4.4 幂函数-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 知识点一　幂函数的概念及图象 1．下列函数为幂函数的是(　　) ①y＝－x2；②y＝xn(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝；⑤y＝x2＋. A．①③⑤ B．①④ C．②④ D．只有⑤ 答案：C 解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；③y＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑤y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显②④是幂函数． 2．(2024·山东临沂期末)下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　) A．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 答案：A 解析：函数y＝x3为奇函数且定义域为R，该函数图象应与①对应；函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应．故选A. 知识点二　幂函数的奇偶性 3．[多选](2024·内蒙古乌海期中)已知a∈，若F(x)＝xa为偶函数，则满足要求的a的值可以为(　　) A．－2 B．1 C．4 D． 答案：AC 解析：当a＝－2时，F(x)＝x－2的定义域为{x|x≠0}，且F(－x)＝(－x)－2＝x－2＝F(x)，所以F(x)＝x－2为偶函数，故A正确；当a＝1时，F(x)＝x的定义域为R，且F(x)＝x为奇函数，故B错误；当a＝4时，F(x)＝x4的定义域为R，且F(－x)＝(－x)4＝x4＝F(x)，所以F(x)＝x4为偶函数，故C正确；当a＝时，F(x)＝x＝的定义域为[0，＋∞)，所以F(x)＝x为非奇非偶函数，故D错误．故选AC. 4．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________． 答案：2 解析：∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴该幂函数为奇函数，∴m2－2m－3<0且m2－2m－3为奇数，即－1<m<3且m2－2m－3为奇数，又m∈N＋，∴m＝2. 知识点三　幂函数的性质 5．[多选]以下不等关系表示正确的是(　　) A．＜ B．3＞3.3 C．2.3＜2.4 D．0.20.6＞0.30.4 答案：BC 解析：∵函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，∴>，A错误；∵y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，∴3>3.3，B正确；∵函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又2.3＜2.4，∴2.3＜2.4，C正确；由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，∴0.20.6<0.30.4，D错误．故选BC. 6．[多选]已知函数f(x)＝xα(α是常数)，f(4)＝2，则以下结论错误的是(　　) A．α＝ B．f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)的定义域为(0，＋∞) D．当x∈(0，1)时，f(x)＞1 答案：CD 解析：由f(4)＝4α＝2，得α＝，即f(x)＝x＝，函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递增，故A，B正确；因为f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，故C错误；因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜f(1)＝1，故D错误．故选CD. 7．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是______________，单调递减区间是______________． 答案：(－∞，0)　(0，＋∞) 解析：设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，∴f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，＋∞)． 8．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内单调递减，则m＝________． 答案：1 解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又f(x)在第一象限内单调递减，故m2－2m－3<0，所以－1<m<3且m2－2m为奇数，又m∈Z，所以m＝1. 知识点四　幂函数的综合问题 9．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大． (1)求f(x)的解析式； (2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围． 解：(1)由题意可知，函数f(x)在R上单调递增， ∴9－3m>0，解得m<3. 又m∈N＋，∴m＝1，2. 又函数图象关于原点对称， ∴9－3m为奇数，故m＝2.∴f(x)＝x3. (2)∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0， ∴f(a＋1)<－f(3a－4)． ∵f(x)为奇函数，∴f(a＋1)<f(4－3a)． 又函数f(x)在R上单调递增，∴a＋1<4－3a， ∴a<，即实数a的取值范围为. 一、单项选择题 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝2x3 B．y＝2x2－1 C．y＝ D．y＝ 答案：C 解析：y＝2x3中，x3的系数不是1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；C中y＝＝x－5是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不是1，故D不是幂函数．故选C. 2．(2024·甘肃白银期末)已知幂函数f(x)＝(3m2－2m)x满足f(2)＜f(3)，则m的值为(　　) A．－ B． C．1 D．－1 答案：A 解析：由幂函数的定义可知，3m2－2m＝1，即3m2－2m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不满足f(2)＜f(3)；当m＝－时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，满足f(2)＜f(3)．综上，m＝－.故选A. 3．幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C4，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 答案：D 解析：根据幂函数y＝xα的性质可知，在第一象限内的图象，当α>0时，图象递增，且α越大，图象递增速度越快，由此可判断C1是曲线y＝x2，C2是曲线y＝x；当α<0时，图象递减，且|α|越大，图象越陡，由此可判断C3是曲线y＝x，C4是曲线y＝x－1.综上所述，幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x在第一象限内的图象依次是图中的曲线C1，C4，C2，C3.故选D. 4．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>h(x)>f(x) C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x) 答案：D 解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的大致图象如图所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．故选D. 5．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，a＋1＋b＜0，则f(a＋1)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 答案：B 解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1，∴f(x)＝x7或f(x)＝x－2.∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0，∴f(x)是增函数，∴f(x)＝x7.∵a，b∈R，a＋1＋b＜0，即a＋1＜－b，∴(a＋1)7＜(－b)7，即(a＋1)7＜－b7，即(a＋1)7＋b7＜0，∴f(a＋1)＋f(b)＝(a＋1)7＋b7＜0.故选B. 二、多项选择题 6．关于幂函数f(x)＝xα的性质，下列说法中正确的是(　　) A．当α＝2024时，f(x)在(－∞，0)上单调递减 B．当α＝2023时，f(x)在(－∞，0)上单调递减 C．当α＝时，f(x)是偶函数 D．当α＝时，f(x)是偶函数 答案：AD 解析：对于A，当α＝2024>0时，f(x)＝x2024在(0，＋∞)上单调递增，且注意到f(－x)＝(－x)2024＝x2024＝f(x)，定义域关于原点对称，即f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，故A正确；对于B，当α＝2023>0时，f(x)＝x2023在(0，＋∞)上单调递增，且注意到f(－x)＝(－x)2023＝－x2023＝－f(x)，定义域关于原点对称，即f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，故B错误；对于C，当α＝时，f(x)＝x＝的定义域为[0，＋∞)，它为非奇非偶函数，故C错误；对于D，当α＝时，f(x)＝x＝的定义域为R，且 f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故D正确．故选AD. 7．已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则下列说法正确的是(　　) A．该函数为偶函数 B．该函数为奇函数 C．当x>1时，y>1 D．>f(x1≠x2) 答案：ACD 解析：∵y＝xα的图象经过点(2，4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴y＝x2，该函数为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，y>1.幂函数y＝x2在[0，＋∞)上的大致图象如图所示．设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0<x1<x2，则AC的中点E的坐标为，AB＝f(x1)，CD＝f(x2)，EF＝，EG＝f，由图易知EF>EG，即>f，同理可证，当x1<x2<0，x1<0<x2时，>f也成立． 三、填空题 8．(2024·河北承德期末)已知幂函数f(x)的图象过点(，8)，则f()＝________． 答案：16 解析：设f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点(，8)，∴()α＝8，∴α＝6，∴f(x)＝x6，∴f()＝(4)6＝42＝16. 9．设a＝，b＝x，c＝logx，当x＞1时，用不等号将a，b，c由小到大依次连接为________． 答案：c＜a＜b 解析：由题意可得，y＝在定义域内单调递减，当x＞1时，a＝∈(0，1)；y＝x在定义域内单调递增，当x＞1时，b＝x＞1；y＝logx在定义域内单调递减，当x＞1时，c＝logx＜0.综上所述，c＜a＜b. 10．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f的值为________． 答案： 解析：设f(x)＝xα，则＝＝2α＝3，∴α＝log23，即f(x)＝xlog23，∴f＝＝ 2－log23＝2log2＝. 四、解答题 11．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3(－2＜m＜2，且m∈Z)满足： ①在区间(0，＋∞)上是增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. (1)求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求x∈[0，3]时，f(x)的值域． 解：(1)∵对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0， ∴f(x)是奇函数． －2＜m＜2且m∈Z， 则当m＝－1时，f(x)＝x2，满足①不满足②； 当m＝0时，f(x)＝x3，满足①②； 当m＝1时，f(x)＝x0，不满足①②. 故幂函数f(x)的解析式为f(x)＝x3. (2)若x∈[0，3]，则f(x)＝x3∈[0，27]， 故f(x)的值域为[0，27]． 12．已知幂函数y＝f(x)＝x (m∈N＋)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋， m与m＋1中必定有一个为偶数，∴m2＋m为偶数， ∴函数f(x)＝x(m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)， 且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数． (2)∵函数f(x)的图象经过点(2，)， ∴＝2，即2＝2， ∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0. ∴m＝1或m＝－2. 又m∈N＋，∴m＝1. ∴f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数． 由f(2－a)>f(a－1)，得 解得1≤a<. 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为. 13．已知函数f(x)＝3x3－＋2，且f(a2)＋f(3a－4)>2，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－1，4) 答案：B 解析：由题意得，函数f(x)＝3x3－＋1＋1＝3x3＋＋1，设g(x)＝3x3＋(x∈R)，则f(x)＝g(x)＋1，由f(a2)＋f(3a－4)>2，得g(a2)＋g(3a－4)>0⇒g(a2)>－g(3a－4)，又因为g(－x)＝3(－x)3＋＝－＝－g(x)，所以g(x)是R上的奇函数，又g(x)＝3x3＋＝3x3－＋1，因为y＝3x3是R上的增函数，y＝－是R上的增函数，所以g(x)是R上的增函数，则g(a2)>－g(3a－4)⇔g(a2)>g(4－3a)，即a2>4－3a，整理得a2＋3a－4>0，解得a>1或a<－4，所以实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．故选B. 14．[多选]若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1≠x2，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”. 给出下列四个函数，其中能被称为“理想函数”的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案：BC 解析：根据题意，f(x)为奇函数，且在定义域上是增函数．对于A，f(x)＝x＋，根据对勾函数单调性可知，其在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，不满足单调性要求，故A错误；对于B，f(x)＝x，其定义域为R，f(－x)＝－x＝－f(x)，又其在定义域上单调递增，故B正确；对于C，当x>0时，则－x<0，故f(x)＝x2＝－f(－x)，当x<0时，则－x>0，故f(x)＝－x2＝－f(－x)，且f(0)＝0，故f(x)为奇函数，又y＝－x2在(－∞，0)上单调递增，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)连续，f(0)＝0，故f(x)为R上的增函数，满足题意，故C正确；对于D，f(x)＝的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，不满足题意，故D错误．故选BC. 15．关于x的不等式(x－1)9999－29999·x9999≤x＋1的解集为________． 答案：[－1，＋∞) 解析：由题意，得(x－1)9999－(2x)9999≤x＋1，而y＝x9999在R上单调递增，当x－1>2x，即x<－1时，(x－1)9999－(2x)9999>0>x＋1，原不等式不成立；当x－1≤2x，即x≥－1时，(x－1)9999－(2x)9999≤0≤x＋1，原不等式恒成立．综上，不等式的解集为[－1，＋∞)． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$