2.3.3 点到直线的距离公式导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦点到直线的距离公式，引导学生从特殊情形（原点、坐标轴上点到直线）入手，通过转化思想作平行线将一般情形转化为特殊情形，构建从特殊到一般的学习支架，衔接直线方程知识。 资料亮点在于系统汇总易错点、分类呈现典型题型（如对称问题、光线反射），结合转化与对称思想，培养学生逻辑推理和数学运算素养，助力学生掌握公式推导与应用，适合自主学习及教师教学评估。

第十五讲 点到直线的距离公式 【学习目标】1.能用坐标法、向量方法推导点到直线的距离公式,体会向量法和几何法的各自特点，发展逻辑推理、数学运算素养； 2.能用点到直线的距离公式解决问题. 【教学重点】点到直线的距离公式的探究与应用. 【教学难点】点到直线的距离公式的推导. 必掌握知识点： 一 如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0). 图1 三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=； (ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=； (ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=. 二 当点P不在特殊位置时，在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0). ∴P′N=. (*) ∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|= 即d=,.[来源:学科网]可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. 三 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=. 四 易错点汇总 1.点到直线距离公式易错 直线必须整理成一般式，分子必须带绝对值；不要漏掉分母。 2.两点到直线距离相等，漏情况 两种可能性：①直线平行两点连线；②直线过两点中点。做题容易只写其中一种，漏掉另一组解。 3.点关于直线对称两个条件缺一不可 必须同时满足：①连线和对称轴垂直；②中点在对称轴上。很多同学只写垂直条件，忽略中点条件，直接算错对称点。 4.动直线求最大距离误区 点到动直线的最大距离 = 点到直线恒过定点的距离；不存在比这个更大的距离，所以大于该值的直线不存在（54 题）。 5.光线反射 、 将军饮马模型 求最短路径必须作对称点，不能直接连接两点；多次反射需要多次作对称；求出交点后要检验交点是否在线段上。 6.截距≠距离 截距可以为负数，求三角形面积时一定要加绝对值，直接用截距计算会出现面积负数。 7.角平分线性质混淆 角平分线上的点到两条边直线的距离相等，不是到两个顶点距离相等。 8.直线方程形式的限制 点斜式、斜截式不能表示斜率不存在的直线（垂直 x 轴）；解答题设点斜式做题，最后一定要检验斜率不存在的直线是否符合题意。 9.垂直平分线概念混淆 两点的对称轴（垂直平分线）：既要垂直两点连线，又要过两点中点，只满足其中一个条件不是垂直平分线。 10.距离相等≠点在中垂线上 两点到某条直线距离相等，不等于这条直线是两点垂直平分线，这是高频概念错误。 必考题型分归纳 题型一：点到直线的距离公式 已知点，直线一般式 （不同时为 0） 点到直线距离公式： 注意：直线必须写成一般式，分子带绝对值，分母是平方和开根号 常用拓展： 原点到直线距离： 动直线恒过定点：将含参数项合并，令参数系数 = 0，解方程组得到定点； 点到动直线的最大距离：等于该点到直线恒过定点的两点间距离；当且仅当该点与定点连线和动直线垂直时取到最大值。 1．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 2．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 3．已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令即可判断①；根据直线平行、垂直的判定即可判断②③；利用点线距离公式求原点到各直线距离判断④. 【详解】当时，，故，①对； 由，故不成立，②错； 由恒成立，即，③对； 由各直线方程知：坐标原点到各直线距离均为，④对. 所以共有3个正确. 故选：C 题型二：两点到直线距离相等两种情况 已知两点，直线满足到距离相等，分两类： 直线，直线与线段平行； 直线经过线段的中点。做题两种情况都要考虑，容易漏掉其中一种 4．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或.故选：D. 5（多选）．已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 6（多选）．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等，所以， 解得或，即所求直线方程为或，故选：AC． 题型三：点关于直线对称（中点 + 垂直双重条件） 点关于直线的对称点，必须同时满足两个条件： ，即连线与对称轴直线垂直； 的中点落在对称轴直线上。 常见衍生题型： 已知两点是一对对称点，求对称轴直线（就是两点连线的垂直平分线）； 坐标纸折叠问题：折痕就是两点的垂直平分线。 7．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 8．若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 9．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 题型四：光线反射（将军饮马模型，对称思想应用） 光的反射原理：反射光线可以看作入射点关于镜面的对称点发出的光线。 求最短路径：作定点关于镜面直线的对称点，对称点与另一个定点的线段长就是最短路程； 求反射光线方程：求出对称点，结合入射点（反射点），两点写直线方程； 多次反射：需要做多次对称，多个对称点共线。 10．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 11．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 12．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 13．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，    直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 题型五：三角形相关综合（高线、中线、角平分线、面积） 高线：过顶点，垂直于对边；高线的长度 = 顶点到对边所在直线的距离； 中线：过顶点和对边中点； 角平分线性质：角平分线上任意一点，到角的两条边距离相等； 三角形面积：，高就是点到对边直线的距离。 题型： ①已知中线、高线方程求三角形顶点； ②角平分线利用 “到两边距离相等” 列方程； ③已知面积反求点坐标，本质利用点到直线距离。 14．在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得，所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为，因为的面积为， 所以 ，所以 ，设，则，解得. 16．已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 题型六：动直线恒过定点，距离最值综合 含参数动直线：整理，令参数系数全部等于 0，解方程组得到定点； 点到动直线距离：距离【该点到定点的距离】；等号条件：点与定点连线动直线； 直线与坐标轴围成三角形：求截距，，常结合基本不等式求面积最小值。 17（多选）．已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【详解】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 18．对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 19．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 题型七 ：直线系、存在性、概念辨析多选 点斜式不能表示斜率不存在（垂直 x 轴）的直线； 截距可以是负数，不是距离； 过一点直线，到定点距离存在最大值，超过最大值的直线不存在。 20．下列说法中，错误的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点关于直线的对称点为 C．直线经过定点 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 【答案】D 【分析】对于A，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对于B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对于C，令即可判断；对于D，举反例可得直线过原点的情况. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，点和的中点在直线上， 且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令，解得， 可得直线经过定点，故C正确； 对于D，若直线经过原点，满足题意，此时直线方程为，故D错误. 故选：D. 21．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，此时，，从而①正确；同理，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，不妨取，此时，故，故④正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确； 对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且， 不妨取，此时，故， 所以此时和，满足， 故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确. 故选：A 22．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 巩固提升： 1．已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出N关于轴对称的点为，再利用对称性可求得的最小值. 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 2．过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 3．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 4．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 5．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 6．一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 7．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 8．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 9．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 10．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 11．已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 12．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，得出各顶点以及重心的坐标，设，.求出直线的方程，根据光的反射原理得出点关于以及轴的对称点的坐标，表示出的方程，代入重心坐标，求出的值，得出的方程.进而求出的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案. 【详解】    如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，. 根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线. 由已知可得点满足，解得， 所以. 易知. 因为四点共线， 所以有直线的斜率为， 所以，直线的方程为. 由于直线过重心， 所以有，整理可得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为，整理可得. 所以，点坐标为. 联立与的方程，解得，即， 所以，. 故选：B. 13（多选）．如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】以为原点建立直角坐标系，再分别求出各点坐标，利用两点距离公式即可判断选项ABC，再利用三角形面积公式即可判断选项D. 【详解】如图，以为原点建立直角坐标系， 则，又，，， 所以，，，又 点，分别是和边的中点，所以 ，，则直线的方程为 ，直线的方程为， 联立解得，即, 又直线的方程为， 联立解得，即， 选项A．则， ， 所以，A正确. 选项B.，B正确. 选项C.，C错误. 选项D．因为到直线：的距离为 ，所以 ，D正确. 14（多选）．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】应用点线距离公式求点线距离判断A，将点代入直线方程确定等式是否成立判断B，先求出坐标轴上的截距，进而求出围成的三角形的面积判断C，应用两点式求斜率，结合直线方程判断两直线是否垂直判定D. 【详解】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC 15． (多选)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 16（多选）．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 17（多选）．下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的一个方向向量 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．直线：，为直线上动点，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据直线与直线垂直的充要条件判断A选项；根据直线方向向量与斜率的关系判断B选项；根据直线倾斜角与斜率的关系判断C选项；根据的最小值即转化为点到直线距离的平方，即可判断D选项． 【详解】解：对于A选项，由直线与直线互相垂直可得：， 解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A不正确； 对于B选项，直线的斜率为2，则该直线的一个方向向量，故B不正确； 对于C选项，经过点，倾斜角为的直线有可能斜率不存在，即时，无意义，故C不正确； 对于D选项，直线：，为直线上动点，则表示到的距离的平方， 故的最小值即为到直线距离的平方，即，故D正确. 故选：ABC. 18.已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 19．设直线系，且，则在矩形区域内，直线系的包络线外部的面积为___________ 【答案】4 【分析】先分析直线系的性质，确定其围成的图形，再结合给定的的取值范围，计算出阴影部分面积. 【详解】到直线的距离为， 又，， 故直线系所围成的图象是以为圆心，为半径的圆， 又，故所围成的阴影部分面积为. 故答案为：. 20．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 【答案】6 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且， 则由题意可知，点关于点的对称点在上, 可得，解得， 即，则，且直线， 联立的方程得，解得，即的交点坐标为， 则点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：6． 21．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 22．已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 23.已知点到直线：的距离为1，则＝________． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 24．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 25．点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 26．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 27.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 28点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 29已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 30．已知实数，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五讲 点到直线的距离公式 【学习目标】1.能用坐标法、向量方法推导点到直线的距离公式,体会向量法和几何法的各自特点，发展逻辑推理、数学运算素养； 2.能用点到直线的距离公式解决问题. 【教学重点】点到直线的距离公式的探究与应用. 【教学难点】点到直线的距离公式的推导. 必掌握知识点： 一 如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0). 图1 三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=； (ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=； (ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=. 二 当点P不在特殊位置时，在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0). ∴P′N=. (*) ∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|= 即d=,.[来源:学科网]可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. 三 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=. 四 易错点汇总 1.点到直线距离公式易错 直线必须整理成一般式，分子必须带绝对值；不要漏掉分母。 2.两点到直线距离相等，漏情况 两种可能性：①直线平行两点连线；②直线过两点中点。做题容易只写其中一种，漏掉另一组解。 3.点关于直线对称两个条件缺一不可 必须同时满足：①连线和对称轴垂直；②中点在对称轴上。很多同学只写垂直条件，忽略中点条件，直接算错对称点。 4.动直线求最大距离误区 点到动直线的最大距离 = 点到直线恒过定点的距离；不存在比这个更大的距离，所以大于该值的直线不存在（54 题）。 5.光线反射 、 将军饮马模型 求最短路径必须作对称点，不能直接连接两点；多次反射需要多次作对称；求出交点后要检验交点是否在线段上。 6.截距≠距离 截距可以为负数，求三角形面积时一定要加绝对值，直接用截距计算会出现面积负数。 7.角平分线性质混淆 角平分线上的点到两条边直线的距离相等，不是到两个顶点距离相等。 8.直线方程形式的限制 点斜式、斜截式不能表示斜率不存在的直线（垂直 x 轴）；解答题设点斜式做题，最后一定要检验斜率不存在的直线是否符合题意。 9.垂直平分线概念混淆 两点的对称轴（垂直平分线）：既要垂直两点连线，又要过两点中点，只满足其中一个条件不是垂直平分线。 10.距离相等≠点在中垂线上 两点到某条直线距离相等，不等于这条直线是两点垂直平分线，这是高频概念错误。 必考题型分归纳 题型一：点到直线的距离公式 1．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 2．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 3．已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：两点到直线距离相等两种情况 4．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 5（多选）．已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 6（多选）．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 题型三：点关于直线对称（中点 + 垂直双重条件） 7．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 9．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：光线反射（将军饮马模型，对称思想应用） 10．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 12．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 13．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 题型五：三角形相关综合（高线、中线、角平分线、面积） 14．在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 16．已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 题型六：动直线恒过定点，距离最值综合 17（多选）．已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 18．对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 19．点到直线的最大距离是______． 题型七 ：直线系、存在性、概念辨析多选 20．下列说法中，错误的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点关于直线的对称点为 C．直线经过定点 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 21．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 22．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 巩固提升： 1．已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 2．过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 5．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 6．一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 8．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 11．已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 12．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 13（多选）．如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 14（多选）．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 15． (多选)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 16（多选）．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 17（多选）．下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的一个方向向量 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．直线：，为直线上动点，则的最小值为 18.已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 19．设直线系，且，则在矩形区域内，直线系的包络线外部的面积为___________ 20．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 21．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 22．已知点到直线的距离为1，则____________. 23.已知点到直线：的距离为1，则＝________． 24．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 25．点关于直线的对称点为_____. 26．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 27.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 28点与点关于直线l：对称，则的值为________． 29已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 30．已知实数，则的取值范围是______. 学科网（北京）股份有限公司 $