专题 28.2 中心对称（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学中心对称核心知识点，系统梳理中心对称的定义、性质（全等性、平分性、平行性）、作图步骤，以及中心对称图形识别、原点对称坐标规律，构建从概念理解到性质应用再到综合实践的学习支架。 资料通过分层题型精析（夯实基础与综合提升），结合实例培养学生几何直观与推理能力，如中心对称与平行四边形综合题。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题28.2中心对称（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一学习目标重难点！ 1 学习目标与重难点 .1 二知识梳理与解读…。 .2 【知识点一】中心对称的定义…。 .2 【知识点二】中心对称的核心性质… .2 【知识点三】中心对称标准作图步骤。 ..2 【知识点四】中心对称图形定义 .2 【知识点五】原点对称坐标规律… .3 三.题型精析（夯实基础)… .3 【题型1】中心对称概念辨析. ..3 【题型2】中心对称规范作图. ..6 【题型3】中心对称图形识别 ..11 【题型4】原点对称坐标基础计算.… ..13 四.题型精析（综合提升) .15 【题型5】中心对称性质线段、角度计算… ..15 【题型6】坐标系原点对称图形作图， .…19 【题型7】中心对称与平行四边形综合。 .23 五.同步检测… .27 (一)选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）.28 (二)填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） .33 (三)解答题（本大题共6小题，共58分）… ..38 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 1.掌握中心对称、中心对称图形的定义，精准区分两者的概念区别与内在联系。 1/53 2.熟练掌握中心对称的核心性质，能准确识别对称中心、对称点，推导相等线段与相等 角度。 3.掌握中心对称标准作图步骤，能完成定点对称、网格、坐标系内图形对称作图。 4.熟记平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标变化规律，熟练进行坐标变换与参数 计算。 5.能辨析轴对称与中心对称图形，熟练解决基础题型与四边形综合题型，规避高频易错 点。 重点：中心对称的定义与性质、中心对称图形的识别、中心对称作图、关于原点对称的坐 标规律与应用。 难点：区分中心对称与中心对称图形、轴对称与中心对称的综合辨析、利用中心对称性质 解决四边形坐标综合问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】中心对称的定义 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图 形关于该点中心对称。 关键名词： (1)对称中心：旋转固定不动的定点， (2)对称点：旋转后相互重合的两个对应点。 核心本质：中心对称描述两个独立图形的位置关系。 【知识点二】中心对称的核心性质 (1)全等性：关于中心对称的两个图形完全全等，形状、大小不变。 (2)平分性：两组对应点的连线全部经过对称中心，且被对称中心平分。 (3)平行性：对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 【知识点三】中心对称标准作图步骤 (1)找关键点：选取图形顶点、端点等核心关键点； (2)作对称点：连接关键点与对称中心，延长线段一倍，得到对应对称点： (3)连图形：按照原图形顺序，顺次连接所有对称点，得到中心对称图形。 2/53 【知识点四】中心对称图形定义 把一个图形绕自身某一定点旋转180°，旋转后的图形能够与原图形自身重合，该图形即为 中心对称图形，定点为对称中心。 高频辨析： (1)中心对称：两个图形的位置关系， (2)中心对称图形：一个图形的自身特征。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 【知识点五】原点对称坐标规律 平面直角坐标系中，点P(X,y) 关于原点对称的点为： P(-x,-y) 口诀：原点对称，横纵全变号。 拓展对比： (1)关于x轴对称：横不变、纵变号； (2)关于y轴对称：纵不变、横变号； (3)关于原点对称：横纵全部变号。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】中心对称概念辨析 【例题1】(2025八年级上·全国·专题练习)图中下面的轿车图片是由上面的轿车图片绕某点旋转 180°得到的，请找出这个点. 【答案】解：如图，点P即为所求 3/53 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义.分别连接旋转前后的两组对应 点，其交点即为所求。 解：略 【变式1】(25-26八年级下·全国课后作业)下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（) 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称，由此即可判断。 解：A、两个三角形成中心对称，符合题意： B、两个三角形不成中心对称，不符合题意： C、两个三角形不成中心对称，不符合题意： D、两个三角形不成中心对称，不符合题意： 故选：A 【变式2】(2026陕西椅林二模)如图，反比例函数y= x与正比例函数y=mx(u为常数， m≠0)的图象交于点A、点B,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,若CD=4,则点A的坐标为 4/53 【答案】 （-2,3) 【分析】根据题意可得点A、B关于原点中心对称，求出OC=2,即A的横坐标为-2，代入反比 例函数解析式即可解答. 6 解：反比例函数y=一x与正比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图象交于点A、点B, 点A、B关于原点中心对称， 即比=a :AC⊥x轴于点C,BDLx轴于点D, ..OC=OD ∴.CD=OC+OD=20C. .CD=4, .0C=2, :点A在第二象限， .A的横坐标为-2， 将x=-2代入反比例函数y= x,得y=- 23, 因此点1的坐标为2,3) 【变式3】(24-25八年级下·陕西延安期中)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,点E是CD上 一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F.证明：点A 与点F关于点E成中心对称 5/53 B 【答案】证明：点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段CD的中点，即DE=EC, :AD∥BC, ∴.∠D=LDCF 在△ADE与△FCE中， [∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC' .△ADE≌aFCE(ASA) .AE=FE,AD=CF ∴·点A与点F关于点E成中心对称 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键 证明△ADE≌aFCE得AE=FE,AD=CF,即可得证. 解：略 解题归纳：成中心对称的两个图形，对应点连线必过对称中心，且被中心平分。 易错纠正：混淆“两个图形的中心对称"与“单个中心对称图形”，概念混淆导致判断错误。 【题型2】中心对称规范作图 【例题2】(25-26九年级上河南信阳期中)如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个 单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上. (1)若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为， (2)作△ABC关于点O的中心对称图形△ABC. (3)在(2)的条件下，若 皆M(a,b)为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点V的坐 标 6/53 3 2 5-4-3-2-10 2345x 3 -5 【答案】(1)(2,0) ,(2)如图，△AB'C即为所求. 5-4-3-2-10 2345x BT-H 3 5 (3) N(-a,-b) 【分析】本题考查坐标与图形，画图形的中心对称图形，两个图形成中心对称确定对称中心坐标， 求关于原点对称的点的坐标等知识点： 根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； 分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形： 根据关于中心对称的两点坐标互为相反数可求N的坐标. (1)解：分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P,观察图形可知坐标为 2,0) 7/53 5-4-3-2-10 2345x =3 5 (2)略 (3)由(2)知△ABC和△AB'C关于点O中心对称， M(a,b) N为点M的对称点， 因为对称点坐标互为相反数， N(-a,-b) 所以 【变式1】(23-24九年级上河北唐山期中)如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△4BC关于 E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是() -B 0 B A.(0,0) 8.(3,0) c.3,-) .（3) 【答案】C AA CC 【分析】本题考查了中心对称：坐标与图形性质：连接对应点、 ,根据对应点的连线经过 8/53 对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标 AA CC 解：连接 则交点就是对称中心E点。 -2 B 0 2、 3 B 观察图形知， E(3,-1) 故选：C 【变式2】(25-26七年级下江苏苏州期末)如图，已知△ABC与△AB'C'成中心对称，则对称中 心是点 B 【答案】P 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接BB和 CC',交点即为对称中心， 解：如图所示： 故对称中心是点P. 9/53 【变式3】(24-25九年级上山西阳泉期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 A(-2,-3),B(0,-2),C(-3,0) (1)画出△AB 0 绕点顺时针旋转 80° △AB,C 的图形 并直接写出点的坐标 △4B,C A,B2C2 (2)画出 先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若 MB,C与△MBC 于某点中心对称，则该点的坐标为一—一· -10 4 (3,0) 【答案】(1)如图所示，点 C -10 (2)如图所示： 10/53 2 2 B 10 B A (3)（-2,2) 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，平移作图， (1)，将三个顶点绕点0顺时针旋转180°得 得到点 A,B, ,,再依次连接得到三角形，然后得出坐 标即可： (2),按照要求平移，作出图形即可： (3),连接三对对应点，对应点连线的交点即为答案 解：(1)略 (2)略 (3)解：如图所示，点D为对称中心，其坐标为(-2,2) 故答案为：（-2,2) 11/53 B 解题归纳：核心口诀：定点连线、倍长取点、顺次连线。 易错纠正：仅延长线段，未保证线段等长，导致对称点位置偏移，图形不对称。 【题型3】中心对称图形识别 【例题3】(2025九年级全国专题练习)下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？ 请画出它们的对称中心或所有的对称轴. ① ③ (④ 【答案】中心对称图形：①②③④.轴对称图形：①②③.如图，点O即为对称中心，图中的虚线 即为对称轴. 米为 2 ④ 【分析】本题考查了作图旋转变换、轴对称变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于且 等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找 到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.解题的关键是熟练掌握基本知识 利用中心对称图形和轴对称图形的定义对4个图形进行判断：然后画出对应的对称轴和对称中心. 12/53 解：略 【变式1】(2024甘肃天水模拟预测)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质逐一判断即可. 解：A:是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合； B:既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合： C:不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合 D:是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合： 【变式2】(25-26八年级下·甘肃白银期中)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ·(填序号) ①线段；②角；③等边三角形；④平行四边形.⑤正六边形. 【答案】①⑤ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念。在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两 旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形：在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转180° 旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形：根据两个概念逐一判断各图形即 可 解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转 180°能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求： ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转180°后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，不符合要求： ③等边三角形，是轴对称图形，旋转180°后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求： 13/53 ④平行四边形，绕对角线交点旋转18O°能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重 合，不是轴对称图形，不符合要求： ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形， 符合要求， 故答案为①⑤. 【变式3】(25-26七年级上·上海普陀期末)以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变 换方式（如：平移、旋转、轴对称等)重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样. 包厄 如意纹 柿蒂纹 梅花纹 回字纹 (1)下列单位纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的纹样是 (2)已知图2的二方连续纹样是由图1的一个单位纹样连续排列形成的，那么这个单位纹样的变 换方式是 和 ⑨G 图1 图2 (3)如图3，在网格中有一个单位纹样，将这个单位纹样通过两种变换方式排列，形成一个二方 连续纹样.（使得整个网格有四个单位纹样） 图3 【答案】(1)柿蒂纹；(2)轴对称；平移：(3)解：由(2)的规律可得图，如下： 【分析】本题考查图形的平移，轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对 称图形的定义是解题的关键， (1)根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案： 14/53 (2)根据“连续纹样”的定义并结合图1和图2可得到答案： (3)根据(2)中的图形的变换规律即画出图形. (1)解：如意纹：是轴对称图形，不是中心对称图形： 柿蒂纹：是轴对称图形，也是中心对称图形： 梅花纹：是轴对称图形： 回字纹：是中心对称图形： 故答案为：柿蒂纹 (2)解：由图可得：图1变换到图2的过程为： 第一单位图先轴对称得到第二单位图，再将第一单位和第二单位图整个平移， 故答案为：轴对称；平移 (3)略 解题归纳：识别技巧：旋转180°与原图完全一致，即为中心对称图形。 易错纠正：将轴对称图形（等腰三角形、五角星）误判为中心对称图形。 【题型4】原点对称坐标基础计算 【例题4】(25-26九年级上甘肃定西·期中)已知点 2a+-3a）与点P8b-2 关于原点对称， 求a,b的值. 【答案】a=-2,b=-4 【分析】本题考查了关于原点对称问题，根据关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相 反数列式计算即可. 点P2a+630)与点P(8,6-2 解： 关于原点对称， .2a+b=-8,-3a=2-b. 解得a=-2,b=-4 (-1,2) 【变式1】(25-26九年级下辽宁大连期末)在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标为() A.（1-2) 8(1-2) c.2-) 。.（2,) 【答案】B 15/53 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数. 解：在平面直角坐标系中，点 (-1,2)关于原点的对称点的坐标为 (1,-2) 【变式2】(24-25七年级下全国课后作业)(1)A-3,4和点B(3,4)关于 对称： A(a,b (2)如果点 在第三象限则点B(-2+l,3动-2）关于原点的对称点在第 象限 【答案】 原点 二 【分析】(1)根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称： a<0 (2)先根据A在第三象限即可确定b<0,从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点 的特点进行求解即可 解：(1)A(-3,4),B(3,-4) ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， A、B两点关于原点对称： A(a,b) (2)点 在第三象限， a<0 .b<0, [-2a+1>0 ∴.3b-2<0, .B(-2a+1,3b-2)在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二 【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对 称的两点的横纵坐标互为相反数。 A(m+1,2）B(-2,n-1) 【变式3】(25-26九年级上安徽期末)已知点 (1)若A,B两点关于原点对称，求m,n的值； (2)若A,B两点关于x轴对称，求m,n的值. 16/53 【答案】(1)m=1,n=-1；(2)m=-3,n=-1 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的 关键。 (1)关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答： (2)关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答. (1)解：A,B两点关于原点对称， .∴.m+1=2,n-1=-2 .m=Ln=-1: (2)解：A,B两点关于x轴对称， ∴.m+1=-2,n-1=-2」 ∴.m=-3,n=-1 解题归纳：原点对称，符号全变，数值不变。 易错纠正：只改变横坐标或只改变纵坐标，符号变换不完整 四.题型精析（综合提升) 【题型5】中心对称性质线段、角度计算 【例题5】(25-26八年级下·四川巴中期末)如图，△AB0与△CDO关于点O成中心对称，点E、 F在线段BD上，且BF=DE,连接AF、CE (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若点F是BE的中点，BA⊥AE,AB=7,AE=12,求四边形AECF的面积. B 【答案】(1)证明：：△AB0与aCD0关于点O成中心对称， ..OA=OC,OB=OD, 17/53 .BF=DE, ..OB-BF=OD-DE,OF=OE, ∴.四边形AECF是平行四边形： (2)42 【分析】(1)首先由中心对称的性质得到OA=OC,OB=OD,然后推出OF=OE,即可得到四 边形AECF是平行四边形： (2)取4E的中点G适接PC正明FG是AAE的中位线，得到PG-B-号 2 FGIAB, FG⊥AE,然后利用平行四边形的面积公式求解即可. 解：(1)略 (2)解：如图，取AE的中点G,连接FG, ,点F是BE的中点， .FG是△ABE的中位线， FGGAB. 7 ,BA⊥AE, .FG⊥AE, ÷四边形AECF的面积=AE,FG=12×7=42 2 【变式1】(25-26八年级下河北唐山期末)如图所示，△ABC与△A'B'C关于点O成中心对称， 则下列结论成立的是() ①点A与点A关于点O对称：②BO=BO:③AC‖A'C':④∠ABC=∠CAB 18/53 A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可. 解：△ABC与△ABC'关于点O成中心对称， ∴.点A与点A∥关于点O对称，BO=BO,∠ABC=∠AB'C',△ABC≌△A'B'C',△BOC2AB'OC, :∠4CB=∠ACB.∠OcB=∠OCB .∠ACO=∠AC'O. ..AC A'C', ∴.符合题意的有①②③. 【变式2】(2526八年级下河南新乡期末)如图，四边形ABC0是矩形，点B的坐标为 4,2) 若直线y=mx-1把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是 【答案】y=x-1 【分析】矩形是中心对称图形，因为过中心对称图形对称中心的直线会将图形分成面积相等的两部 分，所以该直线必过矩形ABCO的对称中心，利用矩形对角线互相平分且相等的性质，根据B点坐 标计算矩形对角线交点即对称中心的坐标.将对称中心的坐标代入直线解析式y=mr-1,求解得 到参数m的值，即可得到直线的函数解析式. 解：：原点O(0,0),顶点B(4,2), 19/53 0+40+2 ·0B的中点坐标为2,2 =(2,1) ,矩形是中心对称图形，过矩形对称中心（对角线交点）的直线可以把矩形面积分成相等的两部分， .直线y=mr-l过对称中心(2，) 将坐标代入解析式：1=2m-1, 解得m=1, ∴直线的函数解析式为y=x-1, 【变式3】(25-26八年级下江苏南京期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上 一点，△DEF和△ABC关于点O对称.连接BF,CE」 (1)求证：四边形BCEF是平行四边形： (2)己知AC=4,BC=3,求四边形BCEF是菱形时A0的长. D B O E A 【答案】(1)证明：连接CF B :ADEF和△ABC关于点O对称， ∴.点B与E关于O对称，点C与F关于O对称， ∴.OB=OE,OC=OF,即四边形BCEF的对角线互相平分， ∴四边形BCEF是平行四边形： (2)A0=16 【分析】(1)根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被 对称中心平分：可得对角线互相平分，即可求证： (2)根据勾股定理先计算AB的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算 20/53 OC的长，进而根据勾股定理就可以计算A0的长. 解：(1)略： (2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, 4B-VAC2+BC+3-5 :四边形BCEF是菱形， .FC⊥EB ÷m-4Cxac=4Bx0c, 1 :.3×4=5×0C, 0c-号 在Ra40C中，40=V4C-0C-4 (5 解题归纳：中心对称优先用全等求边角，用平分性求线段关系。 易错纠正：无法灵活转化相等关系，忽略中心对称的全等本质。 【题型6】坐标系原点对称图形作图 【例题6】(25-26八年级下·辽宁鞍山期末)在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为 A(5,1)B(3,2)C(4,4) (1)画出将△ABC先向左平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的△ABG; (2)画出△MBC关于原点O成中心对称 △4，B2C2 21/53 【答案】(1)如图1，△4BC即为所求： 图1 (2)如图2， △A4B,C即为所求： B B 图2 【分析】(1)根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出图形： (2)根据中心对称性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出图形， 解：(1)略 22/53 (2)略 【变式1】(2026内蒙古通辽二模)将一次函数y=x+b的图象向下平移4个单位长度，若点 A(2,-4) 关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则b的值为(） A.-8 B.8 C.-10 D.10 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 解：：·将一次函数y=x+b的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移 后的函数为y=x+b-4。 :点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， 点 A(2,-4) （-2,4) 关于原点的对称点坐标为 :对称点在平移后的函数图象上，将x=-2,y=4代入y=x+b-4得4=-2+b-4 解得b=10 【变式2】(24-25八年级上·全国单元测试)如图，△P2R是由△ABC经过某种变换得到的图形， 则 Sc(选填“>，'“<”或“=”)：如果△MBC中任意一点M的坐标为a,), 那么它的对应点N的坐标为 y (-a,-b) 【答案】 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据中心对称的性质即可写出点坐标；熟练掌握中心对称 23/53 的性质是解题的关键， 解：由图形知△POR与△ABC中心对称， SAPOR=SAABC :点M的坐标为 a,b) “点V的坐标为 -a,-b) 故答案为：=，（4b) 【变式3】(25-26八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐 标分别为 A(-3,4)B(-1,3)C(-3,1) (1)画出△ABC先向右平移5格，再向下平移1格后的△4BG; (2)面出△MBC绕点C递时针旋转90”后的△4B,C B 并写出点的坐标： (3)若 △MB,G与△MBC关于原点O对称，则点的坐标为. C 【答案】(1)如图，△4BG即为所求： 24/53 △A2B2C (2)如图， 即为所求， B(-5,3) 3)8-) 【分析】(1)根据平移变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； B2 (2)根据旋转变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出，由图即可得出点的坐标： (3)根据中心对称的性质即可解答： 解：(1)略 (2)略 (3解：·C3) ÷G8-) 解题归纳：坐标变换为先，描点连线为辅，所有顶点统一变号。 易错纠正：坐标符号出错、描点位置偏差，导致图形对称错误。 【题型7】中心对称与平行四边形综合 25/53 【例题】(2025广东一模)在反比例函数yk>0)中存在四个点4L4,B(4.C(1,4), 点D与点B关于原点中心对称， (1)填空：k=_;点D的坐标是； (2)连接AB,BC,CD,AD,求证：四边形ABCD是平行四边形： (3)连接AC,BD,记AC与BD交点为点G,求点G坐标. 【答案1a4,（4-）,2解：44，B4C-14D4), :AB=4-1+1-4=32,CD=1+4+(4+1y=32. .'AB=CD 同理可知D=V+4+(4+'=5V2,BC=V(4+1}+1+4=52 .AD=BC, :AB=CD且AD=BC ∴.四边形ABCD是平行四边形 (3)(0,0) 【分折】4)把把4,4代入yk>0),可得k-4·结合点D与点B(4,)关于原点中心对称， 可得D的坐标； (2)利用勾股定理证明AB=CD,AD=BC,从而可得结论： (3)依题可知点G为平行四边形两条对角线交点，则点G为线段AC的中点，结合中点坐标公式 可得答案： （1)解：把AL,4)代入y=(>0), ∴.k=4, :点D与点 (4,1) 关于原点中心对称， ÷D(4-) (2)略 26/53 (3)解：依题可知点G为平行四边形两条对角线交点， 则点G为线段AC的中点， 1-14-4 由中点坐标公式知G 、2’2 即G点坐标为 0,0) 【点拨】本题考查的是求解反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，中 点坐标公式的应用，掌握反比例函数的性质是解本题的关键 【变式1】(2025上海二模)六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形， 直角梯形”，从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又 是轴对称图形的概率是() 1 1 1 1 A.5 B.10 C.15 D.30 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，概率公式，掌握相关知识点是解题关键。 先逐一判断每个图形，再根据概率公式计算即可. 解：菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形： 平行四边形：仅为中心对称图形，不是轴对称图形： 矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形： 等腰梯形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形： 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形： 直角梯形：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形： 符合条件的图形有菱形、矩形、正方形，共3个， 将“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”记为：“A,B,C,D,E,F”, 从六张卡片中任选两张卡片，列表如下： A D E （AB) (A,C) (A,D) (A,E) (A,F) A (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) (B,F) 27/53 (C,) (C,B) (C,D) (C,E) (C,F) 0 (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) (D,F) 的 (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) (E,F) (F,A) (F,B) (F,C) F (F,D) (F,E) 由表可知，共30种情况，符合条件的有6种， 61 .概率为305， 故选A. 【变式2】(2025河北·一模)如图，四边形ABCD为平行四边形，点P从点A出发向点B运动， AP 1 O为平行四边形的中心，射线PO和CD相交于点Q,若BP=4,SAo=3,则四边形ABCD的面 积为 【答案】60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键. AP 1 CO 1 连接D0’由BP=4得D0-4,所以S.o0=4S.c0=12,S.o0=So0+Soc0=15,由平行四边 形的性质得 OB=OD S.onc=S.OCD=15 S.ncD=S.ocD+S.onc=30 SABCD=2SBCD ,所以 ,最后根据 即可求解 解：连接DO, 28/53 B D C ~四边形ABCD是关于点的中心对称，P巴为过中心O的线段， .AP=CQ,DQ=BP」 .AP1 BP-4, :91 D04, S00e=4S,00=12 .S.0cD=S.00+S.oc0=15 :四边形ABCD为平行四边形， .OB=OD,B、D、O三点在同一直线上， :.S.onc=S.ocD =15 .S.mCD=S.ocp+S.onc=30 SARCD =2S.BCD =60 故答案为：60 【变式3】(24-25八年级下辽宁沈阳期末)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点 的坐标分别为 A(3,2）B(2,0)C(1,3) (1)将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△4BG,在图中画出△4BC: (2)在图中作出△ABC 关于原点O成中心对称的 4B,C,并直接写出A点对应点的坐标： (3)在平面直角坐标系中存在一点D,使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形， 直接写出点D的坐标. 29/53 B 【答案】(1)如图：△4BC即为所求 B (2)如图： △A,B,C2即为所求. B （-3,-2) (3) (2,5)或4-或00 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的性质等知识点，正确画 出相关图形成为解题的关键。 30/53 (1)先根据平移的性质确定点AB、G的位置，然后顺次连接即可： 42、B2C2 (2)先根据旋转的性质确定点 的位置，然后顺次连接，再直接写出的坐标即可： (3)先画出以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，然后直接写出点D的坐标即可. 解：(1)略 (2)略 ABCD,ACBD2,ABD,C D(2,5),D2(4,-1),D3(0,1 (3)解：如图：四边形 均为平行四边形，且 .即 点D的坐标为2,5》或4-)或0,1) D B 解题归纳：平行四边形是典型中心对称图形，对角线交点为对称中心。 易错纠正：混淆普通平行四边形与特殊平行四边形的对称性质。 五.同步检测 (一)选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(2025江苏无锡模拟预测)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() ☆·A 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的意义对四个图形逐一分析，再作出判断即可. 解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意： 31/53 B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意： C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意： D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 (-2,3)与点B关于点 C(4,1) 2.(25-26八年级上·黑龙江大庆·期中)已知点 成中心对称，则点B 的坐标是() A.0,2) &.(10,-1) c.(,2) 0.(0,) 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性 质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解， (x,y 利用中心对称的性质：点C是A、B的中点，根据中点坐标公式，设B的坐标为 ,列方程 -2+x=4. 2 3y=1,求解得B的坐标： 2 解：设点B坐标为 x,y) “点4(-23)与点B关于点0 C(4,1) 成中心对称， -2+x=43+y=1 .2 ，2 解得x=10y=-1, .B(10,-1) 故选B 3.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点P,△EFD 与△APD关于点D成中心对称.若AC=7,BD=8,则BE的长度为() 32/53 A.12 B.15 C.12.5 D.15.5 【答案】C 【分折1根据菱形销性质，得到4P=4C,DP-BD,∠APD=0对称性得到∠F=90 FE=AP,DF=DP,在Rt△BFE中，利用勾股定理进行求解即可， 解：：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点P,AC=7,BD=8 -4c-3Dn-D-42D-0, 2 2 :△EFD与△APD关于点D成中心对称， 下=APD=90PFE=AP=DF=DP=4P,D,F三点共丝 2 ∴.BF=BD+DF=12, 在Rt△BFE中，BE=VBF+EF=125 B(3,n) 4。(2025渐江丽水模拟预测)在平面直角坐标系中，点4(m2)与点 关于原点成中心对称， 则() A.m=3,n=2 B.m=-3,n=-2 C.m=-3,n=2 D.m=3,n=-2 【答案】B 解：点4a2到与点（ 关于原点成中心对称， ∴.m=-3,n=-2 5.(25-26八年级下·河北张家口期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，若直线I能将口ABCD 面积等分，这样的直线的条数有() D B A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 【答案】D 解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分， 所以，这样的直线有无数条. 33/53 2 6.(24-25九年级下青海西宁开学考试)已知反比例函数y=,下列说法中不正确的是（) （-2,-1) A.点 在它的图象上 B.双曲线不经过第二、四象限 C.它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形D.函数值y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】求出x=-2时的函数值即可判断A;根据解析式可判断双曲线经过的象限即可判断B:根 据双曲线的性质和轴对称图形，中心对称图形的定义可判断C；根据反比例函数的增减性可判断 D 2 2 解：A、在少=中，当x=-2时，y=2-1, -2,-1) 点 在它的图象上，原说法正确，故此选项不符合题意： 2 B、:在y=x中，2>0 ,双曲线经过第一、三象限，不经过第二、四象限，，原说法正确，故此选项不符合题意： C、反比例函数的函数图象是双曲线，该图象既是中心对称图形又是轴对称图形，原说法正确，不 符合题意： 。:在少 x中，2>0， “,双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意」 P(5a+2,3) 7.(25-26八年级下·贵州贵阳期中)已知点 关于原点对称的点在第四象限，则的取 值范围是() A.ax2 B.ax- 2 5 Ca<2 5 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到的 取值范围 P(5a+2,3) 解：，点 关于原点对称的点在第四象限， 点P在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0， :点P的纵坐标为3>0，已经满足要求， 34/53 ∴只需满足横坐标小于0，即5a+2<0, 2 解得a<-5, 8.(2025河北石家庄·一模)在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是 () 图1 图2 A.只需经过两次轴对称变换 B.只需经过两次中心对称变换 C.先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D.先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可. 解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均 可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2. 故选：B 【点拨】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点 旋转180°，明确两者的概念是解题的关键 9.(2026河北张家口·一模)如图，已知△ABC的面积是12，AC=6,点D是AC上的动点，点E 是AB的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则AF的最小值为() E A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】B 【分析】连接EF、DE、BF,由中心对称的定义得出EF=ED,且点F、E、D在同一直线上， 从而可得四边形ADBF为平行四边形，由平行四边形的性质可得AF=BD,最后由垂线段最短并 35/53 结合三角形的面积公式计算即可得出结果. 解：如图，连接EF、DE、BF, ,点E是AB的中点， ∴.AE=BE, ,点F和点D关于点E成中心对称， ,EF=ED,且点F、E、D在同一直线上， “.四边形ADBF为平行四边形， .'AF=BD, :△ABC的面积是12，AC=6,点D是AC上的动点， 六由垂线段最短可得，当BD⊥4C时，BD的长度最小，且此时2×4C×BD=12, .BD=4, ,AF的最小值为4 【点拨】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说 这两个图形关于这个点对称或中心对称， 10.(2425九年级上湖北武汉阶段检测)如图，已知抛物线y=4r-1的顶点A在y轴上，过点 A作x轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线！翻折后，所得的部分与原抛物线对称 轴左侧的部分构成一个新函数的图象（图中的实线部分），若 4(-5,y),4(4,)4(3,y),,4(3小4(40这十个点都在此新函数的图象上，这10个 点的横坐标从5开始依次增加1，则片+%+乃++%+0。 的值是(). 36/53 15 7 A.1 B.0 C.-4 D.4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的 性质及输对称性质可得到4与，么与么、4与人、4与都关于点4对称，根据中心对称性 y2+y0=y+yg=y4+g=乃3+y7=-2 质可得 ,进而可求解. 解：抛物线y=4-1的顶点坐标A为0，-)，对称轴为轴， 4 根据题意， A与点4重合，即4(0-) 六根据对称性质可得4与小4与4、4与4、与4都关于点4对称， :=45=44=业=-1 2 2 2 2 :%+0=为+=⅓+%=⅓+为=-2 又%=4×52-1=2别 1 4，%=-1, :片+为+y++%+乃0 =4x(-2列++() =-15 4 故选：C 37/53 (二)填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.(25-26七年级下四川乐山期末)如图，已知△ABC与△ABC'关于点0成中心对称，若 A0=3cm,则AA'= B 【答案】6cm/6厘米 【分析】根据中心对称的性质可得点O是线段AA'的中点，即AO=AO,进而可得出AA的长」 解：，△ABC与△A'B'C关于点O成中心对称， .点A与点A关于点O对称， ..AO=A'O. 又A0=3cm, .A'0=3cm, .AA'=40+4'O=6cm 12.(25-26九年级上·河南信阳·期中)如图，等腰直角△ABC与等腰直角△DBE关于点B中心对称， P为AC的中点，Q为点P的对称点.若AC=4,则P,Q两点间的距离为 E 【答案】4 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键. 连接P吧，根据对称性可知PO一定过点B,由BP=BO及等腰直角三角形的性质解题即可. 解：由题意知，点P和点关于点B对称，连接P巴，则P№一定过点B, 38/53 且BP=BQ. :△ABC和△DBE是等腰直角三角形，P为AC的中点， &n-4c-2 由对称性知BQ=)DE=2 2 .P9=2BP=4 故答案为：4. 13.(2425八年级下江苏盐城价段检》已知直线，m与双陆线y套的一个交点坐标为 (3,4) 则它们的另一个交点坐标为 【答案)（3,4) k 【分析】直线y=mx和双曲线y=的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根 据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标. 解：：直线y=x的图象关于原点对称，双曲线y=x的图象也关于原点对称， ∴.直线与双曲线的两个交点关于原点对称 3,-4) -3,4) 已知一个交点坐标为 因此另一个交点坐标为 14.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,且 AD)BC=2,卫是BC的中点，则。ABE可以看成是由，DEC向左平移得到的，平移的距离为 2 _；△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形，它们的对称中心是 39/53 B 【答案】 2 DE的中点 【分析】本题考查了中心对称，平行线的性质，平移的性质等知识，解题的关键是理解平移变换， 中心对称的性质，属于中考常考题型 利用平移的性质，中心对称的性质解决问题即可. 解：，△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到， .平移的距离为线段AD的长， .平移的距离为2， ,△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形， .它们的对称中心是线段DE的中点. 故答案为：2，DE的中点 15.(25-26七年级下·江苏连云港·期中)如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑 色.现在要从其余3个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这 样的白色小方格有 个 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转18O°可以使图形与原图形重合 的即为所求 解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格。 A B 16.(2026浙江·二模)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点P,△EFD与△APD关于 点D成中心对称.若AC=14,BD=16,则BE= 40/53 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到AC与BD互相垂直平分，从而求得AP=PC的长和BP=PD的长， 再由△EFD与△APD EFD≌△APD(SSS) 于点D成中心对称，得到 从而求得BF的值，利用勾 股定理即可得出BE的长。 解：在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， .AP=PC= 24C-7,DP-PD-28D-8, 又：△EFD与△APD关于点D成中心对称， △EFD≌△APD(SSS) .PD=DF=8,∠APD=∠F=90°，AP=EF=7, .BF=BD+DF=16+8=24, 在Rt△BFE中，BE=VF+呕=24+7-25 25 17.(2026山东青岛二模)如图，菱形ABCD的对角线交于原点0，点D的坐标为 3 ,将 菱形绕原点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时点D的坐标为， （222） 23 【答案】 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转2026次后的位置与旋转2次后的位置相同， 41/53 即绕原点顺时针旋转180°，求出对应的坐标即可. 解：，360°÷90°=4， .点D每旋转4次会回到原来的位置， .2026÷4=506…2, ∴旋转2026次后的位置与旋转2次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转180°， 25 第2026次旋转结束时点D的坐标为3,2 18.(2025浙江杭州二模)如图，在正方形ABCG与正方形CDEF中，点G是CF的三等分点，点 H与点4关于点C成中心对称.选结BG,BB,B,DH.者=4，则BH的长为 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，设正方形ABCG的边长 CDEF 为，则正方形 的边长为30，用“表示出S,即可求得0，再利用勾股定理求得BH即可。 正确利用题中条件求得两个正方形的边长是解题的关键. 解：设正方形ABCG的边长为a, :点G是CF的三等分点， ∴.CF=3CG, 则正方形CDEF的边长为3a, ..BD=BC+CD=4a,FG=FC-CG=2a. ·S阴匙=SE方形ABCG+SE方形CDE-S△rGE-S△BDE=4 则可得方程a2+9a2-3a2-6a2=4. 解得a=2(负值舍去)， 42/53 如图，连接AC,CH,过点H作HM⊥BD交于点M, :点H与点A关于点C成中心对称， ..A,C,H AC=CH 三点共线，且 ·∠ABC=∠HMC,∠ACB=∠HCM :△ACB≌△HCM(AAS) ..MH=CM=AC=BC=2. .BM=4, :.BH=VBM2+MH2=2√5 25 故答案为： (三)解答题（本大题共6小题，共58分） 19.(本小惠满分8分)(25-26八年级下-全国课后作业)已知点P(a-262列与点2(-6,2a+) 关于原点对称，求3a-b的值. 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，掌握关于原点对称的 点的横纵坐标互为相反数是解题的关键， 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，列出关于a和b的方程组，求解后计算 3a-b的值. 解：点P(a-26-2与点(6,2a+） 关于原点对称， 43/53 a-2b-6=0① -2+2a+b=0② 将②×2+①得：4+4a+2b+a-2b-6=0 解得a=2 代入①得：b=-2 a=2, 故原方程组的解为： b=-2, 3a-b=3×2-（-2)=8 20.(本小题满分8分)(25-26八年级上·黑龙江大庆期中)如图，△ABC和△DEC关于点C成中 心对称，若AC=1,∠B=30°，∠BAC=90°，求AE的长. D B 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据 中心对称图形的性质可得AD=2AC=2,CE=BC,∠D=∠BAC=90°，求出BC的长，进而得到 CE的长，利用勾股定理求出DE的长，则可求出AE的长， 解：，△ABC和△DEC关于点C成中心对称， ∴.AD=2AC=2,CE=BC,∠D=∠BAC=90° ,AC=1,∠B=30°，∠BAC=90°， .BC=2AC=2, ∴CE=2, DE=JCE2-CD=3 AE=AD+DE2=7 7 故答案为： 21.(本小题满分10分)(24-25九年级上·河北唐山期中)如图所示，△ABC的顶点在8×8的网格 44/53 中的格点上。 (1)画出AAB 绕点B顺时针旋转 0° ABC 0得到的 (2)在图中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形. L △A,BC ABCD 【答案】(1)如图所示， 即为所求；；(2)如图所示，四边形 即为所求： B 【分析】本题主要考查了画旋转图形，画中心对称图形，平行四边形的性质与判定： A、C A C (1)根据网格的特点和旋转方式确定 的位置，描出，再顺次连接 B、G即可： (2)画平行四边形ABCD即可. 解：(1)略 (2)略 22.(本小题满分10分)(25-26九年级上·青海西宁·期末)有A,B,C三张大小、形状完全相同 的卡片，上面分别画有圆、矩形、直角三角形.从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀， 再任意抽取一张。 (1)用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果： (2)求两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率， 【答案】(1)解：列表如下： 第一次 圆 矩形 直角三角形 45/53 (圆，直角三角 圆 (圆，圆) (圆，矩形) 形) (矩形，直角三角 矩形 (矩形，圆) (矩形，矩形) 形) (直角三角形， (直角三角形，矩 (直角三角形，直 直角三角形 圆) 形) 角三角形) 共有9种等可能结果： 又 (2)9 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，中心对称图形的识别等知 识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解. (1)根据题意列出表格，再得出所有可能结果数： (2)根据概率公式求解. 解：(1)略 (2)解：因为共有9种等可能结果，其中中心对称图形为圆、矩形，符合条件的结果有4种， 4 所以两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率为9， 23.(本小题满分10分)(24-25八年级上吉林长春阶段检测)如图，在长方形ABCD中， AB=CD=3,AD=BC=4,点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发，沿A→B→C运动，同 时点Q以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿D→A运动，当PQ两点有一个点到达终点时， 另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒 (1)用含t的代数式表示BP的长： (2)点P在BC上运动，当PO的中点落在AC上时，求t的值： (3)当△APO是以AP为腰的等腰三角形时，求t的值； 3 (4)作点p关于点B的中心对称点p,当S,0p=4S时，直接写出7的值. 46/53 B D Q← 3-3(0<t≤1) BP= 【答案】(1) t=1 8 3 【分析】山)分两种情2：当点P在AB上，0<1S1时，当点P在C上.1<1≤写时，分别求出 结果即可 (2)证明△OPC≌aO0A,得出A0=CP,列出关于1的方程7-31=4-t,解方程即可： (3)分三种情况：当点P在AB上，AP=A0时，当点P在BC上，AP=A犯时，当点P在BC上， AP=巴时，分别求出结果即可： (4)分两种情况：当点P在AB上时，当点P在BC上时，分别画出图形，列出方程，求出结果即 可 (1)解：当点P在AB上，0<t≤1时，BP=3-31: 7 当点P在BC上，1<1≤3时，BP=3-3: 3-31(0<1≤1) BP= 综上分析可知： -< (2)解：，O为P的中点， .P0=O0, ,长方形ABCD中BC∥AD, .∠OPC=∠OQA,∠OCP=∠OAQ, .△OPC≌aOQA, ∴.Ag=CP」 47/53 .7-31=4-1, 解得：t=1.5: D (3)解：当点P在AB上，AP=A0时，31=4-1， 解得：1=1： 当点P在BC上，P=40。 AP2=A02 时，则 根据勾股定理得： AP2=AB2+BP2=32+(3-3 :32+(3-3y=(4-} 整理得：42-51=-1， 即r-=4 1 (-2. 解得：11咬11《合去)： 当点P在BC上，AP=P吧时，过点P作PE⊥AD于点E, 48/53 :此时四边形AEPB为长方形， ∴.AE=BP=3t-3, :3-3-4-0 解得：9 缘上分析可知：当△4P四是以4P为腰的等腰三角形时，1=1皮-9 7 (4)解：当点P在AB上时，如图所示： QRD Sm号PpA0-2BmA0=BnA0 Sm-2404B S.orr.ou, 4 31 :BP.A视=×5AQAB 42 :.BP-34B 8 3--x3, 8 解得：1- 当点P在BC上时，如图所示： 49/53 P'B D 0 S.or-1PP:AB=x2BP.AB=BP.AB 2 2 。1 S.4BQ=2 AQ·AB S.mS.ou, 3 31 BP.AB- AO.AB -40. 3-3=3 ×(4-). 解：1= 综上分析可知，当8om一5oe时，1一安=手 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，利用平方根解方程，一元一次方程的应用，列 代数式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类 讨论。 24.(本小题满分12分)(24-25八年级下·江苏扬州阶段检测)如图，△ABC的BC边在直线I上 (B点在C点左侧)，动点O在B点右侧直线I上 操作探究(1)：若△MBC 0 △4BG,连接 、ABAB 等边三角形，关于点的中心对称图形是 ABAB 则四边形 的形状是 50/53 (1) 操作探究(2)：如图，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,△ABC与△ABG关于O成中心对称， 当C在C的右侧且∠CB4-号B4C时，判断四边形ABA8的形状，并说明理白。 操作探究(3)：若△ABC是任意三角形，(B在C点左侧)，动点O在B点右侧直线I上，在下图 中已作出△1BC关于点的中心对称图形 0 4BC 的一个参考图形，连接， .AB,当∠ABC与 ∠CBA ABA B 满足什么关系时，四边形 是正方形，直接写出答案。 参考图形 备用图形 备用图形 ABAB 【答案】(1)平行四边形；(2)四边形 是矩形，理由如下： .AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, :∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， .∠ABC+5∠BAC=90° :2CBA=2∠BAC, ∠CBA+∠ABC=90°∠ABA=90° ,即 ABAB 四边形 是平行四边形， 51/53 ABAB 四边形 是矩形： O BC ∠ABC=∠CBA=45° ∠CBA=3∠ABC=135° (3)当点在右侧时， 0在BC中间时， ；当点在 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等 等： OB =OB,OA =OA 操作探究(1)：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得 ，据此可证 明结论： ∠ABA=90° 操作探究(2)：根据等边对等角和三角形内角和定理证明 即可证明结论： 操作探究(3)：分当点O在BC右侧时，当点O在BC中间时，两种情况根据正方形的性质讨论求 解即可. 、AB AB AA 解：操作探究(1)：连接， 如图： 由中心对称图形的性质可得 B,=OB,OA=0A.A0,A三点共线： ABA B 四边形 是平行四边形： 操作探究(2)：略 操作探究(3)：如图所示，当点O在BC右侧时， ABA B :四边形 是正方形， ∠ABC=∠CBA=45° 52/53 B A 如图所示，当点O在BC中间时， ABAB ,四边形 是正方形， ∠ABC=∠CBA=45° ∠CBA=135° C 、B B A ∠CBA=3∠ABC=135° ∠ABC=∠CBA=45°∠CBA=3∠ABC=135° 综上所述， 或 53/53 专题 28.2 中心对称（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】中心对称的定义 2 【知识点二】中心对称的核心性质 2 【知识点三】中心对称标准作图步骤 2 【知识点四】中心对称图形定义 2 【知识点五】原点对称坐标规律 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】中心对称概念辨析 3 【题型2】中心对称规范作图 4 【题型3】中心对称图形识别 6 【题型4】原点对称坐标基础计算 7 四.题型精析（综合提升） 7 【题型5】中心对称性质线段、角度计算 7 【题型6】坐标系原点对称图形作图 9 【题型7】中心对称与平行四边形综合 10 五.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 1. 掌握中心对称、中心对称图形的定义，精准区分两者的概念区别与内在联系。 2. 熟练掌握中心对称的核心性质，能准确识别对称中心、对称点，推导相等线段与相等角度。 3. 掌握中心对称标准作图步骤，能完成定点对称、网格、坐标系内图形对称作图。 4. 熟记平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标变化规律，熟练进行坐标变换与参数计算。 5. 能辨析轴对称与中心对称图形，熟练解决基础题型与四边形综合题型，规避高频易错点。 重点：中心对称的定义与性质、中心对称图形的识别、中心对称作图、关于原点对称的坐标规律与应用。 难点：区分中心对称与中心对称图形、轴对称与中心对称的综合辨析、利用中心对称性质解决四边形坐标综合问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】中心对称的定义 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图形关于该点中心对称。 关键名词： （1）对称中心：旋转固定不动的定点； （2)对称点：旋转后相互重合的两个对应点。 核心本质：中心对称描述两个独立图形的位置关系。 【知识点二】中心对称的核心性质 （1)全等性：关于中心对称的两个图形完全全等，形状、大小不变。 （2)平分性：两组对应点的连线全部经过对称中心，且被对称中心平分。 （3)平行性：对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 【知识点三】中心对称标准作图步骤 （1)找关键点：选取图形顶点、端点等核心关键点； （2)作对称点：连接关键点与对称中心，延长线段一倍，得到对应对称点； （3)连图形：按照原图形顺序，顺次连接所有对称点，得到中心对称图形。 【知识点四】中心对称图形定义 把一个图形绕自身某一定点旋转180°，旋转后的图形能够与原图形自身重合，该图形即为中心对称图形，定点为对称中心。 高频辨析： （1)中心对称：两个图形的位置关系； （2)中心对称图形：一个图形的自身特征。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 【知识点五】原点对称坐标规律 平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为： 口诀：原点对称，横纵全变号。 拓展对比： （1)关于x轴对称：横不变、纵变号； （2)关于y轴对称：纵不变、横变号； （3)关于原点对称：横纵全部变号。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】中心对称概念辨析 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）图中下面的轿车图片是由上面的轿车图片绕某点旋转得到的，请找出这个点． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·二模）如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 【变式3】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 解题归纳：成中心对称的两个图形，对应点连线必过对称中心，且被中心平分。 易错纠正：混淆“两个图形的中心对称”与“单个中心对称图形”，概念混淆导致判断错误。 【题型2】中心对称规范作图 【例题2】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若和关于点中心对称，则点的坐标为________． （2）作关于点的中心对称图形． （3）在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【变式3】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点， （1）画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． （2）画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 （3）若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 解题归纳：核心口诀：定点连线、倍长取点、顺次连线。 易错纠正：仅延长线段，未保证线段等长，导致对称点位置偏移，图形不对称。 【题型3】中心对称图形识别 【例题3】（2025九年级·全国·专题练习）下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或所有的对称轴． 【变式1】（2024·甘肃天水·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变换方式（如：平移、旋转、轴对称等）重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样． （1）下列单位纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的纹样是________． （2）已知图2的二方连续纹样是由图1的一个单位纹样连续排列形成的，那么这个单位纹样的变换方式是_______和______． （3）如图3，在网格中有一个单位纹样，将这个单位纹样通过两种变换方式排列，形成一个二方连续纹样．（使得整个网格有四个单位纹样） 解题归纳：识别技巧：旋转180°与原图完全一致，即为中心对称图形。 易错纠正：将轴对称图形（等腰三角形、五角星）误判为中心对称图形。 【题型4】原点对称坐标基础计算 【例题4】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知点与点关于原点对称，求的值． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求，的值； （2）若A，B两点关于轴对称，求，的值． 解题归纳：原点对称，符号全变，数值不变。 易错纠正：只改变横坐标或只改变纵坐标，符号变换不完整。 四.题型精析（综合提升） 【题型5】中心对称性质线段、角度计算 【例题5】（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 解题归纳：中心对称优先用全等求边角，用平分性求线段关系。 易错纠正：无法灵活转化相等关系，忽略中心对称的全等本质。 【题型6】坐标系原点对称图形作图 【例题6】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将先向左平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； （2）画出关于原点O成中心对称的； 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是由经过某种变换得到的图形，则______ （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出先向右平移5格，再向下平移1格后的； （2）画出绕点逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）若与关于原点对称，则点的坐标为___________． 解题归纳：坐标变换为先，描点连线为辅，所有顶点统一变号。 易错纠正：坐标符号出错、描点位置偏差，导致图形对称错误。 【题型7】中心对称与平行四边形综合 【例题7】（2025·广东·一模）在反比例函数中存在四个点，点与点关于原点中心对称． （1）填空： ；点的坐标是 ； （2）连接，求证：四边形是平行四边形； （3）连接，记与交点为点，求点坐标． 【变式1】（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出； （2）在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ； （3）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 解题归纳：平行四边形是典型中心对称图形，对角线交点为对称中心。 易错纠正：混淆普通平行四边形与特殊平行四边形的对称性质。 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 4．（2025·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 6．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）已知反比例函数，下列说法中不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．双曲线不经过第二、四象限 C．它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形 D．函数值随的增大而减小 7．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 9．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 12．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 13．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，，且，E是BC的中点，则可以看成是由向左平移得到的，平移的距离为________；与是成中心对称的两个三角形，它们的对称中心是________． 15．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 16．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 17．（2026·山东青岛·二模）如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 18．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点与点关于原点对称，求的值． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图所示，的顶点在的网格中的格点上． （1）画出绕点顺时针旋转得到的； （2）在图中确定格点，并画出一个以、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·青海西宁·期末）有A，B，C三张大小、形状完全相同的卡片，上面分别画有圆、矩形、直角三角形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张． （1）用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果； （2）求两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在长方形中，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长： （2）点在上运动，当的中点落在上时，求的值； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （4）作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，的边在直线上（点在点左侧），动点在点右侧直线上 操作探究（1）：若是等边三角形，关于点的中心对称图形是，连接，，则四边形的形状是_____． 操作探究（2）：如图，若为等腰三角形，，与关于成中心对称，当在的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究（3）：若是任意三角形，（在点左侧），动点在点右侧直线上，在下图中已作出关于点的中心对称图形的一个参考图形，连接，，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $