暑假预习：用HL证明全等、全等的性质与HL综合问题专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦HL全等判定及性质综合应用，通过分层例题与变式构建从基础判定到性质迁移的逻辑训练体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用HL证明全等|3例+3变式|直角三角形背景下斜边直角边对应关系证明，含动态运动、实际情境（梯子靠墙）|从HL判定公理出发，通过具体图形抽象全等条件，建立“直角边-斜边”对应识别模型| |全等的性质与HL综合问题|3例+3变式|结合全等性质（对应边/角相等）的计算与证明，涉及线段长度、角度、角平分线判定|以HL判定为基础，延伸全等性质应用，形成“判定-性质-应用”递进逻辑链，强化综合推理能力|

暑假预习：用HL证明全等、全等的性质与HL综合问题专项训练 暑假预习：用HL证明全等、全等的性质与HL综合问题专项训练 考点目录 用HL证明全等 全等的性质与HL综合问题 考点一 用HL证明全等 例1．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【答案】当点运动到线段的中点位置时，能使与全等 【分析】先得到两个三角形均为直角三角形，结合斜边，利用定理分类讨论直角边对应相等，再结合点不与点重合的限制，排除，最终确定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， ①当时，点与点重合，不符合题意， ②当时，在与中， ∵， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点， 综上所述，当点运动到线段的中点位置时，能使与全等． 例2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 例3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 变式1．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 【分析】利用证明即可． 【详解】略 变式2．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1) 全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 变式3．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 考点二 全等的性质与HL综合问题 例1．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【详解】略 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据“”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据条件可知和都是直角三角形，利用证明； （2）根据全等三角形的性质进行等量代换，再利用三角形内角和180°，得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）已知：如图，，，垂足分别为，，，且．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用证明，由全等三角形的性质得出，利用线段的和差即可得出． 【详解】证明：略 变式2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，过点作于点，于点，且．求证：． 【答案】证明：∵点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由点是边的中点得，由，得，结合可证，即可得． 【详解】略 变式3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：用L证明全等、全等的性质与L综合问题专项训练 暑假预习：用皿证明全等、全等的性质与皿综合问题专项训练 考点一 用HL证明全等 考点目录 用HL证明全等 全等的性质与L综合问题 例1.(25-26八年级下·宁夏银川期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16,BC=8,P、两点分别 在线段AC和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且点P不与点A,C重合，P四=AB,那么当点P运动到什么 位置时，才能使△ABC与△AP2全等？ M 例2.(25-26七年级下江苏苏州期末)如图，已知Rt△ABC≌Rt△DBE,其中∠C=∠DEB=90°，DE的延长线 与AC相交于点F,连接BF. B 暑假预习：用HL证明全等、全等的性质与亚综合问题专项训练 (I)求证：aBCF≌aBEF: (2)若EF=1,DE=4,求AF的长. 暑假预习：用L证明全等、全等的性质与L综合问题专项训练 例3.(25-26八年级下陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E,AB=BC,BE=CD 若CD∥AE,求证：AE=BD. D E B 变式1.(25-26八年级下广东佛山阶段检测)如图，A,E,B,D在同一直线上，FE⊥AD,CB⊥AD, AE=DB,AC=DF,求证：△ABC≌aDEF B 暑假预习：用L证明全等、全等的性质与亚综合问题专项训练 变式2.(25-26八年级下·贵州贵阳期中)如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直墙上的示意图， 已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等. E D\F (1)△ABC与△DEF全等吗？请说明理由 (2)若DF=3m,DE=6m,AD=2.6m,求线段BF的长度. 变式3.(25-26八年级上云南德宏期中)如图，已知点A,E,FD在同一条直线上，AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD 垂足分别为F、E,AB=CD B (I)求证：△ABF≌△DCE. (2)若∠A=27时，求∠C的度数. 4 暑假预习：用L证明全等、全等的性质与L综合问题专项训练 考点二 全等的性质与HL综合问题 例1.(25-26八年级上山东德州期中)如图，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,AB=CD,AE=CF.求证： AB∥CD D E B C 例2.(25-26八年级上江苏宿迁开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E, BD,CE 相交于F.求证： (1)AD=AE (2)AF平分∠BAC. 暑假预习：用L证明全等、全等的性质与L综合问题专项训练 例3.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，点C在BE上，AB⊥BE,DE⊥BE,且AB=BE,AC=BD AC交BD于F. D B (I)求证△ABC≌△BED. (2)求∠BFC的度数， 变式1.(25-26八年级下福建漳州期末)已知：如图，BC⊥AD,EF⊥AD,垂足分别为C,F,AB=DE, 且BC=EF.求证：AF=CD D 暑假预习：用L证明全等、全等的性质与L综合问题专项训练 变式2.(25-26八年级下陕西汉中期末)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD,过D点作 DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.求证：DE=DF. A E F B 变式3.(25-26八年级下江西九江期中)如图，△ABC中，点D为BC上一点，连接AD,过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC 垂足分别是耳，R,且满足E=AF, A E B D (I)求证：AD平分∠BAC (2)若AB+AC=10,ED=3,求△ABC的面积.