25.1 一元二次方程的概念 （教案+同学练习） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25．1　一元二次方程的概念 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．方程2x＋3＝0是__一__元__一__次方程； 方程x＋2y＝2是__二__元__一__次方程． 2．一元一次方程满足的条件： (1)__1__个未知数； (2)未知数最高次数是__1__次；(3)整式方程. ★ 【教学目标】 课题 25.1　一元二次方程的概念 授课人 素养目标 1.理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项． 3．理解一元二次方程的解(根)的意义． 4．通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展学生的数学思维，让学生感受数学学习过程中的乐趣，增强学生学好数学的愿望与信心. 教学重点 掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的解(根)等概念，并能用这些概念解决简单问题. 教学难点 把实际问题转化为一元二次方程模型. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识． 1．一元一次方程中的“一元”是指1个未知数，“一次”是指未知数的次数是1，一元一次方程左右两边都是整式的形式． 2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＝0是一元一次方程，则m＝1． 3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3. 通过回顾一元一次方程及其解的概念，帮助学生理解“元”和“次”的含义，使其能借助已有知识类比得出什么是一元二次方程，理解方程的解（根）的定义， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题1：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．若学生感觉困难，教师可做如下引导． 【备选】问题3:如图，一架长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙多少米吗？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？】 问题1中的等量关系：底面的长×宽＝底面积， 设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3__600．整理并化简，得x2－75x＋350＝0． 问题2中教师可举例，由特殊到一般，帮助学生理解题意． 若邀请5个队参赛，每个队要与其他4个队各赛一场，因为甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共×5×4＝10场． 设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x－1)场，于是得到方程x(x－1)＝7×4，整理并化简，得x2－x－56＝0. 从矩形铁皮等实际生活问题入手设计情境，使抽象的方程知识贴近学生经验，有助于激发学生的学习兴趣， 活动二：实践探究、交流新知 1.【探究】观察上面所列的两个方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什么区别与联系． 学生观察、思考、讨论、交流、汇报． 教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元；③二次． 2．归纳定义 问题1：根据找出的一元二次方程的特征，你能给一元二次方程下个定义吗？ 教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称，类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(一元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2(二次)，这样的方程叫作一元二次方程. 活动二：实践探究、交流新知 　　课件展示： 下列各方程是不是一元二次方程？ ①x2－2x－5；②2x2－1＝0；③5x2－4x－＝0；④＝0；⑤3y2＝(3y＋1)(y－2)；⑥ax2＋bx＋c＝0；⑦x2－2x－5＝2(x＋3)(x－2)；⑧2x2＝0. 3．相关概念 一元二次方程各项的名称： 教师总结(板书)： 一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 课件展示： (试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项． ①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③＝0. 问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的解(根)下定义吗？ 师生共同小结(板书)： 一元二次方程的解(根)： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 课件展示： (试一试)下列哪些数是方程x2－x－12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 1.注重学生自主学习与探究，引导学生在观察、比较所列方程特点的基础上，通过类比一次方程自主归纳一元二次方程的定义，经历知识形成过程，体验成功的快乐。2.让学生充分感受方程的结构特征，在类比中真正理解定义的内涵与关键条件，加深对概念本质的认识。3.通过抛出问题让学生回答并完成纠错练习， 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　下列方程是一元二次方程的是（　A　） A． B． C． D． 例2　若x＝1是方程x2－4x＋m＝0的根，则m的值为3． 例3　当k取何值时，关于x的方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0， (1)是一元一次方程？ (2)是一元二次方程？ 解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5. 所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程． (2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5. 所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程． 例4　(教材第3页例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式是 3x2－8x－10＝0. 它的二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10. 【变式训练】 1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D) A．ax2＋bx＋c＝0 B．(m－3)x2－2x＝0 C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0 D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0 2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列等式正确的是(A) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝－1 D．a－b＝－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通过典型例题与分层练习，帮助学生巩固和加深对一元二次方程概念的理解，规范判断方法与书写格式， 活动四：随堂检测 【课堂检测】 1.若方程(m2－1)x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是(C) A．0 B．1 C．±1 D．－1 2．在一元二次方程2x2－5x－1＝0中，二次项系数和常数项分别是(D) A．2，5 B．2，－5 C．2，1 D．2，－1 3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋5a＋b＝0的解，则10a＋2b＝－2． 4．若9a－3b＋c＝0且a≠0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根是x＝－3． 5．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为(60－x)x＝864． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 通过精心设计的典型练习题，帮助学生进一步巩固本节所学新知 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第3页练习，教材第4页习题25.1第1～5题. 引导学生自主归纳本节课学习的主要内容，让学生在梳理知识的过程中理清思路、形成体系 教学反思 本节课围绕一元二次方程的概念、一般形式及方程的解（根）等核心知识展开教学。教学中我通过丰富的生活实例和数学问题引入方程，引导学生观察、比较、归纳，抽象出一元二次方程的定义，理解其一般形式中各项系数及常数项的含义，并通过分层练习帮助学生巩固概念、运用概念判断方程类型、检验方程的根。从课堂反馈看，大部分学生能够准确识别一元二次方程，说出一般形式及各项系数，并能运用概念解决简单问题，基本达成了教学目标。但教学中仍存在不足：部分学生对概念中的细节把握不够扎实，例如忽视“未知数最高次数为2且二次项系数不为0”的限定条件，面对含参数或特殊形式的方程时判断失误；对“方程的根”这一概念的理解停留在机械代入，应用不够灵活。今后我将加强易错点的专项指导，设计“判断—说明理由”类辨析题，帮助学生吃透概念中的关键条件；增加从实际问题抽象方程的建模训练，强化概念的理解与灵活运用，为后续学习一元二次方程的解法奠定坚实基础． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 学科网（北京）股份有限公司 $(同步练习)25.1认识一元二次方程 夯实基础 1.下列方程中是一元二次方程的是() A. B C. D 2.关于的一元二次方程 中，二次项系数是() A.3 B.4 C D. 3.若一元二次方程 的二次项系数是3，则它的常数项是() A. B.2 c D.5 4.关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知 是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数 为() x2-x十 =0 A· B C.0 D.1 5.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙 的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地.如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程 ( B C. D 第1页（共10页） 6.若关于的方程 是一元二次方程，则 7.写出下列各个方程的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2) (3) (4) 能力提升 8.下列方程：① ，② ,③ ，④ ,其中一 定是关于的一元二次方程的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知关于的方程 与 有相同的解，则与之间的等量关系为( 第2页（共10页） ) A. B D 10.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻 居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩 服，”若设竹竿的长为尺，则可列方程为() A. B. C. D 11.电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计， 某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记 作，则方程可以列为 12.已知 是方程 的一个解，则一次函数 的图象不经过第象限 13.将一个容积为 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.写出关于的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式 单位：cm 30 3 第3页（共10页） 14.已知为方程 的一个根，求代数式 的值. 思维拓展一 15.关于的方程 (1)当满足什么条件时，该方程是一元二次方程； (2)当满足什么条件时，该方程是一元一次方程. 16.已知是关于的一元二次方程 的一个根，求代数式 的值。 第4页（共10页） (迎0T并)迎S 答案详解 1.解：、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意： 、是一元一次方程，故此选项不符合题意： ，整理得 ，是一元二次方程，故此选项符合题意： 、不是整式方程，故此选项不符合题意： 故选： 2.解：一元二次方程 中，二次项系数是3， 故选： 3.解：方程 整理得： 则常数项是 故选： 4.解：关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖， 设常数项为，将 代入原方程得： 解得： 故选： 5.解：设矩形的一边长为米， 第6页（共10页） 根据题意得， 故选： 6.解：根据题意可知，未知数的最高次数为2，可得 解得： 此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义 故答案为：1. 7.解：(1)整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，，1： (2)整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,0，： (3)整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，，0： (4)整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5， ，0: 8.解：① ,是一元二次方程； ② ，当 时方程不是一元二次方程； ③ ,是一元二次方程： 第7页（共10页） ④ ,整理方程得： ,不是一元二次方程： 故选： 9.解：己知关于的方程 则 或 那么 或 关于的方程 与 有相同的解， 的解为 或 则 那么 或 9 则 或 丝 时， ，满足 综上， 故选： 10.解：设竹竿的长为尺，则门宽 尺，门高 尺， 根据题意得： 故选： 第8页（共10页） 11.解：根据题意得： 故答案为： 12.解：把 代入 ，得 解得 由于 所以一次函数 的图象应该第一、三、四象限，即不经过第二象限. 故答案为：二， 13.解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为： 则根据题意，列出关于的方程为： 整理，得 该方程属于关于的一元二次方程. 14.解： 为方程 的一个根， 原式 15.解：(1)关于的方程 是一元二次方程， 第9页（共10页） 所以 时关于的方程 是一元二次方程； (2)关于的方程 是一元一次方程， 且 时关于的方程 是一元一次方程。 16.解：由条件可知 时，方程左边等于1，不等于右边， 1 把 的两边都除以得， 第10页（共10页）