（暑假作业）基础与拔高专题：平行四边形-2025-2026学年北师大版 数学八年级下册

**基本信息** 以平行四边形为核心，通过基础与拔高分层设计，系统整合判定、性质及综合应用，突出几何直观与推理能力培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|1-17题（如第1题判定、第7题折叠）|判定定理应用、中位线性质、折叠与平行四边形性质结合|从定义出发，经判定→性质→与三角形（中位线、勾股定理）融合，构建概念-推理-应用链条| |拔尖闯关|18-20题（如第19题多问、第20题实际应用）|构造辅助线（中点连线）、动态问题转化、面积平分策略|综合应用性质解决作图、动态几何及实际问题，体现模型意识与应用意识|

（暑假作业）基础与拔高专题：平行四边形-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 01 基础闯关 1．下列能判定四边形为平行四边形的条件是（     ） A．两组对角分别互补 B．对角线相等 C．一组对边平行且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 2．在中，对角线、相交于点O，若，，，则的周长为（     ） A．14 B．15.5 C．12 D．15 3．在平行四边形中，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．已知的对角线交点恰好落在原点，若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，某桥梁的钢架结构可抽象为平行四边形，对角线与相交于点．已知，，，则的长度为（     ） A．6 B．10 C．8 D． 7．如图，在平行四边形中，为对角线，为边上一点，连接，且，，将三角形沿折叠，点的对应点恰好落在上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于E，若，，的长度为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，已知的两个内角与的和为，则的度数为______． 10．如图，在梯形中，，，则的长是________． 11．如图，已知在中，对角线，相交于点，若，对角线和的和是20，则的周长为__________________． 12．如图，的面积为，点是边上的一点，则图中阴影部分的面积为_________． 13．如图，四边形中，，，，点为线段上一点（点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度为__________． 14．如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，为的中点，，分别为的边和上的两动点：①当，分别是和的中点时，的面积为__________；②点，在运动过程中，周长的最小值为__________． 15．如图，是平行四边形的对角线，点，在上，且．求证：． 16．如图，在四边形中，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 17．如图，点、在的边的延长线上，且在、之间，满足． (1)用尺规完成以下作图：以为顶点，在下方作，在射线上截取，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，完成以下证明填空： 证明：在与中， ， ． ② ，． 又，， ③ ． ． 又， 四边形为平行四边形（依据： ④ ．） 请写①②③④处空缺的内容：①________；②________；③________；④___________________． 02 拔尖闯关 18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上． (1)在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且； (2)在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且． 19．如图，在中，点E在上． (1)如图1，若平分，平分，求证：E为的中点； (2)在（1）的条件下，点F为的中点，连接，交于点G，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，将线段绕点A逆时针旋转到，使得，连接交于点F，若F为的中点，请直接写出，，三条线段之间的数量关系． 20．知识回顾 (1)如图1、点分别为的边的中点，连接，则与的位置关系是________，与的数量关系是_____________； (2)方法探究：如图2，点分别为的边的中点，连接，试判断的面积与的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，四边形是李大爷家的一片菜地，，，，，的中点处有一口水井，为方便灌溉，李大爷想在上取点，沿修建一条水渠，且使得将四边形的面积平分．已知修建该水渠的费用为50元，请你帮助李大爷计算修建这条水渠所需的总费用．（水井的大小和水渠的宽度均忽略） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：平行四边形-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B C B B A 1．C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：选项A，两组对角分别互补不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 选项B，对角线相等不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形对角线相等，但不是平行四边形，不符合题意； 选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，符合题意； 选项D，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意． 2．D 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质得到各边长度，再计算周长即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴的周长为． 3．C 【分析】利用平行四边形对边平行的性质得到邻角互补，结合已知角度即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，． 5．C 【分析】本题利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到点与点关于原点中心对称，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交点落在原点， ∴原点是对角线的中点，即点与点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 6．B 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得，，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线与相交于点，，，， ∴，， ∴， ∴． 7．B 【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质，证明是等边三角形，再利用角的和差，平行线的性质求解即可； 【详解】解：根据折叠的性质，得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故A正确； ∴， ∴， 故B错误，C，D正确； 8．A 【分析】根据勾股定理求出，由作图可得出，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，最后根据线段的和差关系求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10． 【分析】过点作于点，过点作于点，可证明四边形是平行四边形，得到；再证明，推出，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得 ． 11． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，结合已知条件求出及的值，进而求出的周长 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 的周长为：． 12． 【分析】根据平行四边形的性质可推出，，再根据面积的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ∴， ∴，， ∵与同底等高， ∴， ∴． 13． 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ． 14． 【分析】先求得，，，， ①利用三角形的中位线性质和平行四边形的判定与性质得到四边形、四边形、四边形均为平行四边形得到，进而可求解； ②作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：对于，当时，，当时，由得， ∴，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ①∵，分别是和的中点， ∴，，， ∴四边形、四边形、四边形均为平行四边形， ∴， ∴； ②作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，， 由轴对称的性质，可得，，，，， 故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小， ∵，， ∴， 故周长的最小值是． 15．证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据题意，证明即可求证． 【详解】略 16．(1)证明：∵，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）可证得，由此得到对应边，进一步证得； （2）由（1）可知，，由此得到，，再利用内错角相等，两直线平行可知，，从而证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)如图，即为所求； (2)；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】（1）按照角的作图方法和线段的作图方法进行作图即可； （2）证明，则，由等角的补角相等得到，则，根据平行四边形的判定即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) 四边形即为所求； (2) 四边形即为所求． 【分析】（1）根据题意，画底为2，高为3的平行四边形即可； （2）根据题意，画边长为的正方形即可． 【详解】（1）略． （2）略． 19．(1)证明： 四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 同理可证：． ， ． 为中点． (2)解：猜想：，理由如下， 取的中点I，连接． F为的中点， ． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1） 借助平行四边形结合角平分线推导等角，证出、，结合得到； （2） 取中点构造中点连线，利用平行传递相等线段，证三角形全等推导线段倍数； （3） 倍长构造全等转移旋转线段，结合平行四边形与等角条件证全等，转化线段得到、、的关系式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长至点，使，连接． 为中点， ． ，， ， ， 绕点旋转得到，． ①． ∵， ∴，②， ∴③， 由①②③得， ． ， 整理得． 20．(1)， (2)解：，理由如下： ∵点分别为的边的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴． (3)元 【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可； （2）根据中点的定义与三角形的中位线定理可证明与的三边对应相等，从而得到，即可得出； （3）取的中点F，过点F分别作，，分别交于点N，M，证明四边形，四边形都是平行四边形，过点N作于点O，则，取的中点P，连接，则是的中位线，得出是直角三角形，根据勾股定理求出，再乘以修建该水渠的单价，即可解答． 【详解】（1）解：∵点分别为的边的中点， ∴是的中位线， ∴，． （2）略 （3）解：如图，在四边形中，取的中点F，连接，过点F分别作，，分别交于点N，M， ∵， ∴平行线间的距离处处相等，设为h，则 ，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴， ∴， ∴将四边形的面积平分，即为所求． ∵，，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴ ． 过点N作于点O，则， ∴， ∴， ， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 取的中点P，连接， 则，是的中位线， ∴，， ∴． ∵， ∴在中，， 故费用为（元）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $