25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程的根与系数的关系同步练，新授课使用。练习通过基础达标与能力提升分层设计，以梯度化题型强化运算能力与推理意识，构建从概念应用到综合实践的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|根与系数关系直接应用（求两根和积、代数式值、待定字母）|含中考真题（如2025广西中考题），以选择、填空为主，强化概念理解与基本运算| |能力提升|跨知识综合应用（结合坐标系、几何、方程变换、新定义）|设置菱形性质应用、十字分式方程等综合题，培养推理意识与模型意识，解答题占比提升|

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.(2025广西中考)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,则x1+x2= (　　) A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.以2和-5为根的一元二次方程是 (　　) A.x2-3x+10=0 B.x2+3x+10=0 C.x2+3x-10=0 D.x2-3x-10=0 3.已知一元二次方程2x2+4x-1=0的两个根为x1,x2,则x1x2=　　　　.  利用根与系数的关系求代数式的值 4.已知x1,x2是一元二次方程x2-6x+3=0的两个实数根,则x1+x2-x1x2的值为 (　　) A.3 B.-3 C.9 D.-9 5.(2025乐山中考)若方程x2-x-2=0的两个根是x1和x2,则x2+x1的值为 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两个根,不解方程求下列各式的值: (1)+. (2)(x1-1)(x2-1). (3)+. 利用根与系数的关系求方程的根与待定字母的值 7.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为x=1,则另一个根为 (　　) A.x=-4 B.x=3 C.x=4 D.x=-3 8.若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两个根为x1,x2,且+=3,则p的值为 (　　) A.-　　　　B.　　　　C.-6　　　　D.6 忽视隐含条件而致错 9.若x1,x2是关于x的方程x2+bx-2b=0的两个根,且+=12,则b的值为 (　　) A.2 B.-6 C.2或-6 D.6或-2 1.(2025河北中考)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和为2,两根之积为-3,则关于y的方程a(y-2)2+b(y-2)+c=0 的两根之积为 (　　) A.-1　　　　 B.1 C.-5　　　　　 D.5 3.甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时,甲同学看错了常数项,得到方程的两个根是8和2,乙同学写错了一次项系数,得到方程的两个根是-9和-1,则原来的方程是 (　　) A.x2+10x+9=0 B.x2-10x+9=0 C.x2+10x+16=0 D.x2-10x+16=0 4.已知实数m,n(m≠n)满足2m2-3m-1=0,2n2-3n-1=0,则+的值为 (　　) A. B.- C. D.- 5.已知方程x2-5x-24=0的两个根为a和b,则代数式a2-4a+b的值为　　　　.  6.已知菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于点O,且AO,BO的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个根,则m的值为　　　　.  7.(2026武威期中)已知关于x的方程x2-(m+3)x+3m=0. (1)求证:不论m为何值,该方程总有实数根. (2)若等腰三角形ABC的三边长分别为2,a和b,且a,b分别为一元二次方程x2-(m+3)x+3m=0的两个根,请求出△ABC的周长. 8.(运算能力)我们已经学过(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab,如果关于x的分式方程满足x+=a+b(a,b均为非零整数,且a<b),且方程的两个根为x1=a,x2=b,那么我们称这样的方程为“十字分式方程”. 例如:x+=3可化为x+=1+2=3,∴x1=1,x2=2. 再如:x+=-5可化为x+=-3-2=-5,∴x1=-3,x2=-2. 应用上面的结论解答下列问题: (1)已知“十字分式方程”x+=-6,则x1=　　　　,x2=　　　　.  (2)“十字分式方程”x-=-1的两个根为x1=a,x2=b,求+的值. (3)关于x的“十字分式方程”x+=2n+4的两个根为x1,x2(x1<x2),求的值. 【详解答案】 基础达标 1.C　2.C　3.-　4.A　5.C 6.解:∵x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两个根,a=1,b=-3,c=-1, ∴x1+x2=-=3,x1x2==-1. (1)原式=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=11. (2)原式=x1x2-(x1+x2)+1=-1-3+1=-3. (3)原式===-11. 7.B　8.A 9.A　解析:∵x1,x2是关于x的方程x2+bx-2b=0的两个根,∴Δ=b2-4×1×(-2b)=b2+8b≥0,x1+x2=-b,x1x2=-2b.∵+=12,+=(x1+x2)2-2x1x2,∴b2+4b=12,解得b=2或b=-6.当b=2时,Δ=b2+8b=22+8×2=20>0,满足题意;当b=-6时,Δ=b2+8b=(-6)2+8×(-6)=-12<0,不满足题意,∴b=2.故选A. 能力提升 1.C　解析:由方程x(x+2)-3=0,得x2+2x-3=0,∴m=-=-2,n==-3.∵m,n都为负数,∴点(m,n)在第三象限.故选C. 2.D　解析:把方程a(y-2)2+b(y-2)+c=0看作关于y-2的一元二次方程,设该方程的两个根为y1,y2.设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则方程a(y-2)2+b(y-2)+c=0的两个根为 y1 =x1+2,y2=x2+2,∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和为2,两根之积为-3,∴x1+x2=2,x1x2=-3,∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-3+2×2+4=5.故选D. 3.B　解析:设该一元二次方程为x2+bx+c=0.∵甲同学看错了常数项,得到方程的两个根是8和2,∴-=8+2=10,∴b=-10.∵乙同学写错了一次项系数,得到方程的两个根是-9和-1,∴=(-1)×(-9)=9,∴c=9,∴该方程为x2-10x+9=0.故选B. 4.B　解析:∵实数m,n(m≠n)满足2m2-3m-1=0,2n2-3n-1=0,∴m,n是方程2x2-3x-1=0的两个根,∴m+n=,mn=-,∴+====-.故选B. 5.29　解析:∵方程x2-5x-24=0的两个根为a和b,∴a+b=5,a2-5a-24=0, ∴a2-5a=24,∴a2-4a+b=a2-5a+a+b=24+5=29. 6.-3　解析:由菱形的性质及勾股定理,得AO2+BO2=25.又由根与系数的关系,得AO+BO=-2m+1,AO·BO=m2+3.∴AO2+BO2=(AO+BO)2-2AO·BO=(-2m+1)2-2(m2+3)=25.整理,得m2-2m-15=0,解得m=-3或m=5.又∵Δ>0,∴(2m-1)2-4(m2+3)>0,解得m<-,∴m=-3. 7.解:(1)证明:∵Δ=b2-4ac=[-(m+3)]2-12m=m2-6m+9=(m-3)2≥0, ∴不论m为何值,该方程总有实数根. (2)当a,b为腰时,则Δ=0, ∴(m-3)2=0, 解得m=3, ∴a+b=m+3=6,△ABC的三边长分别为2,3,3, ∴△ABC的周长为8; 当2,a或2,b为腰时,则x=2是方程的解, ∴4-2(m+3)+3m=0, 解得m=2, ∴a+b=m+3=5,△ABC的三边长分别为2,2,3, ∴△ABC的周长为7. 综上,△ABC的周长为8或7. 8.解:(1)-4　-2 (2)∵-2×1=-2,-2+1=-1, ∴x1=-2,x2=1. ∴a=-2,b=1. ∴a+b=-2+1=-1,ab=-2×1=-2. ∴+===. (3)∵x+=2n+4, ∴x-3+=2n+1. ∴(x1-3)(x2-3)=n2+n, x1-3+x2-3=2n+1. ∵n(n+1)=n2+n,n+n+1=2n+1, 且x1<x2, ∴x1-3=n,x2-3=n+1. ∴x1=n+3,x2=n+4. ∴==1. 学科网（北京）股份有限公司 $