专题01 全等三角形的判定与性质16大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“概念-判定-性质-模型-综合”为逻辑链，系统覆盖全等三角形16类核心题型，通过典例变式实现方法迁移与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题型|对应元素识别/性质应用|从全等定义到边角转化| |判定方法|5题型|SSS/SAS/ASA/AAS/HL适用条件|判定定理与图形特征匹配| |模型应用|4题型|倍长中线/双垂直/角平分线辅助线|模型构造与条件集中策略| |综合提升|5题型|多结论辨析/动态问题/面积转化|性质判定综合应用与逻辑推理|

专题01 全等三角形的判定与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 全等三角形相关结论 题型02 全等三角形的性质求解 题型03 利用SSS判定三角形全等 题型04 利用SAS判定三角形全等 题型05 利用ASA判定三角形全等 题型06 利用AAS判定三角形全等 题型07 直角三角形HL全等判定 题型08 灵活选用全等三角形的判定方法证明 题型09 利用全等的性质求线段长度 题型10 利用全等的性质求角度大小 题型11 角平分线结合全等解题 题型12 倍长中线模型造全等 题型13 双垂直模型证明全等 题型14全等三角形与面积计算 题型15 全等三角形多结论辨析题 题型16 全等三角形的判定与性质综合 ▌题型01 全等三角形相关结论 全等三角形对应边、对应角全部相等，对应中线、高、角平分线也相等，周长、面积相等。判定牢记 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意 SSA 不能证全等。找对应元素优先公共边、公共角、对顶角。解题先找全等条件，证完全等再转化边角，区分判定与性质，不要颠倒因果关系。 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式1-3】（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求，（答案不唯一） (2) 解：如图所示，即为所求，（答案不唯一）； 【分析】本题考查了平移作图，全等三角形的概念； （1）根据网格的特点将平移至，即可求解； （2）根据平移的方法作出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型02 全等三角形的性质求解 全等三角形对应边相等，对应角相等，对应高、中线、角平分线相等，周长与面积相等。解题关键找准对应边角，公共边、对顶角常为对应元素。先证全等，再利用性质推导边角，不可跳过全等直接得相等。注意看清对应关系，避免边角匹配错误，结合线段、角度公式完成计算。 【典例】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． ▌题型03 利用SSS判定三角形全等 【典例】（25-26八年级上·河北唐山·期中）小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． (2) 解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． (3) 解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与平行线的判定，掌握利用判定三角形全等，以及通过全等三角形的对应角相等推导平行线是解题的关键． 【变式3-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)猜想的数量关系：______； 猜想的位置关系：______． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)；． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”证明全等即可； （）由，得，证明，然后通过全等三角形性质可得； （）由（）得，通过全等三角形性质即可求解； 由（）得，则，所以，然后通过平行线的判定即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（）得， ∴， 故答案为：； 由（）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型04 利用SAS判定三角形全等 【典例】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【答案】(1)证明：∵ ， ． 在 和 中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由 ， ， ，利用 ，即可判定 ； （2）由 ，可得 ，继而求得 ，则可求得 的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ． 【变式4-3】（2026·广西南宁·二模）如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． ▌题型05 利用ASA判定三角形全等 【典例】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 【详解】略 【变式5-1】（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． (1)尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求， (2)证明：如图， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：与相等，理由如下： ∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ▌题型06 利用AAS判定三角形全等 【典例】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 【变式6-1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 【变式6-2】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 【变式6-3】（25-26七年级下·四川成都·期末）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 【答案】(1)，理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为． ▌题型07 直角三角形HL全等判定 【典例】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【变式7-3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． ▌题型08 灵活选用全等三角形的判定方法证明 证全等先梳理已知条件，分清已有边、角条件。已知两边优先选 SSS 或 SAS；已知两角优先 ASA、AAS；直角三角形优先 HL。充分挖掘公共边、公共角、对顶角，通过线段和差、角度推导补齐条件。SSA 不能判定全等，根据题型灵活选择方法，证完核对对应关系，防止条件误用。 【典例】（25-26七年级下·山东烟台·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 【变式8-1】（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3) 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）略 【变式8-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B．    C．    D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B； （2）； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）略 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． ▌题型09 利用全等的性质求线段长度 【典例】（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【答案】3 【分析】设，先证明得到，，再证明得到，进而列方程求得x的值即可． 【详解】解：设, 是角平分线，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴， ∵，， ∴，解得 即． 【变式9-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ▌题型10 利用全等的性质求角度大小 【典例】（2025·江苏泰州·三模）如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“”证明，从而得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【详解】解：， 即， ， 在和中， ， ， ， 是的一个外角， ． 【变式10-1】（26-27八年级上·辽宁·开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【变式10-2】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 【变式10-3】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． ▌题型11 角平分线结合全等解题 角平分线可得角相等，可结合 SAS、AAS 证全等。角平分线上点向两边作垂线，得到相等垂线段。常利用角等搭配公共边构造全等，实现边角转化。注意区分角平分线性质与判定，不要混淆条件。解题优先作垂线辅助线，推导边角等量，检验条件是否满足全等判定。 【典例】（25-26八年级上·安徽合肥·开学考试）如图所示，中，，平分交于，于，若，求的周长． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质得到，再证明，得出，再对的周长等量代换，将周长转化为线段的长度求解． 【详解】解：平分，，， ． 在和中： ， ， ． 又， ． 的周长： ． 【变式11-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式11-2】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【答案】(1)证明：平分，，， ，， 在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据可证； （2）由题意可证：，可得，由，可得的长． 【详解】（1）略； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式11-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 (1)如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由： 是的平分线，， ； (2)解：成立，理由： 如图，过点作于，于， ， 是的平分线， ． ，， ． ， ． 在和中， ， ． 【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断； （2）根据（1）的解题方法，首先过点作于，于，进而有，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型12 倍长中线模型造全等 倍长中线就是延长中线至两倍长，构造对顶角相等，结合中点得到两组相等线段，用 SAS 构造全等三角形。实现转移已知边、角，把分散条件集中到同一个三角形。解题见到中线即可尝试该模型，得到边平行且相等，再结合三边关系求线段范围，注意不要遗漏全等对应关系。 【典例】（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 【变式12-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 【变式12-2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式12-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40； （3）证明：延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）略． ▌题型13 双垂直模型证明全等 双垂直模型存在两组直角，可得互余角，利用同角的余角相等推出角相等。结合直角、已知边，选用 AAS 或 ASA 证明全等。图形中多有直角，注意挖掘等角条件，不要直接默认边角相等。证完全等后转化线段、角度，看清对应边，区分直角边与斜边，避免 HL 误用。 【典例】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 【变式13-1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式13-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 【变式13-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌题型14 全等三角形与面积计算 【典例】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 【变式14-1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）面积相等的两个三角形可分为两类：全等三角形或面积相等但不全等的三角形． (1)如图1，在中，，，点在或边上，点与顶点连线段把的面积等分，此时的长度是_______； (2)如图2，，点在边上且，的长度有可能为4吗？为什么？ (3)如图3，点是正方形的边的延长线上一点，，连接，以为边在上方作正方形，连接，若，求的值． 【答案】(1)3或4 (2) 解：的长度不可能为4，理由如下： 如图所示，延长到点E使，连接 ∵ ∴是的中线 ∴点D为的中点，即 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴的长度不可能为4； (3) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意分点P在上和点P在上两种情况讨论，然后根据三角形中线的性质求解即可； （2）如图所示，延长到点E使，连接，首先由得到，然后证明出，得到，然后利用三角形三边关系得到，然后得到即可求解； （3）如图所示，过点G作交延长线于点H，首先求出，，然后证明出，得到， 理由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点P在上时， ∵点与顶点连线段把的面积等分 ∴是的中线 ∴点P为的中点 ∴； 如图所示，当点P在上时， ∵点与顶点连线段把的面积等分 ∴是的中线 ∴点P为的中点 ∴； 综上所述，的长度是3或4； （2）略 （3）解：如图所示，过点G作交延长线于点H ∵ ∴ ∴ ∵四边形，是正方形， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式14-2】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②当为1时，的面积等于的面积 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了绝对值与乘方的非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，一元一次方程，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）①由题意得，，由三角形面积公式即可求解； ②先求出的面积，再根据的面积等于的面积，列出一元一次方程，求出t的值即可； （3）分两种情况，，，利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图 ∵，， ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 答：当为1时，的面积等于的面积． （3）解：存在，理由如下： ①当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； ②当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或． 【变式14-3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段检测）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为． ▌题型15 全等三角形多结论辨析题 【典例】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 【变式15-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点．且，连接，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中，正确的说法有（　　） A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，由已知无法判定②④，从而可得答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等，故①正确； ∵为的中线， ∴，和不一定相等，故②错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，无法得到，故④错误， 正确的结论为：①③． 故选B． 【变式15-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，连接，，且，下列说法：①；②和周长相等；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由，根据平行线性质得，判断结论⑤正确；由是中线，得；结合（对顶角相等）、，用证，判断结论④正确；由全等三角形对应边相等，得、，判断结论①③正确；分析和的周长：虽、公共，但与长度不一定相等，故周长不一定相等，判断结论②错误； 【详解】解：∵， ∴，所以结论⑤正确， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，所以结论④正确， ∴，（全等三角形对应边相等），所以结论①③正确， ∵，为公共边，但与的长度不一定相等， ∴的周长（）与的周长（）不一定相等，所以结论②错误， 综上所述，正确的有①③④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】考查三角形中线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形周长的计算．利用平行线性质得到角相等，结合中线性质得到边相等，通过判定三角形全等，再利用全等性质推导边、角关系；分析三角形周长时关注边长的确定性．解题关键：准确运用平行线的内错角相等、中线的边相等条件，完成全等三角形的判定与性质推导．易错点：误将“中线分三角形为面积相等的两部分”混淆为“周长相等”，忽略与不一定相等的条件． 【变式15-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． ▌题型16 全等三角形的判定与性质综合 【典例】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式16-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式16-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】(1)证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 【变式16-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 在中，为高， ， 又∵，， ∴， ， ，， ， ； (2)①；②或； (3) 的值为或． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①根据路程等于速度乘以时间，求出，由全等三角形的性质可得；②由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， 由（1）可知，， ∴； ②由①知， ，， ，， 由（1）可知，， 在射线上， ∴，， ， 解得：或； （3）解：， ， 、当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形的判定与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 全等三角形相关结论 题型02 全等三角形的性质求解 题型03 利用SSS判定三角形全等 题型04 利用SAS判定三角形全等 题型05 利用ASA判定三角形全等 题型06 利用AAS判定三角形全等 题型07 直角三角形HL全等判定 题型08 灵活选用全等三角形的判定方法证明 题型09 利用全等的性质求线段长度 题型10 利用全等的性质求角度大小 题型11 角平分线结合全等解题 题型12 倍长中线模型造全等 题型13 双垂直模型证明全等 题型14全等三角形与面积计算 题型15 全等三角形多结论辨析题 题型16 全等三角形的判定与性质综合 ▌题型01 全等三角形相关结论 全等三角形对应边、对应角全部相等，对应中线、高、角平分线也相等，周长、面积相等。判定牢记 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意 SSA 不能证全等。找对应元素优先公共边、公共角、对顶角。解题先找全等条件，证完全等再转化边角，区分判定与性质，不要颠倒因果关系。 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【变式1-3】（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． ▌题型02 全等三角形的性质求解 全等三角形对应边相等，对应角相等，对应高、中线、角平分线相等，周长与面积相等。解题关键找准对应边角，公共边、对顶角常为对应元素。先证全等，再利用性质推导边角，不可跳过全等直接得相等。注意看清对应关系，避免边角匹配错误，结合线段、角度公式完成计算。 【典例】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． ▌题型03 利用SSS判定三角形全等 【典例】（25-26八年级上·河北唐山·期中）小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【变式3-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)猜想的数量关系：______； 猜想的位置关系：______． ▌题型04 利用SAS判定三角形全等 【典例】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【变式4-3】（2026·广西南宁·二模）如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． ▌题型05 利用ASA判定三角形全等 【典例】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【变式5-1】（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． (1)尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 【变式5-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． ▌题型06 利用AAS判定三角形全等 【典例】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【变式6-1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式6-2】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【变式6-3】（25-26七年级下·四川成都·期末）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． ▌题型07 直角三角形HL全等判定 【典例】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式7-2】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【变式7-3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． ▌题型08 灵活选用全等三角形的判定方法证明 证全等先梳理已知条件，分清已有边、角条件。已知两边优先选 SSS 或 SAS；已知两角优先 ASA、AAS；直角三角形优先 HL。充分挖掘公共边、公共角、对顶角，通过线段和差、角度推导补齐条件。SSA 不能判定全等，根据题型灵活选择方法，证完核对对应关系，防止条件误用。 【典例】（25-26七年级下·山东烟台·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【变式8-1】（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【变式8-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B．    C．    D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． ▌题型09 利用全等的性质求线段长度 【典例】（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【变式9-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式9-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式9-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． ▌题型10 利用全等的性质求角度大小 【典例】（2025·江苏泰州·三模）如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（26-27八年级上·辽宁·开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【变式10-2】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【变式10-3】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． ▌题型11 角平分线结合全等解题 角平分线可得角相等，可结合 SAS、AAS 证全等。角平分线上点向两边作垂线，得到相等垂线段。常利用角等搭配公共边构造全等，实现边角转化。注意区分角平分线性质与判定，不要混淆条件。解题优先作垂线辅助线，推导边角等量，检验条件是否满足全等判定。 【典例】（25-26八年级上·安徽合肥·开学考试）如图所示，中，，平分交于，于，若，求的周长． 【变式11-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【变式11-2】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【变式11-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 (1)如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． ▌题型12 倍长中线模型造全等 倍长中线就是延长中线至两倍长，构造对顶角相等，结合中点得到两组相等线段，用 SAS 构造全等三角形。实现转移已知边、角，把分散条件集中到同一个三角形。解题见到中线即可尝试该模型，得到边平行且相等，再结合三边关系求线段范围，注意不要遗漏全等对应关系。 【典例】（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式12-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式12-2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【变式12-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． ▌题型13 双垂直模型证明全等 双垂直模型存在两组直角，可得互余角，利用同角的余角相等推出角相等。结合直角、已知边，选用 AAS 或 ASA 证明全等。图形中多有直角，注意挖掘等角条件，不要直接默认边角相等。证完全等后转化线段、角度，看清对应边，区分直角边与斜边，避免 HL 误用。 【典例】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【变式13-1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式13-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【变式13-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． ▌题型14 全等三角形与面积计算 【典例】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【变式14-1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）面积相等的两个三角形可分为两类：全等三角形或面积相等但不全等的三角形． (1)如图1，在中，，，点在或边上，点与顶点连线段把的面积等分，此时的长度是_______； (2)如图2，，点在边上且，的长度有可能为4吗？为什么？ (3)如图3，点是正方形的边的延长线上一点，，连接，以为边在上方作正方形，连接，若，求的值． 【变式14-2】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段检测）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． ▌题型15 全等三角形多结论辨析题 【典例】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【变式15-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点．且，连接，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中，正确的说法有（　　） A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③ 【变式15-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，连接，，且，下列说法：①；②和周长相等；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式15-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ ▌题型16 全等三角形的判定与性质综合 【典例】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【变式16-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式16-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【变式16-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $