第1章三角形全章8大综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统整合三角形内角计算、全等判定及一线三等角等8大模型，通过题型模版提炼可迁移方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|全等判定/辅助线构造/模型识别|从性质到判定，构建“条件-模型-转化”逻辑链| |题型归纳（8大题型）|8类题型，每类含典例+3变式|内角计算方程法/垂直平分线等腰构造/分类讨论顶点对应法|基础性质→全等应用→模型迁移，形成递进式知识网络| |压轴挑战|1典例+14变式|综合模型融合/动态问题分类|整合多模块知识，训练复杂情境下的抽象与推理能力|

第1章 三角形压轴题综合题型（8大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角计算的综合问题 题型2、线段垂直平分线与角平分线性质的考查 题型3、全等三角形的综合问题 题型4、全等三角形的分类讨论问题 题型5、添加辅助线证明三角形全等 题型6、一线三等角模型的应用 题型7、倍长中线模型 题型8、旋转模型的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形压轴综合题常涉及内角计算、垂直平分线与角平分线、全等三角形及其分类讨论、辅助线添加、一线三等角、倍长中线、旋转等经典模型。解题关键在于熟练掌握全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），灵活添加辅助线构造全等，善于识别模型；遇动点、存在性、最值问题要分类讨论，把几何条件转化为代数方程或不等式；角度计算要充分利用三角形内角和、外角、对顶角、平行线性质。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角计算的综合问题 题型模版 题型特征：综合利用三角形内角和、外角、角平分线、平行线等知识求角度。 解题方法：标出已知角；利用内角和、外角定理、对顶角、平行线性质逐步推导；必要时设未知数列方程。 典例1（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，，点E、P在直线上（P在E的右侧），点G在直线上，，垂足为F，M为线段上的一动点，连接，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线之间的区域．有下列结论：①； ②； ③若，则； ④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义以及角的和差，逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②如图所示， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故④错误； 综上，正确的选项有①②③，共3个． 变式1-1（25-26七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； (3) 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）画出图形，结合三角形的内角和定理及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：略； （3）解：，理由如下： 如图3， 在中，， ， ， ， ， ， ． 变式1-2（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，在直角三角形中，，过点分别作直线，． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若，平分，求证：． (3)如图3，点是射线上的一个点，且，若点是线段延长线上的动点，点是射线上的动点（不与点重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）推导过程可得：， ∵，， ∴，解得：． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (3)或． 【分析】（1）由平行线的性质可得，再把相关条件代入化简即可； （2）由（1）推导过程可得：，再代入相关条件可得，易得，利用角平分线的定义可得，易得，最后根据内错角相等两直线平行即可证明结论； （3）设，则，，，然后分点N在M的右侧和左侧两种情况，分别利用三角形外角的性质、平行线的性质用y表示出三个角，再寻找关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：． （2）略； （3）解：∵， ∴，， 设，则，，， ①如图：当点N在M的左侧时，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∵， ∴，即； ②如图：当点N在M的右侧时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∵， ∴，即； 综上，与的数量关系为或． 变式1-3（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图1，G，H分别是直线、上两点，点P是直线、外一点，连结交于点E（点G在点E左侧），． (1)求证：； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）证明，根据“同位角相等，两直线平行”可得； （2）根据三角形外角的性质和平行线的性质可得； （3）过Q点作，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，，结合平行线的性质和三角形外角的性质可得，解得． 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义以及三角形外角的性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过Q点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， 解得． 题型2、线段垂直平分线与角平分线性质的考查 题型模版 题型特征：利用垂直平分线和角平分线的性质进行线段或角度计算与证明。 解题方法：垂直平分线得等腰；角平分线结合距离相等；注意角平分线+平行线构造等腰三角形模型。 典例2（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线，交于点E，，F是垂足．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点．连接，过点E作于点G，交于点H，交于点O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点G，交于点H，交于点O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-1（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：于点D， ； (2) 证明：垂直平分， ， 于点D， ， ； (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求解即可 （2）先根据线段的垂直平分线的性质，得到，根据等边对等角得到，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质证得即可． （3）设，则，根据三角形外角的性质及直角三角形的两个锐角互余列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则， ， ． ， ． 在中，有，即， 解得． ， 所以的度数为． 变式2-2（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形；理由： ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (3)是； 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出； （2）先证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出即可； （3）作于点H，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：作于点H，如图所示： 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 变式2-3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； (2)； (3) 证明：如下图所示，过点作， ， ， 由可知，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知； 过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】（1） 略 （2）解：如下图所示，过点作， 由可知， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3） 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 题型3、全等三角形的综合问题 题型模版 题型特征：综合运用全等三角形的判定与性质进行线段或角度证明、计算。 解题方法：寻找或构造全等条件；注意公共边、公共角、对顶角；证明全等后转化对应边、对应角。 典例3（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由得；结合证，得；由全等得点B到和的距离相等，利用角平分线判定定理证明平分；由 ，，而 ，故 ，故 ，；利用对顶角性质证 ． 【详解】解：， ， 在 和 中， ， ，，， 故①③正确． 由 且，得点 到 和 的距离相等， ∴ 点 在 的平分线上，即 平分 ， 故④正确； 是 的外角， ， 是 的外角， ， 而 ， ， ，， 故②⑤错误； ， 故⑥正确； 综上，正确的结论有①③④⑥，共4个． 故选：C． 变式3-1（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，(点A，P，Q呈逆时针排列)，当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，如图，过点作轴于，过点作轴于，利用全等三角形的性质证明是定值，点在直线上运动，原点到直线的距离为，作点关于直线是对称点，连接，，.根据，求出即可． 【详解】如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ∵ 轴， ， ， ∵， ， ∴点在直线上运动，原点到直线的距离为， 作点关于直线是对称点，连接，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 变式3-2（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：， ． 在中，， ， ， ． (2) 【分析】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据直角三角形的性质可得出，根据垂直的定义得出，结合余角的性质即可得证； （2）过点B作交的延长线于点G．根据证明，得出，，根据证明，得出，然后结合三角形定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点B作交的延长线于点G． ，， ． 由（1）知， 又， ， 则，． 是边上的中线， ． 由于，， ， 又，则． 在和中， ，，， ， ． 在中，， ， ． 又，， ． 变式3-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，，D是上一点，． (1)如图一，在线段上有一点E，使得，则______°； (2)如图二，在线段上有一点F，且，，，． ①求； ②求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角的性质， （1）设，求出，，根据求出结论即可； （2）①在上截取，连接，证明得出，求出，，证明，根据求出结论；②证明从而得出，根据求出结论即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）解：①在上截取，连接， 设， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ，，， ， ． 题型4、全等三角形的分类讨论问题 题型模版 题型特征：在全等三角形存在性问题中，因对应关系不确定而需分类讨论。 解题方法：按不同对应顶点分类；列出所有可能的全等对应关系；分别验证是否成立。 典例4（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． (1)若P，Q两点同时到达A点，则x的值为_____________； (2)若与全等，则x的值为_____________． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）先求出点P从点C出发到达点A时所用的时间为秒，再根据点Q运动的路程即可得出点Q的速度； （2）依题意得,则再根据，则有以下两种情况：①且时，，由得,解得，再由得,由此可得x的值；②当且时，，由得,解得 ，再由得,由此可得x的值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：点P从点C出发到达点A时所用的时间为：（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ， ， 点Q运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得： , ， ∴当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由得：解得：， 由，得：, ， , 解得：； ②当且时，， 由，得：, 解得： ， 由，得：, ， ， 解得： ； 综上所述：当与全等，x的值为或 ． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是解决问题的易错点． 变式4-1（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为_________________． 【答案】1s或3.5s或12s 【分析】本题考查了三角形全等的判定以及全等三角形性质的应用，熟练掌握三角形全等判定定理是解决本题的关键 根据题意,随着点点的运动，分四种情况进行讨论：在上，在上，在上，在上，当、都在上时，当到点停止，在上时，然后根据情况计算即可． 【详解】分为四种情况，如图，在上，在上， ，， ， ， ，， ， 则≌， ， 即， ； 如图，在上，在上， 由知， ， ， ， 此种情况不符合题意； 当、都在上时，如图， ， ， 当到点停止，在上时，， 时， 解得； 的速度是每秒，的速度是每秒； 和都在上的情况不存在． 故答案为:或或． 变式4-2（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高，是边上的高， ， ∴、， ∴， 在和中， ， ． (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、线段的和差等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质以及分类讨论的思想是解题的关键． （1）由、可得，通过即可证明结论； （2）分如图2和如图3两种情况，分别进行求解即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：存在， 如图2，当时， ∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴，解得：； 如图3，当时， ∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴，解得：． 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 变式4-3（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由． (2)若点P，Q同时出发，但运动速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的运动速度从C点出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多少时间点P与点Q第二次在三角形的哪边上相遇？ 【答案】(1) 解：全等，理由如下： ，点的运动速度与点的运动速度相等， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； (2) (3)经过64秒点P与点Q在上第二次相遇 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案； （3）设经过秒后点与点第二次相遇，由题意列出方程，解方程可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：点的运动速度与点的运动速度不相等， 与不是对应边， 即， ，且， 则，， 点，点运动的时间， ； （3）解：设经过秒后点与点第二次相遇， 由题意，得， 解得， 即经过64秒点P与点Q第二次相遇， 点运动距离为， ， 点与点在上第二次相遇． 答：经过64秒点P与点Q在上第二次相遇． 题型5、添加辅助线证明三角形全等 题型模版 题型特征：通过添加适当的辅助线，构造全等三角形完成证明。 解题方法：常见辅助线：连接两点、延长线段、作平行线、作垂线、倍长中线；根据结论倒推需要的全等条件。 典例5（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，与交于点的面积为72，求的长． 【答案】 （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）①；②；（3） 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、算术平方根，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 变式5-1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 【答案】（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ∵， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证； （2）连接，过点作于点，证明，和，得出，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，过点作于点， ∵， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∴． 变式5-2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）请阅读下面的材料． (1)问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． (2)变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． (3)拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； (3)13 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，再根据全等三角形的性质和等角对等边求解即可； （2）在上截取，连接，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）在上截取，连接，证明，是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：在上截取，连接，如图， ∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 变式5-3（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若： ①求证：； ②求的值．（请直接写出结果） 【答案】(1)60° (2) 证明：在上截取，连接， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) ①证明：如图，延长到点，使得，连接，连接，交于点， ， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，沿翻折交于点，， ， ， 是等腰三角形，，是等边三角形， ， ， ②3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）①延长到点，使得，连接，连接，交于点，根据等边三角形的判定和性质得到，，证明，得到，，则，根据翻折的性质得到，，证明是等腰三角形，，是等边三角形，进而得到，即可证明； ②证明，得到，则，即可求出的值． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ； （2）略 （3）①略 ②解：， ， 在与中， ， ， ． 题型6、一线三等角模型的应用 题型模版 题型特征：利用同一直线上的三个相等角构造相似或全等三角形。 解题方法：识别“一线三等角”结构；通过角度关系证明三角形相似或全等；利用对应边比例或相等关系求解。 典例6（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）问题提出 如图1，在等腰中，，在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系． (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的大小； (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）在上截取，使，连接，先证明，再得到是等边三角形，即可求解； （2）在上截取，使，连接，先证明，然后得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图，在上截取，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 变式6-1（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：6 变式6-2（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，与相交于点，交延长线于点，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作于点，利用角的等量代换证出为等腰三角形，得到，再判定出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 变式6-3（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点在直线上．过点作于点，过点作于点．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，．求点坐标． (3)类比探究： 如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标，点坐标为，过点作轴的垂线，点是直线上一个动点，点是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点与点的坐标． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴； (2)点的坐标为 (3)，或， 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据坐标轴上点的特点建立方程即可求出点A、B的坐标，过点C作轴于点D，证明，从而求得、，即可求得点D的坐标； （3）同（2）的方法构造出，分两种情况，建立方程求解即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得：将代入，得， ∴点B的坐标为， 将代入，得， 解得， ∴点A的坐标为， ∴，， 如图2，过点C作轴于点D， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：如图3，过点D作轴于点F，延长交于G，则， ∵点D在直线上， ∴设点， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵点A坐标为， ∴， ∵是以点为直角顶点为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或， 当时，，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点D与点P的坐标为，或，． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用、全等三角形的判定和性质和方程的思想，构造全等三角形是解题的关键． 题型7、倍长中线模型 题型模版 题型特征：遇到中线时，将其延长一倍构造全等三角形或平行四边形。 解题方法：延长中线至倍长，连接端点构造全等（SAS）；把分散条件集中到一个三角形中。 典例7（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 变式7-1（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式7-2（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，，， ∵是的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 变式7-3（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，延长至点M，使得，连接， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据定理证明即可； （2）延长至点Q，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系得，即可得到结论； （3）延长至点M，使得，连接，先证明，根据全等三角形的性质得，，再由得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，是的中线，，，设，延长至点Q，使，连接， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴x的取值范围是； 故答案为：； （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型8、旋转模型的应用 题型模版 题型特征：通过旋转图形构造全等或等腰三角形，实现线段或角度转化。 解题方法：找旋转中心、旋转角；利用旋转前后对应边相等、对应角相等；常与等腰直角、等边三角形结合。 典例8（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，三角形面积公式，直角三角形性质，找规律，三角形面积等，属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点，先证明≌，再证明≌，即可证得，进而可得，同理可得，，，，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点， ， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， ． 故答案为：． 变式8-1（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 变式8-2（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴①，②，． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． 即③ 由①②③得． ∴； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线性质定理即可求解； （2）过点C作于M，于N，证明即可； （3）过点C作于M，于N，证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：当，（2）中结论仍然成立， 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴①，②， ∵， ∴． ∴． ∴． 即③ 由①②③得． ∴． 变式8-3（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 【答案】21 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点．如答图，作关于AE的对称图形，连接，证明出，得到，，，然后得到． 【详解】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则， ，， 所以． 由题意，得， 所以． 在和中， 所以， 所以，，， 所以，即是直角三角形， 所以， 所以， 即与的面积之和为21． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 典例9（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，结合平行线、角平分线得，再联立条件得，对选项逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 已知平分，设，则： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在中，将代入、，得， ， 解得， 已知，代入，得， ， 解得， 由，逐一验证选项： A．，变化，不符合题意； B．，变化，不符合题意； C．，变化，不符合题意； D．，恒为，值不变，符合题意． 变式9-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 【答案】A 【分析】①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误．②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形．③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误．④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 变式9-2（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∵沿折叠B和E重合， ∴，，， ∴垂直平分，即B和E关于直线对称，，， ∵， 由， ∴， ∵， ∴， ∴当P和D重合时，的值最小，即此时的周长最小， 最小值是， ∴的周长的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置． 变式9-3（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，即：； 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 变式9-4（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①根据角平分线，可知，，根据外角，可知，，推出，即可得到结论；②过作于，于，于，根据角平分线的性质，证明，和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过作于，于，于，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ，而不一定等于， ∴不一定等于，故②错误； ③，平分， 垂直平分，故③正确； ④， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误． 综上分析可知，①③正确， 故选：B． 变式9-5（25-26七年级下·河南周口·期中）在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 【答案】 或 【分析】首先利用角平分线性质推导的度数，确定为直角三角形，进而可得，的度数，然后根据三角形内角和定理表示出，确定的取值范围，然后根据“倍角三角形”的定义，分情况讨论直角与锐角、锐角与锐角之间的倍数关系，最后结合图形几何性质确定的取值范围，筛选出符合题意的解． 【详解】平分，平分， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， 直线平分， ， 点在射线上， ， 在中，， ， ， 为“倍角三角形”，且， 分以下情况讨论： 当直角是锐角的倍时， 若， ，解得，此时，符合题意； 若， 则， 解得， ，此时，不符合题意，舍去； 当一个锐角是另一个锐角的倍时， 若， ， ， 解得， 此时，符合题意； 若， 则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或． 变式9-6（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止．设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，．当与全等时，则的值是_____． 【答案】2，或6 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当在上，在上时，如图，过点，，分别作于点，于点，于点， ， ， ∵于点，点，． ， ， ， ， ，解得； 当在上，在上时，即、重合时，则， 由题意得，， 解得； 当在上，在上时，即、重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，的值为2，或6； 故答案为2，或6． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图—基本作图，根据题意得出关于的方程是解题的关键． 变式9-7（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【答案】（）； （）（）中的数量关系仍然成立，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （），或， 【分析】（）由余角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）利用三角形外角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，余角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）略 （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点， 当点在点上方时，， ∴， 此时，点也位于点上方，， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 此时，点也位于点下方，， ∴； 综上，，或，． 变式9-8（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 【答案】 （1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 变式9-9（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 变式9-10（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 变式9-11（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上． (1)请猜想的度数，并说明理由． (2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）． ①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值． ②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 过点F作，如图 ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①t的值为或30或60；②t的值为20，30，50 【分析】（1）过点F作，先推导出，求出，再根据平行线的判定与性质进行求解即可； （2）①由题意，得到，分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，得 ， 第一种情况：当时，如图 ∴， 即， 解得； 第二种情况：当时，如图 此时点在直线上， ∴， 解得， 第三种情况：当时，如图 ∵， ∴，即此时点在直线上， ∴， 即 解得， 综上所述，当与的其中一边平行时，t的值为或30或60； ②第一种情况：当时，如图，延长交直线于点I，令与直线的交点为H， 由题意，得 ， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 第二种情况：当时，如图，延长交直线于点K， 同理可得， ∵， ∵，， ∴， ∴， 解得； 第三种情况：当时，如图，延长交直线于点L， 同理可得，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20，30，50． 变式9-12（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 变式9-13（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点． (1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数； (2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值． 【答案】(1)60° (2) 证明：如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， 由（1）可知，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． (3)2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图中，设交于．证明，推出，可得结论． （2）如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，．证明，推出，，，再证明，推出，可得结论． （3）过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于．首先证明，，再证明，由此构建关系式，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图中，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）解：过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， 全等三角形对应边上的高相等， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证，， ， ， 同法可证， ∵3， ， ， ， ∴2． 变式9-14（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； (2) 证明：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形压轴题综合题型（8大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角计算的综合问题 题型2、线段垂直平分线与角平分线性质的考查 题型3、全等三角形的综合问题 题型4、全等三角形的分类讨论问题 题型5、添加辅助线证明三角形全等 题型6、一线三等角模型的应用 题型7、倍长中线模型 题型8、旋转模型的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形压轴综合题常涉及内角计算、垂直平分线与角平分线、全等三角形及其分类讨论、辅助线添加、一线三等角、倍长中线、旋转等经典模型。解题关键在于熟练掌握全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），灵活添加辅助线构造全等，善于识别模型；遇动点、存在性、最值问题要分类讨论，把几何条件转化为代数方程或不等式；角度计算要充分利用三角形内角和、外角、对顶角、平行线性质。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角计算的综合问题 题型模版 题型特征：综合利用三角形内角和、外角、角平分线、平行线等知识求角度。 解题方法：标出已知角；利用内角和、外角定理、对顶角、平行线性质逐步推导；必要时设未知数列方程。 典例1（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，，点E、P在直线上（P在E的右侧），点G在直线上，，垂足为F，M为线段上的一动点，连接，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线之间的区域．有下列结论：①； ②； ③若，则； ④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1（25-26七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 变式1-2（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，在直角三角形中，，过点分别作直线，． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若，平分，求证：． (3)如图3，点是射线上的一个点，且，若点是线段延长线上的动点，点是射线上的动点（不与点重合），请直接写出与的数量关系． 变式1-3（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图1，G，H分别是直线、上两点，点P是直线、外一点，连结交于点E（点G在点E左侧），． (1)求证：； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数． 题型2、线段垂直平分线与角平分线性质的考查 题型模版 题型特征：利用垂直平分线和角平分线的性质进行线段或角度计算与证明。 解题方法：垂直平分线得等腰；角平分线结合距离相等；注意角平分线+平行线构造等腰三角形模型。 典例2（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线，交于点E，，F是垂足．若，，则______． 变式2-1（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的度数． 变式2-2（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 变式2-3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 题型3、全等三角形的综合问题 题型模版 题型特征：综合运用全等三角形的判定与性质进行线段或角度证明、计算。 解题方法：寻找或构造全等条件；注意公共边、公共角、对顶角；证明全等后转化对应边、对应角。 典例3（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3-1（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，(点A，P，Q呈逆时针排列)，当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为___________． 变式3-2（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 变式3-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，，D是上一点，． (1)如图一，在线段上有一点E，使得，则______°； (2)如图二，在线段上有一点F，且，，，． ①求； ②求的长． 题型4、全等三角形的分类讨论问题 题型模版 题型特征：在全等三角形存在性问题中，因对应关系不确定而需分类讨论。 解题方法：按不同对应顶点分类；列出所有可能的全等对应关系；分别验证是否成立。 典例4（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． (1)若P，Q两点同时到达A点，则x的值为_____________； (2)若与全等，则x的值为_____________． 变式4-1（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为_________________． 变式4-2（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 变式4-3（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由． (2)若点P，Q同时出发，但运动速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的运动速度从C点出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多少时间点P与点Q第二次在三角形的哪边上相遇？ 题型5、添加辅助线证明三角形全等 题型模版 题型特征：通过添加适当的辅助线，构造全等三角形完成证明。 解题方法：常见辅助线：连接两点、延长线段、作平行线、作垂线、倍长中线；根据结论倒推需要的全等条件。 典例5（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，与交于点的面积为72，求的长． 变式5-1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 变式5-2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）请阅读下面的材料． (1)问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． (2)变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． (3)拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 变式5-3（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若： ①求证：； ②求的值．（请直接写出结果） 题型6、一线三等角模型的应用 题型模版 题型特征：利用同一直线上的三个相等角构造相似或全等三角形。 解题方法：识别“一线三等角”结构；通过角度关系证明三角形相似或全等；利用对应边比例或相等关系求解。 典例6（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）问题提出 如图1，在等腰中，，在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系． (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的大小； (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 变式6-1（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 变式6-2（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，与相交于点，交延长线于点，，，则的长为________． 变式6-3（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点在直线上．过点作于点，过点作于点．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，．求点坐标． (3)类比探究： 如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标，点坐标为，过点作轴的垂线，点是直线上一个动点，点是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点与点的坐标． 题型7、倍长中线模型 题型模版 题型特征：遇到中线时，将其延长一倍构造全等三角形或平行四边形。 解题方法：延长中线至倍长，连接端点构造全等（SAS）；把分散条件集中到一个三角形中。 典例7（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 变式7-1（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 变式7-2（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为_____． 变式7-3（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 题型8、旋转模型的应用 题型模版 题型特征：通过旋转图形构造全等或等腰三角形，实现线段或角度转化。 解题方法：找旋转中心、旋转角；利用旋转前后对应边相等、对应角相等；常与等腰直角、等边三角形结合。 典例8（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是________． 变式8-1（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 变式8-2（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 变式8-3（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 典例9（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 变式9-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 变式9-2（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 变式9-3（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的序号是______． 变式9-4（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 变式9-5（25-26七年级下·河南周口·期中）在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 变式9-6（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止．设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，．当与全等时，则的值是_____． 变式9-7（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 变式9-8（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 变式9-9（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式9-10（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 变式9-11（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上． (1)请猜想的度数，并说明理由． (2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）． ①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值． ②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值． 变式9-12（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 变式9-13（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点． (1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数； (2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值． 变式9-14（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $