培优专题01 相似基础与相似三角形（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-判定-模型-性质”为逻辑链，系统整合比例线段、相似判定、模型应用及性质计算，提炼设k法、AA判定等核心方法，强化推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比例线段与性质|3题型/含黄金分割应用|设k法、平行线分线段成比例转化|从比例性质到实际应用，构建基础计算体系| |相似三大判定|3题型/含动态证明|AA/SAS/SSS判定规则，角边关系推理|从角相等到边成比例，形成判定逻辑链| |常见相似模型|3题型/含A字8字模型|模型特征识别，比例线段转化|提炼图形规律，实现复杂问题简化| |性质计算|3题型/含动点综合|相似比与周长面积转化，动态分类讨论|从静态计算到动态探究，提升综合应用能力|

培优专题01 相似基础与相似三角形 常考题型·精准突破 考点一 比例线段、比例性质与平行线分线段成比例 题型1 比例求值（设 k 法）（高频） 题型2 黄金分割简单计算 题型3 平行线分线段成比例求线段长（重） 考点二 三角形相似三大判定 题型1 AA 判定相似（高频） 题型2 SAS判定相似 题型3 SSS判定相似 考点三 常见相似模型 题型1 A字型相似（高频） 题型2 8字型相似（高频） 题型3 母子型相似 考点四 相似三角形的性质计算 题型1 求边长、对应线段（高、中线） 题型2 相似比与周长、面积比转化 题型3 动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 比例线段、比例性质与平行线分线段成比例 ◆题型1比例求值（设 k 法） 1．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 2．若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． ◆题型2 黄金分割简单计算 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 3．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． ◆题型3 平行线分线段成比例求线段长 1．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 2．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 3．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 考点二 三角形相似三大判定 ◆题型1 AA判定相似 1．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 3．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】略 ◆题型2 SAS判定相似 1．如图，和相似需具备的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，题中隐含条件，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例的性质即可推出答案． 【详解】解：∵在和中，， ∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件是：， ∴， 故选：C． 2．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 ◆题型3 SSS判定相似 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 3．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】 相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 考点三 常见相似模型 ◆题型1 A字型相似 1．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 2．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m． 【答案】3 【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：， 解得PF＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 3．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ◆题型2 8字型相似 1.如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得：，，从而可得，，分别根据相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 3.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 子母型相似 1．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 2．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 3．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1) 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 考点四 相似三角形性质计算 ◆题型1 求边长、对应线段（高、中线） 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，，，．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 3．如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明：延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接． ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边的中线的性质即可解决问题； （2）延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．想办法证明是的中位线即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 ◆题型2 相似比与周长、面积比转化 1．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 2．已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 3．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． ◆题型3 动点问题 1．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 2．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 3．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似 综合攻坚·知能拔高 1．黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据黄金分割比的定义，用线段总长乘以可求出线段的长度． 【详解】解：点恰好是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 2．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 4．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 5．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 【答案】A 【分析】设交于点，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，，由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设交于点， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．若，且，则的值是_______． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式求值，比例的性质，设，则，，，根据，可求出的值，进一步求出的值，代入原式中即可求解，掌握设的方法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 7．如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 8．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 10．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 11．如下图，在中，分别是上的点，且，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应． 设，则，再根据求解即可． 【详解】解：， ． 设． ， ． ， ， 解得， 故答案为：的长为． 12．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 13．如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明：于，作于， ， ， ∴， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）只要证明，可得，推出即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出，再根据三角形中位线定理得到，则，再书写比例式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ，，是中点，， ， ，， ， ， ∴ ， ． 14．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 15．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】发现：，；（1）①秒②秒（2）满足条件的t的值为或秒 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，综合性较强，证明三角形相似是解题的关键， 发现：利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； 猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出结论；②先求出的面积，进而求出的面积，最后用的面积建立方程并解方程，即可得出结论； （2）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：发现：在中，， ∴， ∵， ∴， ， 由运动知，， ， ∴， 故答案为：，； 猜想：（1）①∵， ∴， ∴秒； ②∵ ， ∴， ∵与四边形面积比值为， ∴， 如图，过点M作于D， 在中，，， ∴， ∴， 解得：秒； （2）∵与相似， 当时， ∴ ， ∴ ， ∴秒， 当时， ∴， ∴， ∴秒， 即：满足条件的t的值为或秒； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 相似基础与相似三角形 常考题型·精准突破 考点一 比例线段、比例性质与平行线分线段成比例 题型1 比例求值（设 k 法）（高频） 题型2 黄金分割简单计算 题型3 平行线分线段成比例求线段长（重） 考点二 三角形相似三大判定 题型1 AA 判定相似（高频） 题型2 SAS判定相似 题型3 SSS判定相似 考点三 常见相似模型 题型1 A字型相似（高频） 题型2 8字型相似（高频） 题型3 母子型相似 考点四 相似三角形的性质计算 题型1 求边长、对应线段（高、中线） 题型2 相似比与周长、面积比转化 题型3 动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 比例线段、比例性质与平行线分线段成比例 ◆题型1比例求值（设 k 法） 1．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 2．若，则________． 3．已知，满足，求、、的值． ◆题型2 黄金分割简单计算 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 2．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 3．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ ◆题型3 平行线分线段成比例求线段长 1．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 2．如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 3．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 考点二 三角形相似三大判定 ◆题型1 AA判定相似 1．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 3．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． ◆题型2 SAS判定相似 1．如图，和相似需具备的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 3．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． ◆题型3 SSS判定相似 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 2．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 3．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 考点三 常见相似模型 ◆题型1 A字型相似 1．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 2．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m． 3．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． ◆题型2 8字型相似 1.如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 3.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． ◆题型3 子母型相似 1．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 2．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 3．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 考点四 相似三角形性质计算 ◆题型1 求边长、对应线段（高、中线） 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，．若，，则的值为______． 3．如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． ◆题型2 相似比与周长、面积比转化 1．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 2．已知，的周长为的周长为________． 3．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． ◆题型3 动点问题 1．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 3．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 综合攻坚·知能拔高 1．黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 6．若，且，则的值是_______． 7．如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 8．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为______． 9．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 10．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 11．如下图，在中，分别是上的点，且，若，求的长． 12．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 13．如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 14．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题01相似基础与相似三角形 常考题型精准突破 ·考点一比例线段、比例性质与平行线分线段成比例·一 ◆题型1比例求值（设k法） 1.B 5 2.2 3. 日=为==k,则a=3kb=4kc=5张 【详解】解：设345 :a+b+c=60. .3k+4k+5k=60, 解得k=5, .a=15,b=20,c=25. ◆题型2黄金分割简单计算 1.A 2.34.38 55.62 3. AB 5-1 【详解】解：根据题意得， AD 2 ,AD=2, .AB=V5-1, 即该黄金矩形的宽AB是V5-1. ◆题型3平行线分线段成比例求线段长 1.c 2.6 3. 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH∥AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DBDH=3:5, (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BC:BH=3:2 因为FH∥AB, 所以AC:AF=BC:BH=32, 又因为AC=3 所以AF=2. ●考点二三角形相似三大判定●一 ◆题型1AA判定相似 1.B 2.△ACD和△CBD 3. 证明：：△ADE是等边三角形， :∠E=60° :∠C=60°， .∠E=∠C 又：∠AFE=∠DFC(对顶角相等)， :.△AEF∽aDCF(两角分别相等的两个三角形相似)· ◆题型2SAS判定相似 1.c 48 2.5cm 3. 证明：AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE AC CE =8-5=3,AD=AB-BD=6-2=4, AE 3 1 AD 4 1 .AB62AC82· AE AD 1 :AB AC2 :∠A=∠A, ∴.△AEDAABC ◆题型1SSS判定相似 1.A 2.2 3. 相似，证明如下： 在AABC中，AB=2,BC=V22+22=2V2,AC=V22+4=2V5: 在ADEF中，DE=+P=V2,EF=2,DF=VP+32=V10: 提员祭婆， EF 2 DF 10 AB BC AC 即DEEF DF· ∴.△ABC∽△DEF ·考点三常见相似模型。—一 ◆题型1A字型相似 1.D 2.3 3. 【详解】(1)解：由题意得：∠EFB=∠ACB=90°， .EF∥AC, ∴.△EFB∽△ACB. 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF:FB=AC:BC=15:10=3:2, 设EF=3x,FB=2x,则CF=EF=3x, .BC=BF+CF=5x=10. .x=2, ∴.EF=3x=6, 即正方形CDEF的边长为6； (2)解：由(1)得：CD=CF=EF=DE=6, ∴AD=AC-CD=9: :∠ADE=∠ACB=90°， .DG∥CF, ∴.△ADG AACF, .DG:CF=AD:AC=9:15=3:5, ..DG=1 5 ÷GE=AE-DG=2 ◆题型28字型相似 1.C 2.2 3. (1)证明：如图， B A :A'B∥AB ·.△AC'O∽△AC0,△B'C"O∽△BCO, CO A'C"CO B'C" ∴.COAC，CO-BC A'C B'C 、ACBC· 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A'C'B'C" ∴.ACBC: (2解：若照片中的服部与上羊身倒比值大于它们实际的比值（御仁>紀，则能拍出大长望府效果。 理由：过点B作B'E∥AB交AO于点E,连接CC交BE于点F, :摄影师仰拍， ∴∠EB是△EOF的外角. ∴.∠A'EB'>∠EFO ∴过点E作CC的平行线交线段A'B于点G. B C B .A'C'>GC" EF 由(1)得FB AC BC EG∥CC, EF GC .FB'C'B' GC AC .CB'BC AC>GC, A'C、AC .CB' BC· ◆题型3子母型相似 1.V14 2.2 3. 【详解】(1)略 (2)①D在AB上时，如图： 5/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 冷 的“理想点”， DB:D△MBC ∴.∠ACD=∠B或∠BCD=∠A, 当∠ACD=∠B时， :∠ACD+∠BCD=90°， ∠BCD+∠B=90°， ∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高， 当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高， 在RtAABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4, :.BC=AB2 -AC2 =3, 5m-号4B-cD-4cBc, 2 CD=12 5 ②AC=4,BC=3 ·AC>BC有∠B>∠A, .“理想点”D不可能在BC边上， ③D在AC边上时，如图： C D 是 的“理想点”， A B:D△ABC ∴.∠DBC=∠A. 又∠C=∠C, .△BDC∽△MBC, CD BC CD 3 BC=AC:即3=4： 9 ..CD= 49 129 综上所述，点D是AMBC的“理想点”，CD的长为5或4 6/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一·考点四相似三角形性质计算。—一 ◆题型1求边长、对应线段（高、中线） 1.A 2 2.5 3. 【详解】(1)解：AC⊥BC, .∠ACB=90°， ,AC=6,BC=8, ∴AB=VAC2+BC2=10, ,四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=10,AD//BC, CA⊥AD, ∠CAD=90°， ..CE=ED. .AE=CD=5 2 (2)证明：延长AE交BC的延长线于M,在CB上取一点N,使得CN=CG,连接AW. E ,·ADIICM ∴.∠DAE=∠M, 在△DAE和△MCE中， ∠DAE=∠M ∠AED=∠MEC DE=CE 、aDAE≌aMCE(AAS), .AE=EM, 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD=90°，E是CD的中点， .AE=ED=EC. ∴.AM=CD=AB, :AC⊥BM, .BC=CM. AC⊥NG,CN=CG, .AG=AN, .AG+CG=BC, .BN=AG=AN .CB=CM,CN=CG, ...BN=GM, ..GA=GM, AE=EM, EG⊥AM, ,FA⊥AM, .EG AF, .aMEG∽aMAF. ME MG ∴MAMF “AB=EM即ME-MM, ME 1 ÷MA2' MG 1 ·MF=2,即MF=2MG 又：MF-MG+FG. ..MG+FG=2MG ..FG=GM, G=4 即AF=2EG 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2相似比与周长、面积比转化 1.B 2.15V6 3. AB 1 【详解】(1)解：ABC64B'C,B2,AB边上的中线CD=4cm' CD 1 C'D2' ..C'D'=8cm: AB 1 (2)解： △ABCA'BC,AB=2,△ABC的周长为20cm' C=} Coare 2' ∴.CMRC=40cm: AB 1 (3)解： △ABC64BC,AB2,△AB'C的面积是64cm2, S.ABC= SAFC ∴.SMARC=16cm2 ◆题型3动点问题 1.C 2.3或4.8 3. 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴.AC=VAB2+BC2=V62+82=10, 由题意，有AP=21,C0=t, .PC=10-21, ∴.①当∠P0C=90°时，如答图1， 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 :∠B=∠PQC=90°∠ACB=∠PCQ ∴.△PQC∽△ABC PC CQ 10-2t t :Ac=,即10 81 40 解得1=13秒： ②当∠CP2=90°时，如答图2， P B 9 图2 :∠ACB=∠QCP∠B=∠QPC ∴.△CPO∽aCBA CP CO 即10-21、1 810 25 解得=7秒， 40 25 综上所述，为13秒与7秒时，△CPg与ACAB相似 综合攻坚知能拔這 1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.3 10115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 8.4 9.55°/55度 10.1:3 11. 【详解】解：~AD=20cm,BD=12cm, .AB=20+12=32(cm) 设AE=xcm CE=9cm, ..AC=(x+9)cm AD AE AB AC' 20=x 32x+9 解得x=15, 故答案为：AE的长为15cm 12, 【详解】(1)解：a∥b∥c, AB DE BC EF' 34 即5EF' r” (2)解：a∥b∥c, AB DE AC DF' AB 2 BC3 AB_2 AC 5 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62 DF 5' .DF=15, 13. 【答案】(1)证明：：AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E, ∠ADC=∠AEID=90°， :∠DAE=∠DAC, ∴.△DAESACAD. AD AE ∴.CAAD? :AD2 AC.AE, AC=AB, :AD2=AB.AE. a (2)解：如图，连接DF. A G ，是中点，， E B :AB=3∠ADB=90°FAB ÷DF=AB=3 2 :AB=AC,AD⊥BC ..BD=DC, DF∥AC, △DFG∽△AEG 3 DF_DG_2-3 .AE AG24 AD 7 .AG4· 14. 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1AE⊥CD. ∠CEA=∠ACB=90°， .∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠BCD=90° .∠CAE=∠BCD. :∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， :.CD=1AB=BD. 2 .∠BCD=∠B ∴∠CAE=∠B 又.∠CEA=∠ACB, .∴△ACE△BAC 2,'210 5 (②)解：在RtACE中，根据勾股定理，得AB2+EC'=AC2,即AE2+P=(ViO, AE=3, 由(1)知：△ACE∽△BAC, AC CE AE BA AC BC √1013 AB10BC' :.BC=3V10,AB=10 :∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， D48=5, ..DE=CD-CE=4. :EF∥CB, ∴.∠DEF=∠DCB,∠DFE=∠B ∴.ADEF△DCB, EF DE BC DC EF4 3105, 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·EF=12v10 5 15. 【详解】解：发现：在Rt△ABC中，∠BAC=60°， .∠B=30°， .AC=5cm, .AB=24C=10cm,BC=34C=53cm, 由运动知，BM=2i(cm),CN=V3(cm), BN=BC-CN=(53-r)cm, 故答案为：21，(55-V3: 猜想：(1)①BM=BN, .2t=5V3-V3t, ÷1=(10W5-15)秒 ②，'AC=5cm,BC=5V3cm, ·Sc=)ACBC=253 cm2, 2 1 ”ABMN与四边形AMNC面积比值为3， ∴.SBMN= 4= 5v5 8cm2, 如图，过点M作MD⊥BC于D, B D N 在RtABDM中，∠B=30°，BM=2icm, DM=BM tcm. 2 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8am-w-pws5-1-255 8 解得：4==2.5秒 (2):△MBN与△ABC相似， 当△MBN∽△ABC时， BM BN ·ABBC, 洛 55 5 “1=2秒， 当△MBN∽aCBA时， BM BN :.BC AB' 2t 5V5-V31 :55 10 : 7秒， 515 即：满足条件的的值为2或7秒： 15/15