精品解析：2026年山东省潍坊市寿光市田马镇第一中学中考数学三考前模拟试题

九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在，，，0这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A. 72 B. 68 C. 65 D. 60 6. 将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 12. 如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为_____． 13. 不等式的非负整数解有_____个． 14. 如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 15. 如图，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为___________ 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 18. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 19. 某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是______分； （2）乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图； （3）在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由． 20. 已知为直角三角形且，点是边上一点． （1）如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，． ①求的半径； ②求线段的长； （2）若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明． 21. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 22. 如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． （1）求抛物线表达式； （2）当时，求当面积最大值时点的坐标； （3）定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 23. 综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 （1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在，，，0这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于零，负数小于零，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴四个数中，最小的实数是． 故选：B． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据完全平方公式展开：，错误； B、根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减：，错误； C、根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂指数相加：，正确； D、根据幂的乘方法则计算：，错误． 5. 有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A. 72 B. 68 C. 65 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 6. 将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质等知识，利用平行线的性质以及三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：黄色区域圆心角：， ∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：， 故选：C． 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 9. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为， ∴线段向左平移4个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B 10. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 12. 如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，即可求出线段的长度． 【详解】解：∵点、表示的数分别为、， ∴线段的长为． 13. 不等式的非负整数解有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集内的所有非负整数，统计个数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 满足条件的非负整数为 0，1，2， 因此非负整数解共有个． 14. 如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 【答案】55 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴． 15. 如图，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数）， 且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2），． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，解一元二次方程，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、绝对值、乘方和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先对括号内通分，再将除法化为乘法约分化简，再利用因式分解法求出的值，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 或， ，， ， ， ， 原式． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为．一次函数的解析式为 （2）存在，交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键． （1）将点A代入反比例函数，求出解析式，然后求出点坐标，在代入直解析式中计算得出答案即可； （2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得； 反比例函数的解析式为． 在反比例函数中， 当时，， 点的坐标为． 把A，两点的坐标代入，得 解得． 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 一次函数的图象向下平移1个单位长度后与的图象仍有一个交点，理由如下： 将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线解析式为， 令，整理得， 解得． 把代入，得． 交点坐标为． 18. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 （2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 19. 某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是______分； （2）乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图； （3）在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由． 【答案】（1）240 （2）见解析 （3）甲，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及运用加权平均数作决策．（1）先算场景演示的占比，再用场景演示得分除以占比，得到甲的三项总分；（2）用乙的总分减去已知两项得分，算出专业笔试分数，补全条形图；（3）先算出甲的各项得分，再按的权重分别计算两人的最终得分，比较后择优分配即可． 【小问1详解】 解：∵扇形统计图中，专业笔试和综合素质各占， ∴场景演示的占比为：， 已知场景演示得分为分，设总分为，则： ， 解得： (分)； 答：甲的三项总得分是分； 【小问2详解】 解：∵乙的三项总得分也为240分，其中场景演示78分、综合素质80分， ∴乙的专业笔试得分为： (分) ； 【小问3详解】 解：甲的各项得分： 甲的场景演示：84分（占比) ， 甲的专业笔试： 分， 甲的综合素质：分， 按的比例计算最终得分，甲的最终得分为： (分)； 乙的各项得分： 乙的场景演示78分， 乙的专业笔试82分， 乙的综合素质80分， 按的比例计算最终得分，乙的最终得分为： (分)； 因为，所以甲的最终得分更高，甲将被分配到产品推广团队． 20. 已知为直角三角形且，点是边上一点． （1）如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，． ①求的半径； ②求线段的长； （2）若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明． 【答案】（1）①；② （2）解：如图，作的角平分线与交于点，则即为所求； 证明：如图，过作于点， 平分，， ， 为半径， 为圆的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）利用切线性质构造直角三角形，再结合建立关于半径的方程求解；利用以及，求出从而求出的长； （2）通过作的角平分线确定的圆心以及半径，进而作出并证明． 【小问1详解】 解：①连接， 设半径为，则，， 与直线相切于点， ， ， ； ②由①得， ， 在中，， 设，， 则， ， ∴． 【小问2详解】 略 21. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 22. 如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． （1）求抛物线表达式； （2）当时，求当面积最大值时点的坐标； （3）定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点为且过原点，设顶点式，将代入，解得，故抛物线表达式为； （2）由直线得，证得，结合根与系数的关系求得，得到直线解析式；再用割补法表示的面积，转化为二次函数求最值，得； （3）设中点，用中点公式表示，代入直线得“伴生曲线U”：；根据直线过点得，联立后令判别式，解得． 【小问1详解】 解：∵为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将原点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时， 解得， ， 过A，C分别作轴的垂线，垂足为M，N，如图， ∴， ， ， ， 设， ∴， ∴，即， 联立， ∴ ， ，， 将代入中， 得 解得， 将和代入中， 得 解得或， 由图可得，， 又∵， ， ∴ ， 直线的解析式为． 由题意得，设， 过作轴交于点，连接，如图， ∴， ∴ ， 由图可得， ， ∵为定值， ∴当时，最大，此时面积最大， ∴， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：设， 由（2）知， 为中点， ， ∴， 点在直线上， ∴将代入得， ， 伴生曲线U为， ∵直线过， ∴ 解得， ∴， 联立直线与伴生曲线得， ， ∵直线与伴生曲线有且只有一个交点， ∴， 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是将几何关系转化为代数方程：用顶点式求抛物线解析式，通过相似与韦达定理确定直线方程，利用二次函数性质求面积最值，再结合轨迹思想与判别式法解决“伴生曲线”的交点问题，体现了数形结合与转化思想． 23. 综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 （1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ， 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）把绕点A逆时针旋转至，使与重合，根据正方形的性质及各角之间的关系得出点E、D、G共线，然后利用全等三角形的判定和性质得出，，再结合勾股定理求解即可； （3）过D作，且，连接并延长交于K，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图： ∴， ， ， ∴， ， ， ， ∴点E、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，边长为3的正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即； 【小问3详解】 解：如图，过D作，且，连接并延长交于K， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $