ， ． 再根据直角三角形的面积，， ， ， 解得． 6．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 7．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 8．图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三角形三边关系的应用，如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心，当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时，求出此时的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心， 由题意得，， ∵， ∴当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴杯子的下底面直径为， 故选：C． 9．在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，整式的加减，先在网格中求出八边形的斜边长与面积，进而得到正方形的面积为，从而得到四个全等的五边形的面积，由正方形的面积为，可得到四个全等的五边形的面积，进而得到大正方形的面积，解题的关键是求出四个全等的五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得八边形的斜边长为，八边形的面积为， ∴ 正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∴四个全等的五边形的面积为， ∴大正方形的面积为， 故选：． 10．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 【答案】/22米 【分析】根据题意及图形可知 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 , ， 即楼高 为． 12．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．如图，在无盖的长方体纸盒中，分别按图中方式放入同样大小的三角形卡片，已知图①、图②中刚好放下个、个这样的三角形卡片，如果，则图③中纸盒底部剩余部分的长为______． 【答案】/ 【分析】根据前两个图求出三角形卡片的两个直角边的长，通过勾股定理求出斜边的长，再根据第三个图计算即可． 【详解】解：设三角形卡片的短直角边的长为a，长直角边的长为b，斜边长为c， ， 由图①可知，，则， 由图②可知，，则， ∴， 图③中纸盒底部剩余部分的长为． 14．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 15．如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 16．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 【答案】 【分析】设，则，由勾股定理列方程求解得到相关线段长度，根据时间相等列等式求解即可． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， ，解得， 使甲、乙两种型号机器车同时到达点， ， ， ． 18．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章单元综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 【答案】D 【详解】解：A. ，能作为直角三角形三边长； B. ，能作为直角三角形三边长； C. ，能作为直角三角形三边长； D. ，不能作为直角三角形三边长． 2．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出能构成直角三角形的三组数，并确定公共边，即可解答． 【详解】解：， 长度为，24，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； ， 长度为15，20，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； 共有五根木棒， 这两个直角三角形共用长度为25的木棒，即两个直角三角形共用斜边25组成，且直角边分别为，24和15，20，符合题意的只有C． 4．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 5．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据点P到各边的距离相等，结合勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：连接， 设， ， ． 再根据直角三角形的面积，， ， ， 解得． 6．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 7．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 8．图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三角形三边关系的应用，如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心，当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时，求出此时的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心， 由题意得，， ∵， ∴当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴杯子的下底面直径为， 故选：C． 9．在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，整式的加减，先在网格中求出八边形的斜边长与面积，进而得到正方形的面积为，从而得到四个全等的五边形的面积，由正方形的面积为，可得到四个全等的五边形的面积，进而得到大正方形的面积，解题的关键是求出四个全等的五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得八边形的斜边长为，八边形的面积为， ∴ 正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∴四个全等的五边形的面积为， ∴大正方形的面积为， 故选：． 10．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 【答案】/22米 【分析】根据题意及图形可知 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 , ， 即楼高 为． 12．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．如图，在无盖的长方体纸盒中，分别按图中方式放入同样大小的三角形卡片，已知图①、图②中刚好放下个、个这样的三角形卡片，如果，则图③中纸盒底部剩余部分的长为______． 【答案】/ 【分析】根据前两个图求出三角形卡片的两个直角边的长，通过勾股定理求出斜边的长，再根据第三个图计算即可． 【详解】解：设三角形卡片的短直角边的长为a，长直角边的长为b，斜边长为c， ， 由图①可知，，则， 由图②可知，，则， ∴， 图③中纸盒底部剩余部分的长为． 14．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 15．如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 16．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 【答案】 【分析】设，则，由勾股定理列方程求解得到相关线段长度，根据时间相等列等式求解即可． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， ，解得， 使甲、乙两种型号机器车同时到达点， ， ， ． 18．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 19．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． (1)一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； (2)一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 【答案】(1)米 (2)解：设身高米的人头顶为，此时水平距离米， 垂直距离：米， 在中，根据勾股定理：， 因为， 可得米， 即人到的距离超过米， 因此结论：灯不会发光． 【分析】（）通过构造矩形得到水平距离和对应高度差，再在直角三角形中利用勾股定理求出传感器到人的垂直高度，最后加上人的身高得到传感器离地面的总高度； （）先算出传感器到人的垂直高度差，再结合水平距离用勾股定理求人与传感器的直线距离，将该距离与米比较，判断灯是否发光． 【详解】（1）解：过人的头顶作于， 由题意可知四边形是矩形， ∴，，灯刚好发光时， 在中，根据勾股定理：米， 因此传感器离地面的高度：米； （2）略 20．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 21．满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【答案】(1)8，10； (2)①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【分析】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【详解】（1）解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； （2）解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 22．如图所示，某市规划在一块总面积为的空地上修建一个口袋公园，公园分为活动广场和绿化区两部分，要求绿化区的面积大于总面积的． 设计方案 已知：，．    解决问题： (1)为方便市民进出，计划在绿化区中铺设一条直道，这条直道的长度为__________； (2)请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由． 【答案】(1)15 (2)解：不符合规划要求，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴上述设计方案不符合规划要求． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算出面积，再计算出总面积的，比较即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴直道的长度为； （2）略 23．综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $