（暑假作业）基础与拔高专题：不等式与不等式组 -2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 分层设计基础与拔高模块，以题载法系统整合不等式与一次函数知识，渗透抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|17题|定义辨析、代数解法、图像转化、实际建模|从不等式概念到不等式组，结合一次函数性质与图像，构建“概念-解法-应用”逻辑链| |拔尖闯关|3题|动态几何分析、分段函数讨论、新函数定义|深化函数与不等式综合，通过动态问题与新定义考查推理能力，拓展知识应用边界|

（暑假作业）基础与拔高专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 01 基础闯关 1．下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 2．不等式的非负整数解有（     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．一次函数的变量y随着x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D．以上都不对 4．某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于40元（利润售价进价），则最多可打（     ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 5．不等式组解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知点，点，经过点的直线（）交x轴于点B，将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到“V”字形图象，当“V”字形图象与线段有交点时，k的值可能是（     ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是；⑤不等式的解集是．小颖得到的结论正确的是（     ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤ 9．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10．在不等式组的解集中，整数解共有_______个． 11．已知点和点在一次函数的图象上，当时，的取值范围为________． 12．若关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第______象限． 13．在平面直角坐标系中，已知，，，以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点，若的最大值不超过5，则t的取值范围是______． 14．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 15．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 16．某商店经营A，B两种型号的电脑．已知销售3台A型电脑和2台B型电脑，获得利润600元；销售1台A型电脑和2台B型电脑，获得利润400元． (1)求每台A型电脑、B型电脑的销售利润； (2)该商店计划再次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑m台，这100台电脑全部销售完，获得的总利润为w元． ①求w关于m的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 17．已知一次函数的图像与坐标轴分别交于点A，B，函数 与的图像交于点，如图所示． (1)填空： __________，__________； (2)求直线和直线与x轴所围成的的面积； (3)根据图像，直接写出不等式的解集． 02 拔尖闯关 18．“烟雨莽苍苍，龟蛇锁大江”武汉作为历史文化名城，近年来文旅产业蓬勃发展．某文创商店销售两款具有代表性的武汉特色纪念品“晴川阁模型”和“大桥书签”．该店先花费2400元购进了60个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”，很快销售一空；后又花费3000元以同样的价格购进了90个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”．已知每个“晴川阁模型”的售价为35元，每盒“大桥书签”的售价为18元． (1)求每个“晴川阁模型”和每盒“大桥书签”的进价； (2)该店计划继续购进这两种纪念品共200件，其中购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元．设购进“晴川阁模型”个，销售这批纪念品的利润为元．购进这两种纪念品各多少元时，销售这批纪念品可以获得最大利润？最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对“大桥书签”出厂价下调了元（），且限定该店最多购进“晴川阁模型”100个．在（2）的条件下，若该店最终获得的最大利润是2500元，直接写出的值是_________． 19．在平面直角坐标系中，函数，其中为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①若点在图象上，则的值为 ； ②若点在图象上，则的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求的取值范围． (3)当直线与图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y (1)如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， ①求证：； ②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． (2)如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？ (3)若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B B B B C 1．C 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，逐一判断选项即可． 【详解】根据一元一次不等式的定义判断： 选项A、 中没有未知数，不符合定义，A错误； 选项B、 中未知数的最高次数为2，不符合定义， B错误； 选项C、 只含有1个未知数，且的次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义， C正确； 选项D、 中含有2个未知数，不符合定义，D错误． 2．A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中所有的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：解不等式 ， 两边同除以，得 ， 移项得 ， ∴ 不等式的解集为 ， 满足要求的非负整数为 ，一共 个． 3．C 【分析】根据y随x增大而减小的性质得到一次项系数的不等式，求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴ 解得． 4．B 【分析】设折数为x，结合利润售价进价的关系列出不等式求解即可． 【详解】解：设该自行车打折， 由题意得，， 解得， ∴最多可打七折． 5．B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分． 【详解】解：解不等式， 可得， 解不等式， 可得， 故不等式组的解集为． 6．B 【分析】根据一次函数的图象即可求解不等式的解． 【详解】解：由图象可知，当时，． 7．B 【分析】先求得翻折后的直线的解析式为，得到“V”字形图象由两部分组成和，根据题意求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 令，则，解得， ∴点， ∵将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折， ∴翻折后的直线经过点，， 设翻折后的直线的解析式为，将代入得，解得， ∴翻折后的直线的解析式为， ∴“V”字形图象由两部分组成和， ∵“V”字形图象与线段有交点时，且点，点， ∴“V”字形图象上存在点且， 对于直线， 令，则，解得，即， ∴原直线与线段无交点； 对于翻折后的直线， 令，则，解得，即， ∵， ∴或， 解得或，即， 观察四个选项，只有符合题意，即选项B符合题意． 8．C 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数与一元一次方程、不等式的关系对③⑤进行判断；利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小， 故①正确； ∵一次函数与轴的交点在轴的正半轴，的图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， 故②错误； ∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴方程的解为， 故③正确； ∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴方程组的解是， 故④正确； 由图象可得，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集是， 故⑤错误； 综上所述，正确的结论为①③④． 9． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解得. 10． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为：，，，共个 11． 【分析】将点和点的坐标分别代入一次函数解析式，消去参数，得到与的关系式，再根据解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点和点在一次函数的图象上， 将两点坐标分别代入解析式得， 由①得，代入②得： 整理得 移项得 ∴． 12．一 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解得到的取值范围，再根据一次函数的斜率和截距判断直线不经过的象限． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 解得． 对于直线，，常数项， 根据一次函数的性质，直线经过第二、三、四象限， 因此不经过第一象限． 13． 【分析】由题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，，令，则或，即可得出或，再分两种情况，计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知，，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， 令，则或， ∴或， ∵以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点， ∴， ∵的最大值不超过5， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，t的取值范围是． 14．①③ 【分析】根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． ∴． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， ∴． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④、是直线上不重合的两点， 由的图象可知， 当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 15．， 【详解】解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为， 数轴略． 16．(1)每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元 (2)①（，且m为整数）；②该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，销售总利润最大，最大利润为13750元 【分析】（1）设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据销售3台A型电脑和2台B型电脑，获得利润600元；销售1台A型电脑和2台B型电脑，获得利润400元建立方程组求解即可； （2）①分别表示出A型电脑和B型电脑的销售利润，二者求和可得总利润，再根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍列出不等式求出m的取值范围即可； ②利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元， 由题意得，， 解得， 答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； （2）解：①由题意得，， ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍， ∴， ∴， ∴，且m为整数； ②由（2）①得， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵，且m为整数， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，销售总利润最大，最大利润为13750元． 17．(1)2，4 (2) (3) 【分析】（1）先把代入中可求得，则，然后把P点坐标代入中可求出k的值； （2）先确定，然后根据三角形面积公式计算； （3）结合函数图像，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ， 解得， 点． 函数的图像经过点， ， 解得． （2）当时，， 解得， 点， ，点P到x轴的距离是4， ； （3）观察图像可知，当时，． 18．(1)每个“晴川阁模型”的进价为20元，每盒“大桥书签”的进价为10元 (2)当购进“晴川阁模型”2000元、“大桥书签”1000元时，销售这批纪念品可获得最大利润，最大利润为2300元 (3)2 【分析】（1）设每个“晴川阁模型”的进价为m元，每盒“大桥书签”的进价为n元，根据花费2400元购进了60个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”，花费3000元以同样的价格购进了90个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”建立方程组求解即可； （2）根据利润计算公式列出w关于x的一次函数关系式，根据数量限制和总金额限制列不等式组，确定x的取值范围，据此利用一次函数的性质求解即可； （3）同（2）列出w关于x的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个“晴川阁模型”的进价为m元，每盒“大桥书签”的进价为n元， 由题意得，， 解得， 答：每个“晴川阁模型”的进价为20元，每盒“大桥书签”的进价为10元； （2）解：由题意得， ， ∵购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元， ∴， 解得，且x为整数， ∵在中，， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：当购进“晴川阁模型”2000元、“大桥书签”1000元时，销售这批纪念品可获得最大利润，最大利润为2300元； （3）解：由题意得，， 由（2）得，且x为整数， 当时，， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， 解得； 当时，，此时不符合题意； 当时，则， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值， ∴， 解得，不符合题意； 综上所述，． 19．(1)①；②或 (2)或 (3) 【分析】（1）先根据的值写出分段函数，再根据点的横坐标判断属于哪一段，代入对应解析式计算纵坐标；已知纵坐标时，分两种情况代入两段解析式，求解后检验横坐标是否符合对应区间； （2）先根据一次函数的值判断增减性，再按分界点与的位置关系分情况讨论，分别求出每种情况下的最大值和最小值，再根据列不等式求解，最后综合所有情况即可得出的取值范围； （3）分别联立直线与分段函数的两段解析式，求出交点的横坐标，再根据分段函数的取值范围列不等式，得到的两个限制条件，两个条件同时满足时直线与图像有两个交点，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数为， ①点在图象上， ∵， ∴把代入，得 ； ②点在图象上， 当时，代入，得 ，解得； 当时，代入，得 ，解得； 综上，的值为或； （2）解：：，随的增大而减小； ：，随的增大而增大； 函数以为界，按分界点与的位置，分三种情况讨论： 情况1：， 在范围内，所有都满足，函数为， ∵随的增大而减小， ∴当时，； 当时，； ，满足，符合要求； 情况2：， 时，函数为， 当时，； 当时，； 时，函数为， 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得； 情况3：， 在范围内，所有都满足，函数为， ∵随的增大而增大， ∴当时，； 当时，， ，小于，不满足； 综上，的取值范围是或； （3）解：与的交点： 联立方程组得， 解得， ∵， ∴，解得； 与的交点： 联立方程组得， 解得， ∵， ∴，解得， ∵直线与图象有两个交点， ∴． 20．(1)①证明：∵一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， 令，则；令，则， 解得：或， ∴，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； ② (2) (3)或 【分析】（1）①根据已知条件通过一次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，从而得出是等腰直角三角形，进而推出结论； ②在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接，根据已知条件利用平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式求出点K的坐标表达式，再利用等面积法列出方程求得的值，从而求出点P的坐标； （2）根据已知条件结合图象，利用矩形的性质分析讨论矩形与一次函数y的临界点，从而得出一元一次不等式组求解出a的取值范围； （3）根据已知条件结合图象分析讨论点M的位置，从而求出k的取值范围． 【详解】（1）①略； ②解：如图，在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∵点P的纵坐标为，且在线段上， 又∵， 将代入得：， ∴， 将点P代入直线的解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 则点P的横坐标为， ∴． （2）解：如图，设与的交点为Q， ∵轴，，， ∴，， ∵以、为邻边构造矩形，且一次函数y与矩形只有2个交点， ∴点必为矩形边上的交点， 又∵， ∴x的取值关于y轴对称， 此时分情况讨论矩形与一次函数y的临界点情况： ①当矩形与线段有交点时，即点F在线段上， 令，代入得， ∴； ②当矩形与线段有交点时，即点Q在线段上， 令，代入得，则， ∴， 要使一次函数y与矩形只有2个交点， 则需满足线段与矩形无交点，矩形与线段有两个交点， ∴，解得：， ∴a的取值范围是． （3）解：由一次函数y可知，与恒过点， ∵时，点，都在一次函数y上，且， ∴点固定在直线上， 要使恒成立，此时分情况讨论： ①当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则左边最小值大于右边最大值， ∴当时，， 当时，， ∴，解得：， 即； ②当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则点M在点N的右侧， ∴，解得：， 综上所述，k的取值范围是或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $