第4章图形与坐标全章10大综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版+压轴挑战”构建三级训练体系，聚焦图形与坐标综合问题，提炼10类核心解法，培养抽象能力与推理意识，实现从知识迁移到思维突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|坐标转化、变换规律、割补法等|从坐标基础到综合应用| |10大题型|10典例+30变式|周期探究、平移规则、面积公式等|题型与解法一一对应| |压轴挑战|15题|综合迁移应用|融合多知识点，提升思维上限|

第4章 图形与坐标压轴综合题型（10大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平面直角坐标系的循环规律探究问题 题型2、平面直角坐标系的其它规律探究问题 题型3、平面直角坐标系下的图形平移问题 题型4、平面直角坐标系中的对称问题 题型5、平面直角坐标系背景下的面积问题 题型6、平面直角坐标系背景下的角度问题 题型7、点的坐标与二元一次方程的关联问题 题型8、平面直角坐标系背景下的全等三角形问题 题型9、平面直角坐标系中的动点问题 题型10、平面直角坐标系背景下到自定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 图形与坐标综合题以平面直角坐标系为基础，把点的坐标、图形的平移、对称、旋转、面积、角度、全等、动点等问题融为一体。解题时要熟练掌握坐标与距离、中点、面积的转化；平移和对称要抓住坐标变化规律；规律探究问题要找出循环周期或递推关系；面积问题常用割补法、等积变换或坐标公式；角度问题可借助斜率或构造直角三角形；动点问题要分段讨论，用参数表示动点坐标；遇到自定义新概念，要紧扣定义，把新规则转化为熟悉的坐标运算。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平面直角坐标系的循环规律探究问题 题型模版 题型特征：点在坐标系中按一定规律循环运动，求第n次运动后的坐标。 解题方法：列出前若干项坐标，寻找循环周期；用n除以周期，根据余数确定位置。 典例1（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 变式1-1（25-26七年级下·甘肃临夏·期末）“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经验证了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算；若n为偶数，则下一步计算．重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对横坐标和纵坐标按规则运算，找出循环周期，通过总次数计算余数得到最终结果． 【详解】解：先计算横坐标（初始值为）的结果： ∵初始横坐标为，按规则运算： 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算回到， 可知结果以为一个周期，周期长度为， ∵总运算次数为，，余数为， ∴横坐标次运算的结果为； 再计算纵坐标（初始值为）的结果： ∵初始纵坐标为，按规则运算： 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 可知从第次开始，结果以为一个周期，周期长度为，前2次运算后，剩余运算次数为， ∵，余数为， ∴纵坐标次运算的结果为； 综上，最终点的坐标为． 变式1-2（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式依次求出前几个对称点的坐标，找出坐标的循环周期，再计算2026除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：设， ∵点关于点的对称点为，是的中点， ∴ ， ， 解得，，即 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴点的坐标每次循环一次， ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 变式1-3（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M从点出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知每6次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为，求出2026除以6的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…， ∴每6次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 题型2、平面直角坐标系的其它规律探究问题 题型模版 题型特征：点在坐标系中按非循环规律（如递推、平方、奇偶等）变化，求坐标或序号。 解题方法：分析横、纵坐标各自的变化规律；注意奇偶性、符号变化、递推关系；必要时分类讨论。 典例2（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，并且每组的最后一个三角形的直角顶点是落在轴上的，求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， ∵每三次旋转为一个循环组依次循环， 又∵， ∴在第2025次旋转后正好是第组的最后一个三角形，即如图③的三角形的位置， ∵， ∴直角顶点的坐标为． 变式2-1（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次画出边长为、、、…的正方形，一动点从原点出发，按“向右→向上→向右→向上…”的规律沿正方形的边运动，依次到达点、、、、…按此规律，写出点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意推出，即可求解． 【详解】解：的横坐标：，纵坐标：， 的横坐标：，纵坐标：， ， ， ． 变式2-2（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点完成第1次运动；再分别从点，出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点完成第8次运动时，从左往右数的第二个点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据所给运动方式，依次求出每次运动后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次运动后，最左侧第一个点的坐标为， …， 按此规律，第次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 由题意可得：每完成一次运动，左右两个点的横坐标相差2，纵坐标相同， 即第次运动后，从左往右数的第二个点的坐标是，即， ∵当时，，， ∴第8次运动后，从左往右数的第二个点的坐标是． 变式2-3（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点的坐标和平行于坐标轴的线段性质，依次计算绕行路径上每一段的长度，再求和得到“凸”图形一周的总周长．因为细线是按固定路径循环绕行，所以用细线总长度除以周长，得到循环的整圈数和剩余的长度．根据剩余长度，从起点开始沿绕行路径依次累加各段长度，判断剩余长度对应的点所在的线段，再结合线段的坐标特征计算该点的坐标． 【详解】轴，轴，，，，点、、在轴上， ，，， 根据各点坐标，依次计算每段边长： ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， 总周长． 细线总长为，，即绕完圈后，还需要再走个单位长度． 从出发依次计数：走单位到，走单位到，再走单位（累计单位）刚好到达点，点坐标为， 即细线的另一端所在位置的点的坐标是． 题型3、平面直角坐标系下的图形平移问题 题型模版 题型特征：在坐标系中对图形进行平移，求平移后点的坐标或图形性质。 解题方法：平移规律：左右平移横坐标变，上下平移纵坐标变；图形平移时对应点坐标变化相同。 典例3（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点．其平移过程如下：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，向上平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向左平移1个单位长度得到点．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点 ，则Q的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则按照“和点”反向运动2026次即可，即向右，向下或者向下，向右，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，可以分为两种情况： ①先向右个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以所得的余数为， 应向右平移得到点，与到达点矛盾，不成立； ②先向下个单位得到， 即横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次， ∴，， 此时坐标为， 设 当第一次向右平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向右平移得，符合题意； 当第一次向左平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向左平移个单位得，符合题意； 当第一次向上平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向右平移个单位得，不符合题意； 故答案为：或． 变式3-1如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴上，，，，将四边形上下平移，得到四边形．记点的纵坐标为时，这两个四边形重合区域内部（不含边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数为．当时，关于的取值范围，甲认为，乙认为，则下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结论是正确的 B．只有乙的结论是正确的 C．甲和乙的结论合在一起才正确 D．甲和乙的结论合在一起也不正确 【答案】C 【分析】分向上和向下平移讨论，画出图形，找出临界位置分析即可． 【详解】解：在四边形内不含边界的整数点分别记为，，，， 四边形向上平移时： 如图，当时，有四个整点，不符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，没有整点，不符合题意； 当时，； 四边形向下平移时， 如图，当时，有四个整点，不符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，没有整点，不符合题意； 当时，， 综上：当或时，． 甲和乙的结论合在一起才正确． 变式3-2（25-26七年级下·福建福州·期末）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到（）称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． 已知点和点． (1)若将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________； (2)将线段进行“型平移”后得到线段． ①若线段与轴有公共点，求的取值范围； ②以点，，为顶点的三角形面积为5，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或7 【分析】（1）直接利用“1型平移”的定义求解即可； （2）①先利用“t型平移”的定义得到，再利用线段与轴有公共点，列出关于t的不等式组求解即可；②先求出， 点O到的距离为，再根据三角形的面积为5列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点进行“1型平移”后的对应点为点， ∴点的坐标为，即； （2）解：①∵线段进行“型平移”后得到线段，点，， ∴， ∵线段与轴有公共点， ∴，解得：； ②根据题意得：， ∴，轴， ∴点O到的距离为， ∵以点，，为顶点的三角形面积为5， ∴， 解得：或7． 变式3-3（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点，对于点给出如下定义：将点P向右（时）或向左（时）平移个单位长度，再向上（时）或向下（时）平移个单位长度，得到点，再计算得到点，我们称点Q是点P的“镜衍点”． (1)，则点的镜衍点坐标是　　； (2)，点，点B的镜衍点是C，当的面积为2时，求点B的坐标； (3)，点，，点E是线段上一点，正方形的四个顶点坐标分别为，，，．若正方形边上存在点E的镜衍点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）依据镜衍点定义，先由将向右平移个单位、向下平移个单位得到，再代入算出镜衍点坐标； （2）先根据平移规则得到坐标，求出镜衍点，结合的高为点的横坐标，利用三角形面积公式列式求出m的值，进而确定B点坐标； （3）设，先由点E在线段上得到x、y的取值范围，结合题意推导出点E的镜衍点Q的坐标以及其横、纵坐标的取值区间，再分别讨论镜衍点落在正方形四条边上的四种情况，列出各情况下的不等式并求解，舍去无解情况后即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：，， 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，即， 点的镜衍点坐标为，即， 可结合上图理解； （2）解：，， 点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，即， 点的镜衍点坐标为，即， ， ， 或， 可结合上图理解； （3）解：设， ，，点E是线段上一点， ，， ，当时，点的镜衍点坐标为，此时点E不在线段上，不满足要求；当时，点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点；当时，点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，即， 点的镜衍点为，即， ，， ，， ，， ，，，， 正方形的边长为，如图， 正方形边上存在点E的镜衍点有四种情况： ①点在边上时，，， ，解得，解得， ， ，， 满足条件； ②点在边上时，，； ，解得，解得， ， ，， 满足条件； ③点在边上时，，， ，解得，解得， ， ，， 不存在满足条件的， ④点在边上时，，； ，解得，解得， ， ，， 不存在满足条件的； 综上所述，当或时满足条件． 题型4、平面直角坐标系中的对称问题 题型模版 题型特征：求点或图形关于x轴、y轴、原点、某直线对称后的坐标。 解题方法：关于x轴对称：横不变纵相反；关于y轴对称：纵不变横相反；关于原点对称：横纵均相反；关于直线对称利用垂直平分。 典例4（25-26八年级上·四川成都·期中）将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为______； （2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是____． 【答案】 / 【分析】本题考查翻折问题一次函数图象上点的坐标特征，属于中档题． （1）沿直线折叠的点，其对应点坐标为原坐标的横纵坐标互换，因此点折叠后的对应点为； （2）设，折叠后坐标为，列出P和在原矩形内部的条件：，，，，根据距离条件得，即，将代入不等式，合并得． 【详解】解：（1）点沿直线折叠后的对应点坐标为， 故答案为：①； （2）设点，沿直线折叠后的对应点坐标为， ∵在原矩形内部（不含边界）， ∴，； ∵在原矩形内部（不含边界）， ∴，； ∵到y轴的距离比到x轴的距离大1， ∴，即， 将代入上述不等式： 由得， 即； 由和得， 综合得， 故答案为：②． 变式4-1在平面直角坐标系中，有两点，，是轴上一点，若将沿折叠，当点恰好落在轴上时，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】由勾股定理得的长，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ． 变式4-2（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴． 规定：点先关于y轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，则称是点P关于y轴和直线l的二次对称点． (1)点关于y轴的对称点的坐标为________； (2)已知，，它们关于y轴和直线l的二次对称点记为，，直接写出，两点的坐标； (3)点Q是x轴正半轴上一点，点Q关于y轴和直线l的二次对称点记为，嘉嘉说：“无论点Q的横坐标为何值，线段的长度为定值．”请判断嘉嘉的说法是否正确？说明理由； (4)已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点M，N关于y轴和直线l的二次对称点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出符合条件的x的整数值． 【答案】(1) (2)， (3)嘉嘉的说法正确， 设点Q的坐标是且， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， ∴关于直线l对称的点， ∴； ∴无论点Q的横坐标为何值，线段的长度为定值．即嘉嘉的说法正确． (4)符合条件的x的整数值为：和． 【分析】（1）根据轴对称的特点解答即可； （2）根据关于y轴和直线l的二次对称点的特征解答即可； （2）设点Q的坐标是且，根据关于y轴和直线l的二次对称点的特征解答即可； （3）根据关于y轴和直线l的二次对称点的特征解答即可． 【详解】（1）解：点关于y轴的对称点的坐标为； （2）解：∵， ∴点A关于y轴对称点的坐标为， ∵直线l经过点，且平行于y轴． ∴关于直线l对称的点为， ∴关于y轴和直线l的二次对称点的坐标； ∵， ∴点B关于y轴对称点的坐标为， ∵关于直线l对称的点， ∴关于y轴和直线l的二次对称点的坐标； （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴或， ∴或． 故符合条件的x的整数值为：和． 变式4-3（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P关于直线（直线上各点的横坐标都为b）对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为a）对称得到点Q，称点Q为点P的“阳光点”． 已知点． (1)直接写出点A的“阳光点”的坐标； (2)若点是点的“阳光点”，求出的坐标； (3)若点P是正方形边上的一动点，在点P运动的过程中，请在下图中画出点P的“阳光点”Q运动的轨迹，并直接写出Q运动的轨迹所围成图形的面积； (4)若点P位于坐标系中一条长度为1的线段m上，当点P在线段m上运动时，请通过画图探究：点P的“阳光点”Q形成的轨迹的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) “阳光点”运动的轨迹如图： 面积为； (4)存在，最大值为3 【分析】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，动态的理解图形，分类对所有情况作完备的讨论是解题的关键． （1）根据“阳光点”的定义，利用轴对称点的变化求解即可； （2）设点，由“阳光点”的定义，得到“阳光点”的坐标，再构建方程组，解方程组即可； （3）根据“阳光点”的定义，得到顶点坐标，连线即可得到轨迹，利用补形法求面积即可； （4）由长度为1，不妨取在单位圆中，再根据“阳光点”的定义，作出轨迹，利用对称性可知当点P在时，“阳光点”Q形成的轨迹的长度最大． 【详解】（1）由，再根据“阳光点”的定义， 点关于对称为， 再关于对称为， 所以点A的“阳光点”的坐标为； （2）根据“阳光点”的定义， 点关于对称为， 再点关于对称后为， 又点是点的“阳光点”， ，解得， ； （3）由（1）知点A的“阳光点”的坐标为， 的“阳光点”的坐标为， 先关于对称为， 再关于对称为， 则的“阳光点”的坐标为， 先关于对称为， 再关于对称为， 则的“阳光点”的坐标为， 所以“阳光点”运动的轨迹如图， 围成图形为四边形，根据上图补形， 其面积为； （4）如图，半径为1的圆的“阳光点”的运动轨迹： 根据对称性可知，当点P在时，“阳光点”Q形成的轨迹的长度最大， 设，则， 点关于对称为， 点关于对称为， ， 所以Q形成的轨迹的长度存在最大值，最大值为3． 题型5、平面直角坐标系背景下的面积问题 题型模版 题型特征：在坐标系中计算三角形、四边形等图形的面积。 解题方法：利用割补法、等积变换、坐标公式或“铅垂高×水平宽÷2”；注意选择便于计算的底和高。 典例5（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，、，轴于点，连接、． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若点是线段上的一点，且点的横坐标为，求点的纵坐标； (3)如图3，线段以每秒2个单位的速度向右水平移动秒，、的对应点分别为、，线段与轴交于点，三角形的面积记为，三角形的面积为．若，请求出的取值范围． 【答案】(1)12 (2)2 (3) 【分析】（1）先求解点的坐标及的长，再根据计算即可得到答案； （2）过点B作轴于点E，连接，根据，得到，据此求解即可； （3）根据题意可得 根据列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：，轴于点， ，且轴， ， ∵， ； （2）解：如图所示，过点B作轴于点E，连接， ∵，轴 ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段上的一点， ∴点G的纵坐标是非负数， ∴； （3）解：由题意得： ； ∵线段与轴交于点， ∴， 解得， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 变式5-1（25-26七年级下·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作，交y轴于点N，根据平行线的性质易证，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴点，； （2）解：如图，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即， ∵分别平分，，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， 当点P在y轴上时，设点， ∵F点坐标为， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或5， ∴点P的坐标为或； 当点P在x轴上时，设点，则， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 变式5-2（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，将直角三角形和直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点，且实数满足． (1)求点的坐标． (2)如图1，点为直线上的动点，连接，设，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，点为直线上的动点，连接．请问是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据已知条件可求坐标，利用绝对值和平方的非负性可求的值，即可求坐标； （2）分类讨论在射线上或在射线上，结合已知条件利用四边形内角和或三角形外角性质求解即可； （3）延长交直线于，可求，设，若，即，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵ ∴， ∴ ∴ （2）解：若在射线上，如图， ∵， ∴， ∴ 若在线段延长线上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，为或； （3）解：延长交直线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， 即 得或， ∴或． 变式5-3（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，到原点的距离为，点属于第三象限的一点，且，满足时，回答以下问题． (1)计算：________，________． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点从点出发，在射线上运动（点不与点和点重合） ①如图2，若点在线段上运动时，过点作射线轴，且点在点的右侧，请直接写出：，，的数量关系； ②如图3，若点的速度为每秒3个单位，在点运动的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6， (2)18 (3)①；②存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，t值为或 【分析】（1）利用算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论； ②过点O作于点F，利用的面积可求出的长，分点P在线段上和的延长线上两种情况，根据点P、点Q的速度用t表示出、的长，根据列方程求出t值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴三角形的面积为； （3）解：①，理由如下：如图， ∵轴， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点O作于点F， ∵， ∴， 解得：， 当点P在线段上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，当点P在延长线上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，t值为或． 题型6、平面直角坐标系背景下的角度问题 题型模版 题型特征：利用坐标求角的大小或角度关系。 解题方法：构造直角三角形，利用三角函数；利用平行线、三角形内角和、外角定理；注意象限对角度的影响。 典例6如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点A，B的对应点，，连接，，．（三角形可用符号表示，面积用符号表示） （1）直接写出点，的坐标． （2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点在直线上运动，连接，． ①若在线段之间时（不与，重合），求的取值范围； ②若在直线上运动，请直接写出，，的数量关系． 【答案】（1），；（2）存在，或；（3）①；②当点P在线段BD上时，；当点P在BD的延长线上时，；当点P在DB的延长线上时，； 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）设点M的坐标为，再利用三角形的面积公式进行计算，即可解答； （3）①分情况讨论：当点P运动到点B时，；当点P运动到点D时，；②分情况讨论：当点P在线段BD上；当点P在BD的延长线上时；当点P在DB的延长线上时，结合平行线的性质和三角形的外角性质解答即可． 【详解】（1）根据题意结合坐标轴可得：，； （2）存在，设点M的坐标为 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或5 ∴或 （3）① ∵ ∴当点P运动到点B时，最小，的最小值； 此时：； 当点P运动到点D时，最大，的最大值； 此时：； ∴ ②当点P在线段BD上时，如图1所示： ∵， ∴且 ∴， ∵ ∴ 当点P在BD的延长线上时，如图2所示： ∵ ∴ ∵ ∴ 当点P在DB的延长线上时，如图3所示： ∵ ∴ ∵ ∴ 综上所述：当点P在线段BD上时，； 当点P在BD的延长线上时，； 当点P在DB的延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质：利用点的坐标计算相应的长和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了三角形面积公式和平行线的性质、平移的性质等，解题的关键在于能够合理的进行分类讨论，属于几何变换综合题． 变式6-1（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，连接，平分交于点． (1)点D的坐标为______，线段扫过的面积为______；（请直接作答） (2)求证：； (3)如图，交于点F，M是线段上一点，且，若N是直线上一点，且满足．若，当时，求常数t的值． 【答案】(1)，8 (2)证明：线段向右平移4个单位长度后得到线段， ， ， 平分交于点E， ， ． (3)， 【分析】（1）根据线段平移的距离和点的坐标，即可求出点坐标和的长度，再根据面积法即可求出扫过的面积． （2）根据线段平移的性质推出，根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义即可推出． （3）先利用已知条件，设参数，，求出，再利用第（2）问的结果和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质推出，结合直角三角形的性质求出，利用点在直线上分情况讨论①当点在点上方，②当点在线段上，③当点在点下方，结合和，即可求出的值． 【详解】（1）解：线段向右平移4个单位长度后得到线段，， 点横坐标为，点纵坐标不变， ，扫过形成的平行四边形的面积为． （2）略 （3）解：，， ， 设，则， 由（2）可知， ， ， ， ． ①当点在点上方时，如图所示， ，， ，， ， ， ， ． ②当点在线段上时，如图所示， ，， ，， ， ， ， ． ③当点在点下方时，如图所示， ，， ， ， 此时点不存在． ，． 变式6-2（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中，满足．将平移到，点的对应点在第三象限，延长交轴于点． (1)写出点、的坐标； (2)若三角形的面积等于13，求的值； (3)作的平分线，过点作轴交于点，在线段上确定一点，使．若在直线上存在一动点，使得，试探究的值． 【答案】(1)， (2)的值为 (3)的值为2或10 【分析】（1）根据算术平方根与偶次幂的非负性进行求解即可； （2）作轴，作于点，交轴于点．然后根据割补法进行求解即可； （3）设，则有，由题意易得，则有，然后可得，则可分情况1：若点在直线上方，情况2：若点在直线下方，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴，， ∴点、的坐标分别为，； （2）解：如图，作轴，作于点，交轴于点． ∴ ． 解得． （3）解：设． ， ． ． 轴， ． 平分， ． ． 平移至， ． ． ， ． 点在直线上， 分情况讨论： 情况1：如图，若点在直线上方， 则． ． ． 情况2：如图，若点在直线下方． 则． ． ． 综上，的值为2或10． 变式6-3（25-26七年级下·吉林松原·期末）如图①所示，在平面直角坐标系中，，其中a、b满足关系式，平移使点A与点B重合，点C的对应点为点D． (1)求A、D两点的坐标； (2)如图②，过点C作轴交y轴于点F，Q为x轴上原点O左侧的一个动点，连接平分交x轴于点M，平分交x轴于点N，当点Q运动时的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值； (3)如图③，以为邻边作长方形，且点P在第一象限，连接，点E在长方形的边上沿的路线运动，且三角形的面积为4，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)的值不变，为 (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，则可得到点A和点B的坐标，进而可得平移方式，根据平移方式可得点D的坐标； （2）根据平行线的性质得，再根据角平分线定义得，然后根据，可得，即可得出答案． （3）分四种情况：点E在上时，根据三角形面积公式计算可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平移使点A与点B重合，点C的对应点为点D， ∴平移方式为向左平移3个单位长度，向上平移4个单位长度， ∵， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）解：∵轴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值不变，为； （3）解：由（1）得， ∴， 由长方形的性质可得，； 如图所示，当点E在上时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 如图所示，当点E在上时， 则， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 如图所示，当点E在上时， 则， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 如图所示，当点E在上时， 则， 解得， ∴点的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或或或． 题型7、点的坐标与二元一次方程的关联问题 题型模版 题型特征：把点的坐标满足二元一次方程作为条件，求参数或坐标。 解题方法：将坐标代入方程；把方程的解看作坐标点；结合图象交点、整数解等进行分析。 典例7（25-26七年级下·湖北武汉·期末）阅读材料：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条直线，二元一次方程也叫直线．例如：是方程的解，则点是直线上的点；点是直线上的点，则是方程的解． 定义：对于直线（其中），若点的坐标满足，则称点为该直线的偏上点；若点的坐标满足，则称点为该直线的偏下点． (1)①若点是直线上的点，则=________； ②若点是直线和直线的交点，则=________，=________； (2)已知点是直线上的点，且，均为正整数． ①直接写出点的坐标是________； ②若点是直线的偏上点，也是直线的偏下点，求整数的值； (3)直线与轴，轴交于点，，点，与原点围成三角形．若在三角形内部（不含边界），且，均为整数，直接写出符合条件的点的个数________个． 【答案】(1)①1；②； (2)①或；②4 (3)7 【分析】（1）根据题意可得是方程的解，即可求解； ②由题意得是方程组的解，再利用加减消元法解方程组即可； （2）①由题意得是方程的正整数解，再枚举求解即可； ②分两种情况，根据题意得不等式组求解即可； （3）先求出，，根据在三角形内部（不含边界），且，均为整数，得到，再求出符合题意的正整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点是直线上的点， ∴则是方程的解， ∴， 解得； ②由题意得，是方程组的解， 由得，，解得， 将代入得，，解得， ∴； （2）解：①∵点是直线上的点，且，均为正整数， ∴是方程的正整数解， ∴ 时，，符合题意； 时，，不符合题意； 时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，为负数，不符合题意， ∴方程的正整数解为或 ∴点的坐标是或； ②∵的坐标是或，点是直线的偏上点，也是直线的偏下点， ∴当时，， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得， 则该不等式组无解； 当时， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得 ∴不等式组的解集为， ∴整数k为4； （3）解：设， 由题意得，，是直线上的点， ∴和是方程的解， ∴，解得；，解得 ∴，， ∵在三角形内部（不含边界），且，均为整数， ∴ 当时，，解得，故取1，2，3； 当时，，解得，故取1，2； 当时，，解得，故取1； 当时，，解得，故取1； 当时，，解得，无正整数解，不符合题意； 当时，均不符合题意， ∴， ∴符合条件的点有个． 变式7-1（25-26七年级下·广东惠州·期末）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有________（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点向右平移个单位，向下平移个单位后得到点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求此时点的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于、的方程组与有相同的解，求：①用含的式子表示和；②若对于任意的值，等式始终成立，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①，② 【分析】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【详解】（1）解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； （2）解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍， ∴，，， ， 解得：， ∴； ∴点A的坐标为. （3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 变式7-2（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过两点分别作轴，轴的垂线交于点． (1)求点的坐标； (2)为两动点，同时出发，从点出发以1个单位长度每秒的速度沿着向点运动，从出发，在线段上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，当到达点时，同时停止运动．设运动时间为秒，当点在线段上运动时，取何值，三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，连接，点在线段上，且满足，点在轴负轴上，连接交轴于点，记三点构成的三角形面积为，记三点构成的三角形面积为，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）由题意，点的运动路程为，点的运动路程为，进而求出，再根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （3）根据，求出、的值，进而求出的坐标，再根据，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵过两点分别作轴，轴的垂线交于点， 点的坐标为； （2）解：由（1）可知，， ∴，，， 由题意得：点在线段上运动且当到达点时同时停止运动． 可得运动时间满足：， 由题意得：点的运动路程为，点的运动路程为， ， 点的横坐标，点的横坐标， ， 又， ， 解得：或． 由题可知：或均在范围内． 综上所述，当或时，三点构成的三角形面积为1； （3）解：如图，连接， 由，解得， 此时点为， ， ， 故， ，解得：， ∴， ∵点在轴负轴上， ∴点． 变式7-3如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：B． 题型8、平面直角坐标系背景下的全等三角形问题 题型模版 题型特征：在坐标系中利用全等三角形性质求点坐标或证明关系。 解题方法：根据全等对应边、对应角相等，把几何条件转化为坐标方程；注意多种对应情况。 典例8（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 变式8-1（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为．       (1)直接写出的值及点，的坐标； (2)连接与轴交于点． ①________； ②求的长度． (3)如图，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)①4；② (3)S的值是定值，定值为， 【分析】（1）先根据点的平移规则，结合四边形面积为8的条件，求解m的值和B、C的坐标． （2）①求的面积时，可利用平行四边形与三角形的面积关系，或直接用坐标法计算面积．②求长度时，根据，与有公共的底边，高与为已知，用面积法求三角形的高即可． （3）处理动点问题时，先设运动时间为t，用含t的式子表示的长，可得， 当点在线段上时，当点在上时，分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴点的坐标为，   ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴点的坐标为； （2）解：①； ②∵， ， 即， 解得． （3）解：S的值是定值，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接， 设运动时间为秒， 由题意得，， ，， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接， 由①可得， ； 综上所述，的值是定值． 变式8-2我们在解决：如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：这个问题时，只要证明即可解决．这个图形是一个我们常见的“一线三垂直模型”，它在我们初中数学中有广泛的应用． (1)证明用到的判定定理是__________；（填入你选择的选项字母） A．    B．   C．    D． (2)应用：在平面直角坐标系中，已知两个点坐标，就可以找到第三个点，与已知两点构成等腰直角三角形．如图2，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，若是等腰直角三角形，，点D是第一象限上方一点，且，连接． ①求的度数； ②若长为4，求四边形的面积． 【答案】(1)C (2) (3)①；②8 【分析】（1）根据同角的余角相等，结合已知条件即可求解； （2）过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，垂线交两平行线分别于点，同理可得，即可利用全等三角形的性质求解； （3）①过点C作于点M，，交的延长线于点N，证明，再根据角平分线的判定求解即可；②由全等三角形的面积相等可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，垂线交两平行线分别于点 ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴ 同（1）可得 ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：①过点C作于点M，，交的延长线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ，， ， ， ，， 平分， ； ② ， ， ， 由①可知，， 和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ． 变式8-3（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 题型9、平面直角坐标系中的动点问题 题型模版 题型特征：动点在坐标系中运动，求坐标、范围、最值或存在性。 解题方法：设出动点坐标（含参数）；根据运动范围列不等式；利用几何关系或函数性质求解。 典例9（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性即可得解； （2）连接，由三角形与三角形的面积相等，可得，用割补法可求得，即，从而可得点的坐标； （3）分两种情况讨论，易得，因此，设，根据三角形的面积为8，用割补法分别列出方程即可． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ，， ； （2）解：如图，连接、作轴，轴，交于点E， 由（1）知，，， 点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点Q在第三象限时，如图构造长方形， 设运动时间为t秒， ，， ，即， ， 设， ， 解得， ， ②当点Q在第一象限时，如图构造长方形， ，即， ， 设， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或． 变式9-1（25-26七年级下·重庆忠县·期末）直角梯形放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点、同时开始移动，设移动时间为秒，当、两点中有一点停止移动时另一点也立即停止．    (1)求梯形的面积； (2)当时，求四边形的面积； (3)当线段把梯形分成了面积相等的两个部分时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由坐标和比例求出梯形上下底，套梯形面积公式计算总面积； （2）先算出时两段动点长度，将四边形面积拆分为两个三角形的面积和进行计算； （3）分、两段分类讨论，用直角梯形面积公式列方程，令面积等于总面积一半，解出时间，进而算出点坐标． 【详解】（1）解：已知四边形为直角梯形，点的坐标为， 则，， 已知，即， 解得， 故梯形的面积为． （2）解：如图，连接，      已知，，则动点沿运动需要，动点沿运动需要， 则当时，点沿运动，点沿运动， 根据题意可得，， 则，， 故四边形的面积为． （3）解：根据题意可知，动点沿运动需要，动点沿运动需要，沿运动需要， 则整个运动过程耗时为， 据（1）可知，， 当时， ，，， 可得， 当线段把梯形分成了面积相等的两个部分， 可得， 解得， ， 则点的坐标为； 当时， ，，，， 可得， 当线段把梯形分成了面积相等的两个部分， 可得， 解得， ， 则点的坐标为， 综上，当点的坐标为或时，线段把梯形分成了面积相等的两个部分． 变式9-2（25-26七年级下·吉林四平·期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且a、b满足，点在第一象限内． (1)________，________，点的坐标为________； (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积； (3)点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）． ①在点运动的过程中，当三角形的面积为一个定值时，的取值范围是________； ②在点运动的过程中，是否存在点，使，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4；6； (2)9 (3)①；②存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质：算术平方根和绝对值都是非负数，和为0则各项均为0，即可算出，的值，再根据矩形的性质求出的长即可； （2）由中点坐标分别求出、的坐标，再用割补法表示三角形的面积，即长方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）①分别计算运算过程中三角形的面积，面积等于常数则为定值；②分别计算运算过程中三角形的面积，面积等于4计算即可． 【详解】（1）∵ ，， ∴， 解得， ∴, ∴ ∵四边形 为长方形， ∴ ∴； （2）是中点， ∴； ∵是中点， ∴， ∴ ， ，，， ∴； （3）点速度为2单位/秒，一周总路程为，总时间， ∵四边形 为长方形， ∴， ① 分四段讨论： 当在上时，，即，此时共线，未形成三角形； 当在上：即， ∴，随变化，不是定值； 当在上：，即， ∴为定值； 当在上：，即， ∴，随变化，不是定值； ∴的范围为：； ②分四种情况讨论， 当在上时，，即，此时，高， ∴， ∵， ∴， 解得，满足 ∴坐标为； 当在上：即，， 总路程为，，， ∴坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，满足， ∴坐标为； 当在上：，即， ∵，总路程为， ∴，， ∴坐标为，， ∴ ， ∵， ∴， 解得，满足 ∴坐标为； 当在上：，即， 在轴上，总路程为，， ∴坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 解得，满足 ∴坐标为； 综上所述，坐标为： 、、、． 【点睛】本题主要考查二次根式和绝对值的非负性，平面直角坐标系中点的坐标，中点坐标公式，三角形面积的计算，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 变式9-3（25-26七年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，长方形的顶点坐标分别为，，，，轴，轴，边，分别与轴相交于点，，边， 分别与轴相交于点 ，．将线段沿轴向下4个单位长度得到线段，点，， 的对应点分别为，，． (1)如图1，点的坐标为_________，线段的长为_________； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿，向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点运动．设运动的时间为（单位：）．若． ①如图2，当时，求四边形的面积，并直接用含有的式子表示的大小； ②当四边形的面积为30时，直接写出的取值范围；并直接用含有的式子表示的大小； ③当四边形的面积为28时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①，；②；；③或 【分析】（1）根据平移的性质结合坐标系即可求解． （2）①先求得，的坐标，连接，进而根据四边形的面积，根据平角的定义可得，根据平行线的性质得出，得出，即可求解； ②根据已知可得，进而求得当在上时，，当在上时，取公共部分，即可求解，同样根据平行线的性质求得； ③根据当四边形的面积为得出，进而分类讨论，确定点的坐标，进而求得的值． 【详解】（1）解：∵轴且， ∴与轴交于点， ∵将线段沿轴向下4个单位长度得到线段， ∴ ∵轴且，， ∴与轴交于点 ∴； （2）①当时，点的总路程为个单位， ∴点在轴上，且，则 点的总路程为个单位， ∵， ∴在上，且 ∴, 如图，连接， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 依题意， ∴， ∴， ②四边形的面积 ∴ ∴在上，在上 ∵ ∴当在上时，，当在上时 ∴当四边形的面积为30时， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ③当四边形的面积为 ∴ 解得： ∵在的右侧，则 分段讨论，当时，当在上，，点在上，， ∴ 解得：（舍去） 当时，当在上，，点在上，， ∴ 解得： 当时，当在上，，点在上，， ∴ 当时，当在上，，点在上，， 解得： 当时，当在上，，点在上，， 解得：（舍去） 综上所述，当四边形的面积为28时，或． 题型10、平面直角坐标系背景下到自定义问题 题型模版 题型特征：在坐标系中定义新运算、新距离、新图形等，要求按定义求解。 解题方法：仔细阅读定义，把新规则转化为坐标运算；结合已有知识（距离、面积、对称）进行推理。 典例10（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为， ①在点，，中，为点的“等距点”的是_____． ②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为_____． (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①，；② (2)的值为 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②根据等距点的定义可得或，求出m的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：点到、轴的距离中最大值为， 点到、轴的距离中最大值为，点到、轴的距离中最大值为，点到、轴的距离中最大值为， 为点的“等距点”的是点E和点， 故答案为：，； 点到、轴的距离中最大值为，若点的坐标为，且，两点为“等距点” 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点不是等距点； 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点是等距点； 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点不是等距点； 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵，两点为“等距点”， 若时，则或，解得：或不满足，舍去； 若时，则或，解得：或不满足，舍去 综上所述，的值为． 变式10-1在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．    (1)已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是 ． ②在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______； (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①3；②③或． (2)的值是或 【分析】（1）①根据定义分别求得点A到x轴，y轴的距离，即可求解； ②求出点E，F，G的“长距”，找到与点A是“等距点”的点； ③根据“等距点”的定义可得点的“长距”是3，从而得到，解方程即可求解； （2）由于点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，又，为“等距点”，可分两种情况讨论：①若，则，②若，则，解之即可解答． 【详解】（1）①∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”是3． 故答案为：3 ②∵点的“长距”是3， 点的“长距”是3， 点的“长距”是5， ∴点A的“等距点”是点E，F． 故答案为：E，F ③∵点A，B两点为“等距点”，且， ∴， 解得或． 故答案为：或 （2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为1， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为4， 又，为“等距点”， ∴①若，则， 解得（舍去）或． ②若，则， 解得或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键． 变式10-2（北京市海淀区育英中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷）在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一直线上，对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q在线段上，则称点P为线段的好垂点，当垂足Q满足最小时，称点P为线段的最佳好垂点，已知点． (1)在点中，线段的好垂点为 ； (2)若点M是线段的最佳好垂点且点M到线段的距离为4，则点M的坐标是 ； (3)已知点，且点D为线段的好垂点，则d的取值范围是 ； (4)已知点，若线段上存在线段的最佳好垂点，则n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）先推导出满足，且纵坐标不为1的点都是线段的好垂点，再逐个分析判断即可； （2）先推导出，得到当，即时，取得最小值为0，求出最佳垂足为，进而根据点M是线段的最佳好垂点，且点M到线段的距离为4进行求解即可． （3）过点A作，交y轴于点，过点C作，交y轴于点，由图得到点落在线段之间（包括端点），即可解答； （4）线段，设中点为，推导出线段上存在横坐标为的点，分类讨论：①当，即时，②当，即时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点的横坐标分别为和1，纵坐标相同， ∴线段在x轴方向的范围为，且轴， 则满足，且纵坐标不为1的点都是线段的好垂点， 点：横坐标2不在内，故不是好垂点， 点：横坐标不在内，故不是好垂点， 点：横坐标在内，故是好垂点， （2）解：线段上一点， ， ∴当，即时，取得最小值为0， 故最佳垂足为， ∵点M是线段的最佳好垂点，且点M到线段的距离为4， ∴点M的横坐标为，纵坐标， 即或，且横坐标为， 则点M的坐标是或； （3）解：过点A作，交y轴于点，过点C作，交y轴于点，如图 由图可知，当点，且点D为线段的好垂点时，点落在线段之间（包括端点）， ∴； （4）解：线段，设中点为， ∵线段的最佳好垂点是指垂足为其中点N的点， ∴所有横坐标为的点都是最佳好垂点（纵坐标任意）， 即线段上存在横坐标为的点， ①当，即时，如图 线段的横坐标从到， ∴需要在与之间（包含端点）， 即， 解得， ②当，即时，如图 线段的横坐标从到， ∴需要在与之间（包含端点）， 即， 解得， 综上所述，或． 变式10-3（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于图形M，正实数t和点P，给出如下定义：若存在非负实数a，b，使得，将图形M向左或向右平移一次，平移a个单位长度，再向上或向下平移一次，平移b个单位长度，得到图形．若点P在图形上，则称点P为图形M的一个关联点．已知点，， (1)在点，，中，点A的关联点是 ； (2)若点是线段的关联点，直接写出m的取值范围； (3)对于，点，，若线段上的点都不是线段的关联点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先表示出点平移之后的坐标，根据“关联点”的定义，列出表达式代入点验证即可； （2）表示出线段上的点，再根据“关联点”的定义列式，结合点平移的最值求解即可； （3）根据线段上的点都不是线段的关联点，可知线段与线段的关联点所形成的区域没有公共点，先找到t的临界值，再求解t的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点，则点A的关联点需满足， ∵平移后的坐标为 根据题意设点， 则有，则有， ∴， ∴， 点：，不满足； 点：，不满足； 点，，满足， 故点A的关联点是； （2）解：点，，点，如图， 则有， 设线段上的点的横坐标为，则纵坐标为，其中， ∵点是线段的关联点， ∴，， ∴线段需向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度， ∴，则有， ∴， ∵，则， ∴，则， 即当点为时，右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度， m有最小值为， 当点为时，右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度， m有最大值为， 故m的取值范围为； （3）解：根据题意可知，线段的关联点满足， 则线段的关联点满足的图形为： 可得点， ∵点，， 则有，即点的横纵坐标互为相反数， 点位于第二与第四象限的角平分线上， 由，可知沿着轴向左运动， 当点位于点处时，如图， 则有，解得， ∴当时，线段上的点都不是线段的关联点； 线段继续向左运动，当点移动到线段的关联点形成的空白处的边界时， 过点作轴，如图， 则有，，为等腰直角三角形， ∴，， 则有，解得， ∵当时，点与点重合，位于原点，此时不满足题意， ∴当时，线段上的点都不是线段的关联点； 线段继续向左运动，当点移动到线段的关联点形成的空白处的边界时， 标记字母如图， 同理可得，， 则有，解得， ∴当时，线段上的点都不是线段的关联点； 综上，t的取值范围为或或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3，由，可知与具有相同的特征，据此求解作答即可． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵， ∴与的纵坐标相同，即为，横坐标为， ∴点的坐标是， 1.计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 【答案】或 【分析】首先根据已经条件确定直线轴，由此得到P的横坐标，然后设P的纵坐标，最后利用两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴直线轴， ∴P的横坐标为， 设其纵坐标为m， ∵光点P与光点C之间的距离为， ∴或6， ∴光点P的坐标为或． 3.已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 【答案】(1)h (2)①；②1 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （2）如图，在线段上取点，使得，连接，先证明，再证明，进而推出为等腰直角三角形，求得，然后求出的度数； 线段的长度不变，且，证明和，分别表示、两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，可得的坐标，进而得的长． 【详解】（1）解：∵m、n满足， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴、 ∴， ∵点是y轴正半轴上的动点， ∴的面积； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 由题意得：，，且，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，又， 为等腰直角三角形， ， ； 线段的长度不变，且，理由如下： 如图，过作轴于， ，， 在和中， ， ， ，， ， 过作轴于， 同理得：， ，， ， 设直线的解析式为：， 把、两点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ． 4.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，对点P进行如下操作： ①将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称为“倍平移点” ②点横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点，称点为点P的“倍对应点”． 例如： 点的“倍平移点”为，即；“倍对应点”为 点的“倍平移点”为，即A1；“倍对应点”为 (1)已知点，． ①点A的“倍平移点”的坐标为 ；“倍对应点”的坐标为 ； ②若点C的“倍对应点”为B，求点C的坐标； (2)若图形W上存在一点Q，且点Q的“倍对应点” 恰好也在图形W上，则称图形W为“倍对应图形”．若点 （其中b为非零整数）与（1）中的线段组成的图形记为图形 W，图形 W是“倍对应图形”，求点 D 的坐标． 【答案】(1)①；②C坐标为 (2)点D的坐标为，或 【分析】（1）①利用倍对应点的定义逆向推导，②由对应点B反向还原出点C的倍平移点，设点C坐标为，结合平移规则列出含绝对值的方程，通过判断a、b符号去掉绝对值符号，解方程求解即可； （2）若点“倍对应点”在线段上，若线段上一点 的“倍对应点”为点，分别求解即可； 【详解】（1）解：①由题意知， 点的“倍平移点”为，即； “倍对应点”为 ②∵点C的“倍对应点”为， ∴点C平移后的点， 设点C坐标为， ∴，， ∴，， ∴C坐标为． （2）解：，， 线段轴，线段上所有点横坐标均为，纵坐标满足． 情况一：点的倍对应点在线段上 根据定义，点的倍平移点横坐标为，纵坐标为； 倍对应点横坐标不变，纵坐标取相反数，因此的倍对应点坐标为． 该点在线段上，可得 ，， 解得； 化简不等式：得 为非零整数， ， ． 情况二：线段上一点的倍对应点为 先求该点的倍平移点： 横坐标：，纵坐标：， 倍对应点纵坐标取相反数，因此 ， ， 即，． 为非零整数， 或， 或． 综上，点的坐标为，或． 5.（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，． (1)求点、、的坐标； (2)如图2，点从出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点、移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点的坐标； (3)如图3，改变点的位置，当点在轴正半轴上，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于点，且点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不变， 【分析】（1）根据非负数的性质可得和的值，进而根据可得的长，即可求得点、、的坐标； （2）设运动时间为秒，得到用表示的的面积和面积，进而根据的面积是面积的倍列出方程求得的值，即可求得点的坐标； （3）作，可得，同理可得，进而根据角的平分线的性质可得的度数． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 由题意得：四边形为梯形， ， ， 故； （2）解：设运动时间为秒，，， ，， 的面积是面积的倍， ， 解得：或， 或 或； （3）解：大小不变，为． ， ， 作， ， 由题意得：， ， ， ， 同理：， 平分，平分， ，， ， ． 6.（25-26七年级下·河南周口·期末）根据要求完成下列小题； 【提示：在平面直角坐标系中，若两点，，线段的中点是，则点的坐标为】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，且满足如下等式，直接写出____________，____________． (2)将线段向右平移若干个单位，对应点依次为、，线段与轴交于点．若三角形与三角形面积相等，求点、的坐标． (3)在（2）问的条件下，动点在过点且垂直于轴的直线上左右移动，当线段长度最短时，求此时三角形的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据非负性求出的值即可； （2）设将线段向右平移个单位，则，，根据三角形的中线平分面积，得到是中点，根据中点坐标公式求出的值，即可得出结果； （3）根据垂线段最短，得到当时，的长度最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， （2）解：由（1）可知，， 设将线段向右平移个单位，则，， ∵三角形与三角形面积相等， ∴是中点， ∵点在轴上， 故其横坐标为0， ∴ 解得， ∴，； （3）解：过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 则轴， 当时，此时的长度最短， 由（2）知：，； ∴，，， ∴， ∴. 7.已知直线分别交x、y轴于、B两点，为直线上且在第二象限内的一点，且． (1)如图1，求A、C点的坐标； (2)如图2，直线经过O点，过C作于M，轴于点N，连，求式子的值； (3)如图3，过C作轴于点N，G为第一象限内一点，且，试探究、、之间的数量，关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：，理由如下： 如图所示，过N作，且，连接， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 【分析】（1）根据题意可得，即，由非负数的性质求出a、c的值即可得到答案； （2）在的延长线上截取，连接，可证明，，则可证明，得到，，进一步可证明，由勾股定理可得，据此可得答案； （3）过N作，且，连接，证明，得到；证明，由勾股定理得，，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，．， ∴； 在第二象限， ， ∴． （2）解：如图所示，在的延长线上截取，连接， ∵轴， ∴， ， 又∵， ． 由（1）得， ， 又∵， ， ，， ， ， ∴＝＝＝． （3）略 8.（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 9.（25-26七年级下·四川凉山·期末）在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 10.（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 (1)求、的坐标； (2)如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)结论①为定值，定值为1 【分析】（1）利用非负数的性质求得，，即可得到、的坐标； （2）根据题意求得点的坐标为，作于点，利用割补法求得，设点的坐标为，根据题意得到，据此求解即可； （3）利用三角形的内角和定理和外角性质求得是的平分线，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴设点的坐标为， ∵点到两坐标轴的距离之和为9， ∴，解得， ∴点的坐标为， 作于点， ∵，， ∴ ， ∵点是直线上一点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴是的平分线， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴结论①为定值，定值为1． 11.（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，点坐标为，且，满足． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点从点出发以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，设运动时间为，当三角形的面积小于三角形的面积时，求的取值范围； (3)如图3，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质求出与的值即可； （2）根据题意，，，，，则．分两类讨论，当时，，由可得；当时，，同理可得，求解并进行取舍即可； （3）设，则，，由平移的性质可得，，，从而证明，则，解得，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：由题意可知，，， ∵，轴，轴， ∴，， ∴， ①当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围为或； （3）解：如图，设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由平移的性质可得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点落在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 12.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知：，，将线段向左平移个单位长度至对应线段，其中点的对应点是点． (1)如图1，当时，线段与轴交于点，连接，． ①直接写出点，的坐标； ②求三角形的面积． (2)如图2，当直线经过点时，求的值； (3)如图3，当时，连接，，动点在四边形内，连接，，，，记三角形的面积为，三角形的面积为．是否存在的值，使，且常数的值与无关，若存在，求，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；②； (2) (3)存在；， 【分析】（1）①根据平移写出点C、D的坐标即可； ②连接，，过作于点，求出，根据，得出； （2）连接交轴于点，连接交轴于点，作于点T，根据题意得：，，，，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．求出，，根据，得出，根据的值与无关，求出，即可． 【详解】（1）解：①∵，，将线段向左平移个单位长度至对应线段，且，点的对应点是点， ∴点C的坐标为，点D的坐标为； ②连接，，过作于点， 依题意得：，， ， ∵线段平移得线段， ， ； （2）解：连接交轴于点，连接交轴于点，作于点T，如图所示： ∵线段沿轴负半轴方向平移个单位长度至线段，，， ，， 依题意得：，，，， ， ， 解得：． （3）解：过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． ∵线段沿轴负半轴方向平移个单位长度至线段，，，且， ∴此时，， ∵， ， 即， ， 即， ， ∴， 整理得：， 的值与无关， ∴， 解得：， ∴当时，， 解得：， 综上，，． 13.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）我们规定：若非负实数的算术平方根的整数部分为，则称为“阶平方界数”．如的整数部分为1，则称3为“1阶平方界数”． (1)若为“2阶平方界数”，则实数的取值范围为___________； (2)若为“5阶平方界数”，关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围，并写出取哪些整数时二元一次方程组的解为整数； (3)在平面直角坐标系中点的坐标满足下列二元一次方程组（其中），将点向下平移20个单位长度后对应点为点，已知点在第三象限且点到轴的距离为“阶平方界数”，若满足上述条件的的整数值有且仅有9个，求的值和的取值范围．（提示：） 【答案】(1) (2)的取值范围为，当时，二元一次方程组的解为整数 (3)，且 【分析】（1）根据“阶平方界数”的定义解答即可； （2）把方程组中的两个方程相加得出，结合求出．根据为“5阶平方界数”求出，再求出方程组的解集，结合二元一次方程组的解为整数判断的整数值即可； （3）根据点到轴的距离为“阶平方界数”得，结合的整数值有且仅有9个得，求出，则，把方程组中两个方程相减求出，将代入③可得，将代入③可得，进而求出，进而可求出且． 【详解】（1）解：∵为“2阶平方界数”， ∴， ∴实数的取值范围为； （2）解：， 得， ， ， 解得． 为“5阶平方界数”， ∴， ， ． 解方程组得， 时，二元一次方程组的解为整数， 的取值范围为，当时，二元一次方程组的解为整数． （3）解：∵将点向下平移20个单位长度后对应点为点 ∴点的坐标为， 点在第三象限， ， 点到轴的距离为“阶平方界数”， ， ， 由题意知为整数，故均为整数， 的整数值有且仅有9个， ， ， ， ． ， 得， ， ， ， 将代入③可得， 将代入③可得， ， ， ， 解得， 又， 且． 14.（25-26七年级下·广西柳州·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①；②；③；④． (2)设是坐标平面上的动点，且，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)解：不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， ∴，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． ∴不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 【分析】（1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案为：①②③； （2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； （3）略 15.在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点B作交y轴于点E． (1)如图1，若点C的坐标为，试求点E的坐标； (2)如图2，若点C在x轴正半轴上运动，当时，求证：； (3)若点C在x轴上运动，且不与点B点O重合，能否求出的度数，能的话直接写出其度数，不能的话请写不能即可． 【答案】(1) (2)证明：过点O作，在上截取一点G，使得，如图所示： 由（1）可知：， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴点O在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)能求出的度数，或 【分析】（1）由，，得，根据同角的余角相等得，可证明，得，则问题可求解； （2）过点O作，在上截取一点G，使得，由（1）可得，，，，则有，然后可得，则可证，进而可得，最后根据线段的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当点C在x轴的正半轴上，且时，②当点C在x轴的正半轴上，且时，③当点C在x轴的负半轴上，且，④当点C在x轴的负半轴上，且，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （2）略 （3）解：由题意可分： ①当点C在x轴的正半轴上，且时，如图，过点O作， 由（1）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点O在的角平分线上， ∴； ②当点C在x轴的正半轴上，且时，如图，过点O作， 同理可得：，点O在的角平分线上， ∴； ③当点C在x轴的负半轴上，且，如图， 同理可得； ④当点C在x轴的负半轴上，且，如图， 同理可得：， ∴． 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 图形与坐标压轴综合题型（10大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平面直角坐标系的循环规律探究问题 题型2、平面直角坐标系的其它规律探究问题 题型3、平面直角坐标系下的图形平移问题 题型4、平面直角坐标系中的对称问题 题型5、平面直角坐标系背景下的面积问题 题型6、平面直角坐标系背景下的角度问题 题型7、点的坐标与二元一次方程的关联问题 题型8、平面直角坐标系背景下的全等三角形问题 题型9、平面直角坐标系中的动点问题 题型10、平面直角坐标系背景下到自定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 图形与坐标综合题以平面直角坐标系为基础，把点的坐标、图形的平移、对称、旋转、面积、角度、全等、动点等问题融为一体。解题时要熟练掌握坐标与距离、中点、面积的转化；平移和对称要抓住坐标变化规律；规律探究问题要找出循环周期或递推关系；面积问题常用割补法、等积变换或坐标公式；角度问题可借助斜率或构造直角三角形；动点问题要分段讨论，用参数表示动点坐标；遇到自定义新概念，要紧扣定义，把新规则转化为熟悉的坐标运算。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、平面直角坐标系的循环规律探究问题 题型模版 题型特征：点在坐标系中按一定规律循环运动，求第n次运动后的坐标。 解题方法：列出前若干项坐标，寻找循环周期；用n除以周期，根据余数确定位置。 典例1（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26七年级下·甘肃临夏·期末）“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经验证了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算；若n为偶数，则下一步计算．重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 变式1-3（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M从点出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是__________． 题型2、平面直角坐标系的其它规律探究问题 题型模版 题型特征：点在坐标系中按非循环规律（如递推、平方、奇偶等）变化，求坐标或序号。 解题方法：分析横、纵坐标各自的变化规律；注意奇偶性、符号变化、递推关系；必要时分类讨论。 典例2（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式2-1（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次画出边长为、、、…的正方形，一动点从原点出发，按“向右→向上→向右→向上…”的规律沿正方形的边运动，依次到达点、、、、…按此规律，写出点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式2-2（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点完成第1次运动；再分别从点，出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点完成第8次运动时，从左往右数的第二个点的坐标是__________． 变式2-3（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型3、平面直角坐标系下的图形平移问题 题型模版 题型特征：在坐标系中对图形进行平移，求平移后点的坐标或图形性质。 解题方法：平移规律：左右平移横坐标变，上下平移纵坐标变；图形平移时对应点坐标变化相同。 典例3（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点．其平移过程如下：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，向上平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向左平移1个单位长度得到点．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点 ，则Q的坐标为_______． 变式3-1如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴上，，，，将四边形上下平移，得到四边形．记点的纵坐标为时，这两个四边形重合区域内部（不含边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数为．当时，关于的取值范围，甲认为，乙认为，则下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结论是正确的 B．只有乙的结论是正确的 C．甲和乙的结论合在一起才正确 D．甲和乙的结论合在一起也不正确 变式3-2（25-26七年级下·福建福州·期末）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到（）称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． 已知点和点． (1)若将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________； (2)将线段进行“型平移”后得到线段． ①若线段与轴有公共点，求的取值范围； ②以点，，为顶点的三角形面积为5，求的值． 变式3-3（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点，对于点给出如下定义：将点P向右（时）或向左（时）平移个单位长度，再向上（时）或向下（时）平移个单位长度，得到点，再计算得到点，我们称点Q是点P的“镜衍点”． (1)，则点的镜衍点坐标是　　； (2)，点，点B的镜衍点是C，当的面积为2时，求点B的坐标； (3)，点，，点E是线段上一点，正方形的四个顶点坐标分别为，，，．若正方形边上存在点E的镜衍点，直接写出t的取值范围． 题型4、平面直角坐标系中的对称问题 题型模版 题型特征：求点或图形关于x轴、y轴、原点、某直线对称后的坐标。 解题方法：关于x轴对称：横不变纵相反；关于y轴对称：纵不变横相反；关于原点对称：横纵均相反；关于直线对称利用垂直平分。 典例4（25-26八年级上·四川成都·期中）将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为______； （2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是____． 变式4-1在平面直角坐标系中，有两点，，是轴上一点，若将沿折叠，当点恰好落在轴上时，则点的坐标为________． 变式4-2（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴． 规定：点先关于y轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，则称是点P关于y轴和直线l的二次对称点． (1)点关于y轴的对称点的坐标为________； (2)已知，，它们关于y轴和直线l的二次对称点记为，，直接写出，两点的坐标； (3)点Q是x轴正半轴上一点，点Q关于y轴和直线l的二次对称点记为，嘉嘉说：“无论点Q的横坐标为何值，线段的长度为定值．”请判断嘉嘉的说法是否正确？说明理由； (4)已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点M，N关于y轴和直线l的二次对称点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出符合条件的x的整数值． 变式4-3（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P关于直线（直线上各点的横坐标都为b）对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为a）对称得到点Q，称点Q为点P的“阳光点”． 已知点． (1)直接写出点A的“阳光点”的坐标； (2)若点是点的“阳光点”，求出的坐标； (3)若点P是正方形边上的一动点，在点P运动的过程中，请在下图中画出点P的“阳光点”Q运动的轨迹，并直接写出Q运动的轨迹所围成图形的面积； (4)若点P位于坐标系中一条长度为1的线段m上，当点P在线段m上运动时，请通过画图探究：点P的“阳光点”Q形成的轨迹的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 题型5、平面直角坐标系背景下的面积问题 题型模版 题型特征：在坐标系中计算三角形、四边形等图形的面积。 解题方法：利用割补法、等积变换、坐标公式或“铅垂高×水平宽÷2”；注意选择便于计算的底和高。 典例5（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，、，轴于点，连接、． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若点是线段上的一点，且点的横坐标为，求点的纵坐标； (3)如图3，线段以每秒2个单位的速度向右水平移动秒，、的对应点分别为、，线段与轴交于点，三角形的面积记为，三角形的面积为．若，请求出的取值范围． 变式5-1（25-26七年级下·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-2（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，将直角三角形和直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点，且实数满足． (1)求点的坐标． (2)如图1，点为直线上的动点，连接，设，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，点为直线上的动点，连接．请问是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-3（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，到原点的距离为，点属于第三象限的一点，且，满足时，回答以下问题． (1)计算：________，________． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点从点出发，在射线上运动（点不与点和点重合） ①如图2，若点在线段上运动时，过点作射线轴，且点在点的右侧，请直接写出：，，的数量关系； ②如图3，若点的速度为每秒3个单位，在点运动的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 题型6、平面直角坐标系背景下的角度问题 题型模版 题型特征：利用坐标求角的大小或角度关系。 解题方法：构造直角三角形，利用三角函数；利用平行线、三角形内角和、外角定理；注意象限对角度的影响。 典例6如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点A，B的对应点，，连接，，．（三角形可用符号表示，面积用符号表示） （1）直接写出点，的坐标． （2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点在直线上运动，连接，． ①若在线段之间时（不与，重合），求的取值范围； ②若在直线上运动，请直接写出，，的数量关系． 变式6-1（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，连接，平分交于点． (1)点D的坐标为______，线段扫过的面积为______；（请直接作答） (2)求证：； (3)如图，交于点F，M是线段上一点，且，若N是直线上一点，且满足．若，当时，求常数t的值． 变式6-2（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中，满足．将平移到，点的对应点在第三象限，延长交轴于点． (1)写出点、的坐标； (2)若三角形的面积等于13，求的值； (3)作的平分线，过点作轴交于点，在线段上确定一点，使．若在直线上存在一动点，使得，试探究的值． 变式6-3（25-26七年级下·吉林松原·期末）如图①所示，在平面直角坐标系中，，其中a、b满足关系式，平移使点A与点B重合，点C的对应点为点D． (1)求A、D两点的坐标； (2)如图②，过点C作轴交y轴于点F，Q为x轴上原点O左侧的一个动点，连接平分交x轴于点M，平分交x轴于点N，当点Q运动时的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值； (3)如图③，以为邻边作长方形，且点P在第一象限，连接，点E在长方形的边上沿的路线运动，且三角形的面积为4，直接写出点E的坐标． 题型7、点的坐标与二元一次方程的关联问题 题型模版 题型特征：把点的坐标满足二元一次方程作为条件，求参数或坐标。 解题方法：将坐标代入方程；把方程的解看作坐标点；结合图象交点、整数解等进行分析。 典例7（25-26七年级下·湖北武汉·期末）阅读材料：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条直线，二元一次方程也叫直线．例如：是方程的解，则点是直线上的点；点是直线上的点，则是方程的解． 定义：对于直线（其中），若点的坐标满足，则称点为该直线的偏上点；若点的坐标满足，则称点为该直线的偏下点． (1)①若点是直线上的点，则=________； ②若点是直线和直线的交点，则=________，=________； (2)已知点是直线上的点，且，均为正整数． ①直接写出点的坐标是________； ②若点是直线的偏上点，也是直线的偏下点，求整数的值； (3)直线与轴，轴交于点，，点，与原点围成三角形．若在三角形内部（不含边界），且，均为整数，直接写出符合条件的点的个数________个． 变式7-1（25-26七年级下·广东惠州·期末）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有________（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点向右平移个单位，向下平移个单位后得到点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求此时点的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于、的方程组与有相同的解，求：①用含的式子表示和；②若对于任意的值，等式始终成立，求的值． 变式7-2（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过两点分别作轴，轴的垂线交于点． (1)求点的坐标； (2)为两动点，同时出发，从点出发以1个单位长度每秒的速度沿着向点运动，从出发，在线段上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，当到达点时，同时停止运动．设运动时间为秒，当点在线段上运动时，取何值，三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，连接，点在线段上，且满足，点在轴负轴上，连接交轴于点，记三点构成的三角形面积为，记三点构成的三角形面积为，若，求点的坐标． 变式7-3如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型8、平面直角坐标系背景下的全等三角形问题 题型模版 题型特征：在坐标系中利用全等三角形性质求点坐标或证明关系。 解题方法：根据全等对应边、对应角相等，把几何条件转化为坐标方程；注意多种对应情况。 典例8（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 变式8-1（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为．       (1)直接写出的值及点，的坐标； (2)连接与轴交于点． ①________； ②求的长度． (3)如图，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 变式8-2我们在解决：如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：这个问题时，只要证明即可解决．这个图形是一个我们常见的“一线三垂直模型”，它在我们初中数学中有广泛的应用． (1)证明用到的判定定理是__________；（填入你选择的选项字母） A．    B．   C．    D． (2)应用：在平面直角坐标系中，已知两个点坐标，就可以找到第三个点，与已知两点构成等腰直角三角形．如图2，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，若是等腰直角三角形，，点D是第一象限上方一点，且，连接． ①求的度数； ②若长为4，求四边形的面积． 变式8-3（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 题型9、平面直角坐标系中的动点问题 题型模版 题型特征：动点在坐标系中运动，求坐标、范围、最值或存在性。 解题方法：设出动点坐标（含参数）；根据运动范围列不等式；利用几何关系或函数性质求解。 典例9（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 变式9-1（25-26七年级下·重庆忠县·期末）直角梯形放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点、同时开始移动，设移动时间为秒，当、两点中有一点停止移动时另一点也立即停止．    (1)求梯形的面积； (2)当时，求四边形的面积； (3)当线段把梯形分成了面积相等的两个部分时，求点的坐标． 变式9-2（25-26七年级下·吉林四平·期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且a、b满足，点在第一象限内． (1)________，________，点的坐标为________； (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积； (3)点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）． ①在点运动的过程中，当三角形的面积为一个定值时，的取值范围是________； ②在点运动的过程中，是否存在点，使，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式9-3（25-26七年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，长方形的顶点坐标分别为，，，，轴，轴，边，分别与轴相交于点，，边， 分别与轴相交于点 ，．将线段沿轴向下4个单位长度得到线段，点，， 的对应点分别为，，． (1)如图1，点的坐标为_________，线段的长为_________； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿，向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点运动．设运动的时间为（单位：）．若． ①如图2，当时，求四边形的面积，并直接用含有的式子表示的大小； ②当四边形的面积为30时，直接写出的取值范围；并直接用含有的式子表示的大小； ③当四边形的面积为28时，直接写出的值． 题型10、平面直角坐标系背景下到自定义问题 题型模版 题型特征：在坐标系中定义新运算、新距离、新图形等，要求按定义求解。 解题方法：仔细阅读定义，把新规则转化为坐标运算；结合已有知识（距离、面积、对称）进行推理。 典例10（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为， ①在点，，中，为点的“等距点”的是_____． ②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为_____． (2)若，两点为“等距点”，求的值． 变式10-1在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．    (1)已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是 ． ②在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______； (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 变式10-2（北京市海淀区育英中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷）在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一直线上，对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q在线段上，则称点P为线段的好垂点，当垂足Q满足最小时，称点P为线段的最佳好垂点，已知点． (1)在点中，线段的好垂点为 ； (2)若点M是线段的最佳好垂点且点M到线段的距离为4，则点M的坐标是 ； (3)已知点，且点D为线段的好垂点，则d的取值范围是 ； (4)已知点，若线段上存在线段的最佳好垂点，则n的取值范围是 ． 变式10-3（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于图形M，正实数t和点P，给出如下定义：若存在非负实数a，b，使得，将图形M向左或向右平移一次，平移a个单位长度，再向上或向下平移一次，平移b个单位长度，得到图形．若点P在图形上，则称点P为图形M的一个关联点．已知点，， (1)在点，，中，点A的关联点是 ； (2)若点是线段的关联点，直接写出m的取值范围； (3)对于，点，，若线段上的点都不是线段的关联点，直接写出t的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2.计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 3.已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 4.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，对点P进行如下操作： ①将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称为“倍平移点” ②点横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点，称点为点P的“倍对应点”． 例如： 点的“倍平移点”为，即；“倍对应点”为 点的“倍平移点”为，即A1；“倍对应点”为 (1)已知点，． ①点A的“倍平移点”的坐标为 ；“倍对应点”的坐标为 ； ②若点C的“倍对应点”为B，求点C的坐标； (2)若图形W上存在一点Q，且点Q的“倍对应点” 恰好也在图形W上，则称图形W为“倍对应图形”．若点 （其中b为非零整数）与（1）中的线段组成的图形记为图形 W，图形 W是“倍对应图形”，求点 D 的坐标． 5.（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，． (1)求点、、的坐标； (2)如图2，点从出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点、移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点的坐标； (3)如图3，改变点的位置，当点在轴正半轴上，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于点，且点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 6.（25-26七年级下·河南周口·期末）根据要求完成下列小题； 【提示：在平面直角坐标系中，若两点，，线段的中点是，则点的坐标为】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，且满足如下等式，直接写出____________，____________． (2)将线段向右平移若干个单位，对应点依次为、，线段与轴交于点．若三角形与三角形面积相等，求点、的坐标． (3)在（2）问的条件下，动点在过点且垂直于轴的直线上左右移动，当线段长度最短时，求此时三角形的面积． 7.已知直线分别交x、y轴于、B两点，为直线上且在第二象限内的一点，且． (1)如图1，求A、C点的坐标； (2)如图2，直线经过O点，过C作于M，轴于点N，连，求式子的值； (3)如图3，过C作轴于点N，G为第一象限内一点，且，试探究、、之间的数量，关系并说明理由． 8.（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 9.（25-26七年级下·四川凉山·期末）在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 10.（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 (1)求、的坐标； (2)如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 11.（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，点坐标为，且，满足． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点从点出发以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，设运动时间为，当三角形的面积小于三角形的面积时，求的取值范围； (3)如图3，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 12.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知：，，将线段向左平移个单位长度至对应线段，其中点的对应点是点． (1)如图1，当时，线段与轴交于点，连接，． ①直接写出点，的坐标； ②求三角形的面积． (2)如图2，当直线经过点时，求的值； (3)如图3，当时，连接，，动点在四边形内，连接，，，，记三角形的面积为，三角形的面积为．是否存在的值，使，且常数的值与无关，若存在，求，的值；若不存在，请说明理由． 13.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）我们规定：若非负实数的算术平方根的整数部分为，则称为“阶平方界数”．如的整数部分为1，则称3为“1阶平方界数”． (1)若为“2阶平方界数”，则实数的取值范围为___________； (2)若为“5阶平方界数”，关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围，并写出取哪些整数时二元一次方程组的解为整数； (3)在平面直角坐标系中点的坐标满足下列二元一次方程组（其中），将点向下平移20个单位长度后对应点为点，已知点在第三象限且点到轴的距离为“阶平方界数”，若满足上述条件的的整数值有且仅有9个，求的值和的取值范围．（提示：） 14.（25-26七年级下·广西柳州·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①；②；③；④． (2)设是坐标平面上的动点，且，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 15.在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点B作交y轴于点E． (1)如图1，若点C的坐标为，试求点E的坐标； (2)如图2，若点C在x轴正半轴上运动，当时，求证：； (3)若点C在x轴上运动，且不与点B点O重合，能否求出的度数，能的话直接写出其度数，不能的话请写不能即可． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $