专题3.2 勾股定理的逆定理（6题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的逆定理及勾股数核心知识点，前承勾股定理（直角三角形边的性质），通过“实验—猜想—论证”探究过程掌握逆定理（边判定直角三角形），明确勾股数“正整数+勾股定理”双条件，构建“数”到“形”的转化学习支架。 该资料以“探究式学习”与“分层训练”为特色，通过实验猜想发展推理能力（数学思维），网格问题、木工框架等实例培养几何直观（数学眼光），典例变式与实际应用题助力用数学语言解决问题，课中辅助突破构造法证明等难点，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

专题3.2 勾股定理的逆定理 教学目标 1. 经历“实验—猜想—论证”的探究过程，掌握勾股定理的逆定理，理解其与勾股定理的联系与区别，发展推理能力。 2. 能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，并能解决一些简单的实际问题。 3. 了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，体会“数”与“形”的内在联系。 教学重难点 教学重点 1. 勾股定理逆定理的探索与证明，理解“若三角形三边满足a²+b²=c²，则为直角三角形”这一判定方法。 2. 运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，并掌握勾股数的概念与应用。 教学难点 1. 勾股定理逆定理的证明思路（构造法），以及正确区分勾股定理与逆定理的条件与结论。 2. 灵活应用逆定理解决综合问题，并理解勾股数的由来与规律。 知识点01 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【即学即练1-1】（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 【即学即练1-2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 知识点02 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【即学即练2-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，下列条件中，不能判定它们能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形三边关系，利用勾股定理的逆定理及三角形三边关系逐项判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵ 三角形任意两边之和必须大于第三边，， ∴不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形，更不能判断为直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴设，， ， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 故选：． 【即学即练2-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【答案】等腰直角 【分析】根据已知三边长，先判断边的相等关系，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 【即学即练2-3】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 题型01 勾股树（数）的判定 【典例1】（25-26八年级下·云南红河·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中，且三个数均为正整数，符合题意； 选项C中，，，不满足勾股定理，不符合题意； 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，两个条件缺一不可，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数， 选项A中三个数都是小数，选项B中三个数都是无理数，都不是正整数，因此A、B错误； 对选项C，∵ ，，可得，因此C错误； 对选项D，∵ ，且6、8、10都是正整数，满足勾股数的定义，∴D正确． 【变式3】（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，三个数为，，，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项C，三个数都是正整数，，，，满足勾股数定义，符合题意； 选项D，，，不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意． 题型02 判断三边能否构成直角三角形 【典例2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【答案】B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·云南红河·期末）以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，求解即可． 【详解】解：A．最长边为，，，得，符合要求； B．最长边为，，，，故，不符合要求； C． 最长边为6，，，，故，不符合要求； D． 最长边为，，，，故，不符合要求． 【变式2】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断直角三角形，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：选项A，最长边， ，，， 不能构成直角三角形，A错误； 选项B，最长边， ，，， 不能构成直角三角形，B错误； 选项C，最长边， ，，， 不能构成直角三角形，C错误； 选项D，最长边， ，，， 能构成直角三角形，D正确． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，根据相关定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A. ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； B. 设，，，其中， ，， ，不能判定是直角三角形，符合题意； C. ， ， 又， ，即，是直角三角形，不符合题意； D. 设，，， 由三角形内角和得，解得， ，是直角三角形，不符合题意． 题型03 在网格中判断直角三角形 【典例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 题型04 利用勾股定理的逆定理求解 【典例4】（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【典例5】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，． (1)求长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是利用大的直角三角形的面积减去小的直角三角形的面积来求解； （1）直接利用勾股定理来求解即可； （2）利用大的直角三角形的面积减去小的直角三角形的面积． 【详解】（1）解：中， 根据勾股定理可得， ∴， 即的长为； （2）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即图中阴影部分的面积为． 【变式1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． (1)求证：． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：在中，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理得到，再运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由此即可求解； （2）根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），可得，， ∴ ． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期末）洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)25m (2) 解：．理由： 在中，， ， ． 又， ， ． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， （1）根据勾股定理解答； （2）根据勾股定理逆定理说明，再结合四边形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得； （2）略 【变式3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 题型06 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例6】（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 一、单选题 1.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，，不是正整数，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，且，，均为正整数，故是勾股数； D、，，不是正整数，故不是勾股数． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③． 【详解】解：∵ ∴最大的，故①不符合题意； ∵， ∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴，则该是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴，则该是直角三角形，故④符合题意； 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】可证明，则由勾股定理逆定理即可求解的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当时，则 ， ； (2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示） (3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【答案】(1)60,61 (2)， (3) 解：不是一组勾股数，理由如下： 由（2）得，，， 依题意，令，则， ， ， ∴19，188，189不是一组勾股数． 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答． （2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答． （3）由（2）得，，，令，则， ，，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60,61． （2）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 故， （3）略 10．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 11．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)17.5 (2) 解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积为： ； （2）略 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 是直角三角形， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形； (2)24 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可得出结论； （2）根据图中阴影部分的面积=三角形的面积−三角形的面积，进行列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 ． 一、单选题 1.（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）下列各组数中，是一组勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需同时满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项的三个数都是小数，B选项的三个数都是分数，D选项包含无理数，都不满足正整数的要求，因此都不是勾股数； 对选项C，∵，且，，都是正整数， ∴，，是勾股数，符合要求． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段检测）下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理依次计算并判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴，得， ∴是直角三角形； ②设 ∴，得， ∴， ∴是直角三角形； ③∵， ∴，， ∴是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形； ⑤设，则， ∴，得， ∴ ∴是直角三角形； 其中能确定是直角三角形的有①②③⑤共4个， 故选：C． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 5．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 二、填空题 6．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 8．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，即得，进而得到是直角三角形，且，再根据绿地的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块绿地的面积， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为____________．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． (2)14 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形从而证明结果； （2）设为x，再表示的长，利用勾股定理构造方程求出的长度，进一步解出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 12．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下： 在中，，由勾股定理得： ， ， 在中，，         是直角三角形，且； (2) 【分析】（1）先由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形； （2）分别求出和的面积，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，     ，         图中种花（阴影）部分的面积． 13．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】(1) (2)符合图纸上的安装要求 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点与的顶点，，均在格点（网格线的交点）上． (1)画出绕点顺时针旋转后的； (2)将按射线方向平移个单位长度，在图中画出，并求出平移过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：∵将按射线方向平移个单位长度， ∴将向下平移个单位得到，再向右平移个单位得到， 如图，即为所求，线段扫过的面积为． 【分析】先根据旋转的性质得到点，再顺次连接即可解答； 由将按射线方向平移个单位长度，则将向下平移个单位得到，再向右平移个单位得到，再由勾股定理逆定理得，然后通过平行四边形面积公式即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：图略， 由网格可知，， ∴， ∴， 由平移性质可得平移距离， ∴线段扫过的面积为． 15．（25-26八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，； （2）直角三角形，证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）略 （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2勾股定理的逆定理 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01勾股数 2.知识清单 知识点02勾股定理逆定理 题型01勾股树（数）的判定 勾股定理的 题型02判断三边能否构成直角三角形 逆定理 题型03在网格中判断直角三角形 3.题型精讲 题型04利用勾股定理的逆定理求解 题型05勾股定理逆定理的实际应用 题型06勾股定理逆定理的拓展问题 基础白测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.经历“实验一猜想一论证”的探究过程，掌握勾股定理的逆定理，理解其与勾股定 理的联系与区别，发展推理能力。 教学目标 2.能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，并能解决一些简单的 实际问题。 3.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，体会“数”与“形”的内在联系。 教学重点 1.勾股定理逆定理的探索与证明，理解“若三角形三边满足a2+b2=c2,则为直角三 角形”这一判定方法。 教学重难点 2.运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，并掌握勾股数的概念与应用。 教学难点 1.勾股定理逆定理的证明思路（构造法），以及正确区分勾股定理与逆定理的条件与 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论。 2.灵活应用逆定理解决综合问题，并理解勾股数的由来与规律。 知识清单 知识点01勾股数 像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数 【即学即练1-1】(25-26八年级下·重庆秀山期末)在下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,6,8 【即学即练1-2】(25-26八年级上：广东茂名·期中)在下列各组数中，不是勾股数的一组数是() A.1,1,2 B.3,4,5 C.7,24,25D.5,12,13 知识点02勾股定理逆定理 1定义：如果三角形的三条边长ab,c,满足+b°=c,那么这个三角形是直角三角形 注意：(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形 (2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形， 2如何判定一个三角形是否是直角三角形 (1)首先确定最大边（如C)· (2)验证C2与a+b是否具有相等关系.若C2=+b°，则△4BC是∠C=90°的直角三角形：若 c2≠+b°，则△ABC不是直角三角形 注意：当a+b<C2时，此三角形为钝角三角形；当+b>C时，此三角形为锐角三角形，其中c为 三角形的最大边 【即学即练2-1】(25-26八年级上·江苏南京阶段检测)已知三条线段的长分别为a,b，C,下列条件 中，不能判定它们能构成直角三角形的是() A.a+b=c B.a:b:c=3:4:5 C.a=1,b=2,c=V5 D.a=1,b=2,c=3 【即学即练2-2】(25-26八年级下陕西汉中·期中)木工用三根木条围框架，长度分别为V2、V2、2, 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这个框架是 三角形 【即学即练2-3】(25-26八年级上湖南怀化期末)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=24, AB=26,点D是Rt△ABC外一点，连接DC,DB,且CD=8,BD=6. (1)求BC的长： (2)求四边形ABDC的面积. 题型精讲 题型01勾股树（数）的判定 【典例1】(25-26八年级下·云南红河·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代 著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.6、8、10 B.√2、5、√7 C.7、8、9 D.2.5、0.7、2.4 【变式1】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国 古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.2,3,4B.4,5,6 C.2,2,4 D.9,12,15 【变式2】(25-26八年级下·内蒙古通辽·期末)下列各组数为勾股数的是() A.0.5,1.2,1.3 B.√2,5,5 C.8,24,25 D.6,8,10 【变式3】(25-26八年级下广东汕头期末)下列各组数中，属于勾股数的是() A.32,42,52B.8,24,25 C.6,8,10 D.0.3,0.4,0.5 题型02判断三边能否构成直角三角形 【典例2】(25-26八年级下·甘肃陇南·期中)下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是() 3/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3,4,6 B.6,8,10 C.5,12,15 D.7,23,24 【变式1】(25-26八年级下·云南红河·期末)以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是( A.1,V2,V3 B.1,V2,2 C.4,5,6 D.2,2,3 【变式2】(25-26八年级下·北京朝阳期末)由线段a,b,c组成的三角形中，是直角三角形的是() 1 1 A.a=4,b=5’c=6 C.a=0.2,b=0.3,c=0.4 D.a=2,b=3,c=V13 【变式3】(25-26七年级下山东济南期末)若△ABC的三边分别是a,b,C,则下列条件不能判断 △ABC是直角三角形的是() A.a2+b2=c2 B.a:b:c=2:3:4 C.∠A=∠B-∠C D.∠A:∠B:∠C=1:2:3 题型03在网格中判断直角三角形 【典例3】(24-25八年级上山西太原·阶段检测)在如图的网格中，以AB为一边画Rt△ABC,则满足条 件的格点C共有() B A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【变式1】(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC的 形状是() B A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【变式2】(25-26八年级上山西忻州阶段检测)如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是() B D 4 A,△ABC B.△BCD C.△ADC D.△ABD 【变式3】(25-26八年级上江西鹰潭阶段检测)如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中， 有三条线段a,b,C(线段端点都在格点上)，以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： (填“能”或“不能”)， a b 题型04利用勾股定理的逆定理求解 【典例4】(25-26八年级下·吉林期末)如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,则△ABC的面 积为 【变式1】(25-26八年级下·内蒙古通辽期中)如图，点E在边长为13的正方形ABCD内，AE=5, BE=12,求出图中阴影部分的面积是 E B 【变式2】(25-26八年级下山东济宁·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13,BC=12, AD=4,BD=3,则阴影部分图形的面积为 5/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式3】(25-26八年级上·全国·单元测试)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD,AB=10, AC=17,BD=6,AD=8 A (I)求∠ADB的度数： (2)求CD的长. 题型05勾股定理逆定理的实际应用 【典例5】(24-25八年级下·广东东莞·期中)如图，王师傅在铁片△ABC中剪切下△ABD,且∠ADB=90° AD=9cm,BD=12cm」 9D B (1)求AB长： (2)若BC=20cm,AC=25cm,求图中阴影部分的面积. 【变式1】(24-25八年级上河南新乡·期末)某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进 行了精心设计.如图，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，AB⊥BC,中间是花卉种植区域，为减少 拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC,经测量AB=9,BC=12,CD=8,AD=17. D B (I)求证：AC⊥CD (2)求四边形ABCD的面积. 【变式2】(24-25八年级上河南周口·期末)洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园 6/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形ABCD所示.已知 AB=20m,BC=15m,AD=24m,CD=7m,∠ADC=90°. (1)求对角线AC的长. (2)猜想∠DAB与∠BCD的数量关系，并说明理由. 【变式3】(25-26八年级下·广东广州期末)如图是某公园的局部平面图，四边形ABCD为草坪，已知 AB=16米，AD=15米，CD=25米，BC=12米，∠B=90°. B A正门 C桃花园 ()为了让市民去点C看桃花更方便，公园管理处决定从正门点A处修一条笔直小路通往点C处，求小路 AC的长度； (2)求四边形草坪ABCD的面积. 题型06勾股定理逆定理的拓展问题 【典例6】(25-26八年级下·福建厦门期中)定义：如图，点M,N(点M在N的左侧)把线段AB分割 成AM,MW,B.若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股 分割. A M N B (I)已知M、N把线段AB分割成AM,MN,BN,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2.0,则点M、N是线段 AB的勾股分割点吗？请说明理由： (②)已知点MN是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30,AM=5,求BN的长. 【变式1】(25-26八年级上全国单元测试)已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、 c,满足a2+b2+c2+338-10a+24b+26c (1)试判断△ABC的形状 (2)求AB边上的高. 7/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上江苏泰州期中)已知：a=n2+1,b=2n,c=n2-1」 (1)当n=299时，a+b的值等于 一（结果用科学记数法表示） (2)当n=4时，以a,b,c的值为三边长的三角形面积是一·（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数.小明发现：当取大于1的 整数时，α，b,c为勾股数.你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由. 【变式3】(25-26八年级上江苏徐州期中)在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=C,设c为最长边，当 a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形：当d2+b2≠c2时，利用代数式d2+b和c2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）· (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为」 三角形：当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC 为： 三角形： (2)猜想：当a2+b2 _c2时，△ABC为锐角三角形：当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形； (填“>”或“<”或“=”) (3)判断：当a=5,b=12时， 当△ABC为直角三角形时，则C的取值为 当△ABC为锐角三角形时，则C的取值范围 当△ABC为钝角三角形时，则C的取值范围 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26八年级下·陕西榆林期末)下列各组数为勾股数的是() A.0.6,0.8,1B.9,10,11 C.7,24,25 D.5,2,3 2.(25-26八年级上河南郑州期中)如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A,B,C构 成一个三角形，则这个三角形是() B 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 3.(25-26八年级下·全国·课后作业)小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是8m,6m, 10m,则该花坛的面积是() A.120m2 B.72m2 c.60m2 D.24m2 4.(24-25八年级上山西晋中·期中)已知△ABC的∠A,∠B和∠C的对边分别是a,b和c,那么下列四 个条件中能独立推出△ABC是直角三角形的有()个 ①∠4：∠B:∠C=3:4:5:②a:b:c=2:2:4:③(a+ba-b)=c2;④∠C=∠B-∠4. A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 5.(25-26八年级下·甘肃临夏·期中)若7,24，x是一组勾股数，则x的值为. 6.(25-26八年级下广东广州期中)在△ABC中，AB=V5,BC=2,AC=1,则∠ACB的度数为 7.(24-25八年级上浙江宁波期中)在如图所示的4×4方格图中，点A,B,C,D,E,F,G,H均在 小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成一个直角三角形. H G B 8 (25-26八年级上浙江杭州阶段检测)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5,BC=7, CD=1,四边形ABCD的面积为 B 5 三、解答题 9.(25-26八年级上四川达州阶段检测)观察下列勾股数：3,4,5：5,12,13；7,24,25：9 ,40,41;…,a,b,c根据你发现的规律，请写出 (1)当a=11时，则b=-,c=-: (2)当a=2n+1时，求b,c的值；（用字母n表示） 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)用(2)的结论判断19,188,189是否为一组勾股数，并说明理由. 10.(25-26八年级下·河北雄安期中)如图，在三角形支架中，AD1BC,AB=2m,AC=1.5m,DC=0.9m (I)求BD的长： (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 11.(23-24八年级下·广东珠海期中)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边 长都为1. (1)求四边形ABCD的面积： (2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由. 12.(25-26八年级上·江苏盐城期中)如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分 作为草坪，已知∠ABC=90°，AB=5,AC=13.根据规划要求AE=4,BE=3. B (I)试判断△4EB的形状，并说明理由： (2)计算图中阴影部分的面积. 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下新疆吐鲁番·期末)下列各组数中，是一组勾股数的是() A.0.3’0.4’0.5 B5方 C.6,8,10 D.1,2,5 10/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(23-24八年级上河南郑州期中)如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个 三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是() B 3. (24-25八年级上山西大同阶段检测)下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=5:3:2:③ ∠4：90-∠B:用∠4=2ZB=32C:⊙2A-B-C.共中能确定AM1BC足直角三角形的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，公园里有一块草坪，已知AB=3米，BC=4米， CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC,这块草坪的面积是() D A.24平方米B.36平方米 C.48平方米 D.72平方米 5.(25-26八年级下广西百色期中)如图，四边形ABCD中，AB=17,BC=8,CD=12,AD=9, ∠D=90°.则∠ACB=() D B A.70° B.80° C.90° D.100° 二、填空题 6.(25-26八年级下·重庆九龙坡阶段检测)如图，正方形ABCD的边AB,CD向外作Rt△ABE, RtACDF,∠AEB=∠DCF=90°，以AE,EB,CF,DF为边向外作正方形，面积分别为6,2，S, 11,则S的值为 A 6 11 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在△ABC中，AB=2,AC=2N5,BC=4,则△ABC的面积 是 A B C 8.(25-26八年级上贵州遵义期末)已知在4×5的网格中，每个小正方形的边长为，AB点均在格点 上. 以AB为边作直角三角形ABC(C点在格点上)，能作 个 B 9.(25-26八年级上河北石家庄期末)如图所示的是一块不规则的绿地，已知 ∠ADC=90°，AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,则这块绿地的面积为 m2. B A 10.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=4,BC=2,BD=1,CD=3,则 ∠ACB的度数为」 三、解答题 11. (25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，在△ABC中，AB=15,BC=12,AC=9.延长AC到点D,连 接BD. D B (I)求证：AD⊥BC: (2)若命题“线段BD比线段CD长8”是真命题，求线段AD的长 12114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 12.(25-26七年级下·山东济南期末)如图，某公园把一块△ABC土地划出一个△ACD种草，其余部分种 花，测得CD=6m,AD=8m,BC=24m,AB=26m,∠ACB=90° B (1)判断△ACD的形状，并说明理由： (2)求图中种花（阴影）部分的面积. 13.(25-26八年级下·河北邢台·期末)某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示 意图如图所示，经测量得AB=0.6m,BC=0.8m,CD=2.6m,AD=2.4m,∠CAD=90°」 D B 777777777777777 (1)求AC的长度： (2)施工图纸上标明安装时∠ABC要为90°，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求， 14.(25-26八年级下·四川成都期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点0与 △ABC的顶点A,B,C均在格点（网格线的交点）上. (1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△4BC； 5V5 ②将。4BC按射线CB方向平移)个单位长度，在图中画出△4，B,C,并求出平移过程中线段MB扫过 的面积. 15.(25-26八年级上江西吉安·期末)先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：1，V5,2;第二组：2,2,6： 第三组：V3,√5，⑧：第四组：2，√6,0； 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (l)根据各组数反映的规律，用含n的代数式表示第n组的三个数； (2)如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由： (3)如图，CB=3,AB=m,AC=n,若3，m,n为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且 ∠DAB=90°，AD=AC,求BD的长. D B 14/14