25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

25.2.4一元二次方 一阶基础巩固对点练 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与 两根之积 1.已知x1,x2是方程x2-9x+11=0的两个实数 根，则代数式x,x2的值是 A.9 B.-9 C.11 D.-11 2.方程x2+x=5x+6的两个实数根的和与积分别 是 A.-5,6 B.-4,6 C.4,-6 D.-1,6 3.如果关于x的一元二次方程x2+px+g=0的两 根分别为x1=3,x2=1,那么这个一元二次方程 是 ( A.x2+3x+4=0 B.x2+4x-3=0 C.x2+3x-4=0 D.x2-4x+3=0 4.(教材P17T7改编)利用根与系数的关系，求下 列方程的两根之和、两根之积： (1)x(3x-1)-1=0; (2)(2x+5)(x+1)=x+7. 知识点2已知一根求另一根及待定字母的 取值 5.若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方 程的另一个根是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 程的根与系数的关系 6.已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+bx= -9的一个根，求常数b的值及该方程的另一个 根 知识点3利用根与系数的关系求代数式的值 7.若一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为 x1,x2,则xx2+x1的值为 A.-6B.6 C.-5 D.5 8.若x1,x2是一元二次方程x2+4x-5=0的两个 根，则x+x+x1x2的值是 ( A.-11B.-21 C.11 D.21 9.一元二次方程x2-3x+2=0的两个根分别为 x1,x2,则下列结论错误的是 A.x1+x2=3 B.x1x2=2 C.(x1-x2)2=1 D.x1+x2=6 二阶能力提升强化练 10.若关于x的一元二次方程x2+2x+1-2m=0的 两个实数根之积为负数，则实数m的取值范 围是 1 1 A.m>0B.m>2 C.m<2 D.m<0 11.（2025南宁青秀区校级月考)a,B是方程x2+ 3x-7=0的两个根，则a2+4a+B=() A.4 B.10 C.-4 D.-10 12.甲、乙两名同学在解一道二次项系数是1的 一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到 方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系 数，得到方程的两根为-9和-1，则原来的方 程是 () A.x2+10x+9=0 B.x2-10x+9=0 C.x2+10x+16=0 D.x2-10x+16=0 13 13.已知x1,x2是关于x的一元二次方程2x2-6x+ m=0的两个实数根，若x2=2x1,则m的值为 14.已知关于x的一元二次方程x2-ax+a-2=0. (1)求证：无论a为何值，该方程总有两个不 相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为x1和x2,是 否存在实数a,使得(x,-1)(x2-1)=a2?若存 在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 14 三阶新情境·新思维 15.易错我们在探究一元二次方程根与系数的 关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q=0 的两个根是x1,x2,那么由求根公式可推出x,+ x2=-p,x1x2=q,请根据这一结论，解决下列 问题： (1)若α，B是方程x2-3x+1=0的两根，则+ B=,B= ;若2,3是方程x2+mx+ n=0的两根，则m=,n=； (2)已知a,b满足a2-5a+3=0,b2-5b+3=0, 求+的值， b a(3)x1=2,x2=-1. 参考答案·广西数学 (4)原方程无实数根. 分层作业本 7.A8.1或-3 9.(1)B(2)②等号右边没有加9 (3)解：x2+6x-4=0. 九年级上册 移项，得x2+6x=4, 配方，得x2+6x+9=4+9,即(x+3)2=13, 第二十五章 一元二次方程 .x+3=±3， 25.1一元二次方程的概念 x+3=√13或x+3=-√3， 1.D2.B .x1=-3+√13，x2=-3-√13 变式解：(1)4x2-81=0. 10.(1)3 (2)x2+10x+32的最小值为7. 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81. (2)3x2-7x+1=0. (3)代数式子+2x+5有最大值，最大值为8 二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1. 25.2.2公式法 3.A 4.原式=2032. 第1课时一元二次方程根的判别式 5.(1)x2+7x-300=0(2)x2+7x-44=0 1.C2.D3.A4.A5.64 6.B 6.(1)此方程无实数根. (2)方程有两个相等的实数根. 7.当m≠)时，关于x的方程2-mx(2x-m+1)=x是一元三 (3)方程有两个不相等的实数根 次方程： (4)此方程无实数根. 7.C8.C9.D10.k<-111.3变式112.A13.C 当m=2时，关于x的方程-mx(2x-m+1)=x不是一元 14.证明：当m=0时，方程为-2x+2=0, 二次方程. 此时方程有解，解为x=1: 25.2降次—解一元二次方程 当m≠0时，△=(-2)2-4m(2-m)=4-8m+4m2=4(m2-2m 25.2.1配方法 +1)=4(m-1)2≥0，此时方程有实数根. 第1课时直接开平方法 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根 1.D2.4(答案不唯一，只要a≥3即可) 15.(1)①③ 3.(1)y1=52,y2=-52. （2)证明：：一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方 (2)方程无实数根. 程”，.b=a+c, .b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0， (3)x1=10,x2=-10. .“和谐方程”总有实数根. 4.C5.x+6=-4 (3)解：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方 6=-4=手(2)=11=-05 4 程”，.b=a+c. “和谐方程”ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根， -2 .b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2=0,.a=c. 5 第2课时公式法 8.(1)x1=1+5,x2=1-5.(2)x1=-7,x2=- 7 1A2c35-141-43 9.m=1,方程的另一个根为-3. 2 10.△ABC的周长为10. 11.x1=3,x2=-7. 5024626 2 12.(1)532-12(2)x1=-2+25,x2=-2-25 (2)x,=7+5丽7-V53 第2课时配方法 2 ,2= 2 1c204分(2) 93 11 ￥3(3)11(4)25 (3)方程无实数根. 5 6.（1)一把常数项写错 3.14.B5.D (2)解：将方程整理，得x2-5x-1=0. 6(1)x,=2*02-10 a=1,b=-5,c=-1, 3,2= 3 .62-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0, (2)x,=1+71-7 6, 6■ 22”高=5+四529 2,x2= 2 参考答案 7.C8.A9.1或210.121.1-7 14.(1)证明：x2-ax+a-2=0, 2 .△=(-a)2-4×1×(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4>0, 12.解：根据题意，得x2-13x+12+4x2-18=0, .无论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根. 整理，得5x2-13x-6=0. (2)解：不存在.理由如下： b2-4ac=(-13)2-4×5×(-6)=289>0, (x1-1)(x2-1)=a2, 10,解得x=3,- 13±√28913±17 2 x1x2-x1-x2+1=a2,即xx2-(x1+x2)+1=d2. ..x= 2×5 5 x1+x2=a,x1x2=a-2,a-2-a+1=a2,即a2=-1, 13.解：(1)当m=0时，方程为x2+x-1=0. .不存在实数a,使得(x-1)(x2-1)=a2. 4=1-4x1x(-1)=5>0x=-1±5 15.(1)31-56 2×1 (2)解：a,b满足a2-5a+3=0,62-5b+3=0, 55 .a,b是方程x2-5x+3=0的根. 2 当a≠b时，a+b=5,ab=3, (2):方程有两个不相等的实数根，.4>0， ab_a2+b(a+b)2-2ab52-2×319 即12-4x1x(m-1)=1-4m+4=5-4m>0,.m<4 5 ab 33 当a=b时，原式=2. 14.解：D∠ACB=90°，BC=2,AC=b,4B=√/6+2 4 综上所述，？的值为9发2 .AD=/62+ a2a_√462+a2-a 小专题1配方法的应用 42 2 1.x,=1+W6,x2=1-√6. (2)用求根公式解得x,= -√/462+a2-a √462+a2-a 2.25变式±203.C4.D5.A 2 2 6.(1)21> 正确性：AD的长就是方程的正根， (2)解：M<V理由如下： 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根. 25.2.3因式分解法 M=2 1,N= 1.A2.C变式x1=0,x2=23.A4.A N-W---(g-0=1-aa+1=a 2 11 1 7 5.(1)x1=4x=-5 (2)x1=-2,x,=3. 31 1 (3)x1=-2,=2 (a-宁Ps0(a-宁+子0，即-w0, (4)x1=3,x2=9. .M<V. 6.D 7.(1)-1-5(2)1-5 变式直接开平方法配方法公式法因式分解法 (3)解：-x2-4x-8=-(x2+4x+4-4+8)=-(x+2)2-4. (x+2)2≥0，.-(x+2)2-4≤4， 7.(1)x1=6,x2=-8. .当x=-2时，-x2-4x-8有最大值，最大值为-4. 4,3m (2)x,=3+7 4 小专题2方程的拓展解法 (3)x1=4,x2=-2 1 1(1x=2=3(2)x=5=-5 (4)x1=-1,x2=1. 2.（1)x1=-1,x2=-2.(2)x1=2,x2=3. 8.A9.1710.x1=1,x2=-1.11.x7-2=-8. (3)x1=6,x2=-1.（4)x1=-2,x2=9. 12.小花坛的边长为(5+5√2)m. 25.3实际问题与一元二次方程 3.()-61(2)方程组的解为4，=一 第1课时数字、面积问题 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.B3.赛义德得到的钱数为12.4.C5.A 1.C2.C3.D 6.87.这根铁丝的总长为216cm.8.B变式C 9.若花圃的面积刚好为45m2,则此时花圃的AB段长为5m. 4.解：(1)3x2--1=0.x+,=3x=-3 10.C (2)2x2+6x-2=0.x1+x2=-3,x1x2=-1 1L.经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2. 5.B6.b=10.方程的另一个根是-9. 12.(1)它们的平方之和是25. 21 7.A8.D9.D10.B11.A12.B13.4 (2)这两个正整数分别是4和5. 参考答案