2.3.2 两点间的距离公式导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两点间距离公式，涵盖基础公式、几何意义、图形判定、对称及新定义距离等核心内容。课堂导入从数轴距离切入，通过坐标法和向量法推导平面公式，衔接坐标系与向量知识，搭建学习支架。 资料以数形结合为特色，通过将军饮马、三角不等式等模型培养几何直观（数学眼光），新定义距离强化数学语言表达，易错点与题型分类系统提升推理能力（数学思维），助力学生高效掌握知识并解决实际问题。

第十四讲 两点间的距离公式 【学习目标】1.能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式 2.能用两点间距离公式解决问题. 【教学重点】两点间距离公式的探究与应用. 【教学难点】两点间距离公式的推导. 必掌握知识点： 一、基础公式 1. 数轴上两点距离：数轴上两点、： 2. 平面直角坐标系两点间距离已知， 特殊：原点到点： 3. 中点坐标公式：，线段中点 二、几何意义（根式转化距离，数形结合） 1. 距离之和最小（将军饮马） 形如 代表：动点到两个定点距离之和。 解题步骤： 看动点在哪条直线、坐标轴上； 作其中一个定点关于这条直线的对称点； 对称点与另一个定点的线段长就是最小值； 检验：交点必须在动点允许轨迹（直线、 线段）上。 2. 距离之差的最值 三角不等式： 最大值，条件：在延长线上； 距离之差没有最小值；算出取等点要检验是否符合题意。 三、利用距离判定图形 三角形 等腰：有两边长度相等； 直角：满足勾股定理 ； 等腰直角：两边相等，同时满足勾股定理。 三种判定方法：①距离公式；②斜率垂直；③向量点积为 0。 拓展：欧拉线：三角形重心、外心、垂心共线。 重心：顶点坐标求平均数； 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 四、点关于直线对称（高频） 点关于直线对称点，两个条件必须同时满足 （连线与对称轴垂直） 的中点落在直线上 应用：光线反射、将军饮马求最值 五、新定义距离（阅读题常考） 设两点 ， 曼哈顿（直角）距离： 切比雪夫距离公式： 含义：两点横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值，取较大那一个值。 别称：棋盘距离；国际象棋中“王”一步可以斜着走，王从一点走到另一点最少步数就是切比雪夫距离。 注意：不能和欧氏（普通两点）距离混用，严格读题干定义，去绝对值要分类讨论。 六、常见易错点 1.求距离不要漏根号、平方；数轴距离直接绝对值，不用平方开根号。 2.将军饮马：不能直接连两点求距离，必须做对称点；要检验交点是否在线段上。 3.距离差最大值取等条件：动点在两点延长线上，不是两点之间。 4.求对称点，不能只写垂直，一定要带上中点在对称轴条件。 5.等腰直角三角形存在性问题，分类讨论哪一个点是直角顶点，防止漏解。 6.解方程得到多个参数解，结合题干约束（非负、点在线段上等）舍去增根。 7.区分重心、外心，重心是坐标平均，外心是垂直平分线交点。 必考题型全归纳： 题型一：两点间距离、中点、数轴距离基础公式 两点，距离公式： 原点到点：。 中点坐标公式：若是中点，则。 数轴上两点距离：。 用途：①已知坐标直接计算线段长度；②已知距离反解参数；③计算三角形边长，判定三角形形状；④求中线长。 1．已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得，所以，所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则，所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形.故选：A． 2．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形，，故选：A. 3．已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，.故选：A 题型二：根式的几何意义 —— 距离之和最小（将军饮马模型） 形如，可以理解为动点到两个定点距离之和。 解题步骤： 识别动点所在直线（x 轴、y 轴、定直线）； 作其中一个定点关于动点所在直线的对称点； 对称点与另一个定点连线的线段长就是距离和的最小值； 验证交点必须在动点允许的轨迹（线段、直线）上。 常见题型：x 轴上动点、定直线上动点求距离和最小；菱形、四边形周长最小值。 4．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为．故选：A． 5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误.故选：B.    6．已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为.故选：A. 题型三：根式几何意义 —— 距离之差的最值（三角不等式） 三角不等式：。 的最大值为，取等条件：在的延长线上； 距离之差没有最小值；只有绝对值之差才有范围； 求出取等点后，要检验点满足题目的轨迹约束。 7．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号，所以的最大值为.故选：C 8．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为．故选：D 9（多选）．在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误；    对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及新定义的理解和运用问题，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别. 题型四：坐标判定三角形形状、欧拉线 三种判定思路： 距离法：算出三边长；两边相等⇒等腰；满足⇒直角；同时满足两者⇒等腰直角三角形。 斜率法：，两边互相垂直。 向量法：向量点积为 0，则垂直；向量模相等则边长相等。 拓展：欧拉线：三角形的重心、外心、垂心三点共线。 重心：三个顶点坐标的平均数； 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 10．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以，所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 11．数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 【答案】 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因的顶点，则其重心为,即；显然的外心在线段的中垂线上，故可设， 由，可得，解得, 则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即.故答案为：. 12．已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2)法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ，，所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ，， ， ，所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 题型五：新定义距离（曼哈顿、切比雪夫、折线、余弦距离） 曼哈顿（直角）距离：； 切比雪夫距离公式： 折线距离、余弦距离：严格读题干，套用题目给出的公式。 解题要点：去掉绝对值要分类讨论；结合对称性分析轨迹图形（菱形、正方形），求轨迹的周长、面积、轨迹长度。 13．设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以．所以的最小值是3.故选：C 14．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 15．十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即，所以或或，解得， 则点的运动轨迹的长度为.故答案为：. 题型六：光线反射、对称综合应用 光的反射原理：反射光线等效于光源关于镜面的对称点发出的光线。 求点关于直线的对称点，必须同时满足两条： ①两点连线与已知直线垂直；②两点的中点落在已知直线上。 经常用来求光线走过的总路径长度。 16．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为，则，故，故.设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立，故的最小值为. 17．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点为的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为，则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以， 又因为，所以，解得或，故或. ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点，此时. ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点， 此时，与选项不符，舍去. 综上，可知的值为.故选：C 题型七：建坐标系处理平面几何综合 处理几何图形（矩形、三角形、菱形），建立平面直角坐标系，几何条件翻译成坐标： 求交点：联立两条直线方程； 线段长度：两点间距离公式； 角度最大模型：过两点的圆与直线相切时，圆周角最大； 存在性问题：等腰直角三角形，必须分类讨论哪一个点是直角顶点，防止漏解。 18．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到， 利用换元法令 ，求解得到. 【详解】设 ，因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ，令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以.故选：A. 19．如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先以矩形顶点 为原点建立平面直角坐标系，将矩形各顶点及动点 用坐标表示，再利用圆周角定理找 取得最大值条件，最后利用圆心到圆上各点距离相等(半径相等)列方程，求解并取舍根即可. 【详解】建立坐标系：设 ，，，， 因为 为 中点，故 ，    设 （），当 最大时， 的外接圆与 边（即 ）相切于点 ，则外接圆的圆心 到切线 的距离等于半径 ，故 且 ，得 ，即圆心 ，由 列方程：，化简得，即， ，化简得：，， 联立 的表达式，整理：， 解得：， 因为，故 ，（，舍去） 所以 的长度即为 的值，即.故选：D. 20．如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出. 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以.因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即.故. 巩固提升： 1．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是.故选：D． 2．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大，所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误.故选：A 3．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，.得的几何意义为的值. 点关于轴对称点，所以.故选：B 4．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值，且， 故的最小值为．    故选：A. 5（多选）．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或，故选：BD. 6（多选）．已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得故选：CD 7．函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 8．已知，且，则________． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 9．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设，点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或，故答案为：或． 10．菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 【答案】/ 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，以对角线交点为原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系，这样可以直接求出的坐标，因为在上移动且，设，则，将线段和的长度用两点间距离公式转换为关于的代数式，利用“将军饮马”模型，可求出代数式的最小值，再加上与这两个固定值，即可得出周长最小值. 【详解】已知，且为中点， 因为菱形对角线，，它们互相垂直平分， 所以菱形的边长：， 由于是中点，所以， 因此，四边形的周长， 要使周长最小，只需使的值最小， 建立平面直角坐标系：以对角线交点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则各点坐标为：，，，， 点是的中点，所以， 因为在上，且，设点的坐标为，则点的坐标为， 故， ， 所以，， 这个式子的几何意义是：在轴上求一点， 使它到点和点的距离之和最小， 作点关于轴的对称点， 根据对称性，到的距离等于到的距离，因此，， 当三点共线时，距离之和最小，即为线段的长度： ， 此时求得，在线段范围内，符合题意，所以的最小值为， 四边形周长的最小值为：. 11．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 12．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号，所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号，所以的最小值为.    故答案为：； 13．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为．故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 14．函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差.如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 15．已知，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】设，原式化为，设，则可以看成点到点两点的距离之差，可求最大值. 【详解】因为，设， ， 令，则，则上式为， 设， 点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差， 又，所以的最大值是.    故答案为： 16．设，的最小值为___________； 【答案】 【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可. 【详解】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：.      17．在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长； （2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算. 【详解】（1）由已知点坐标可得：， 因为四边形为平行四边形，所以对角线， 因此； （2） 设，则， 由得：，解得，即， 进而得，根据向量夹角公式： . 18．已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 19．已知数轴上的三点的坐标分别为. (1)点到两点的距离都是2时，求，此时与线段是什么关系? (2)在线段上是否存在一点，使得到和的距离都是3?若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，为的中点 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用数轴上两点的距离公式，以及点的位置关系求解分析即可； （2）利用数轴上两点的距离公式求解分析即可. 【详解】（1）由题意知或或或，即或或或，解得：， 所以点的坐标为，由，且，所以为的中点. （2）不存在这样的，理由如下： 因为， 所以在线段上找一点使是不可能的． 20．已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ，又， 所以，且，所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，，则， 所以．又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. 21．已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明：由已知条件得， ,, 则,所以△为直角三角形；(2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）略 （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 22．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则，所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 23．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ，所以，所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 24．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率. 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. （2）由题意得，， 所以，则为等腰三角形， 的中点为，故，由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即.    25．已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析，直线的方程为； (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得，所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 26．已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】（1）由题意，设出直线的截距式方程，代入点坐标，根据面积，可求得截距式方程，整理即可得答案. （2）分别分析点M、Q、P为直角顶点时，为等腰三角形，求得对应M点坐标，即可得答案. 【详解】（1）由截距式设直线的方程为，所以，解得，所以，即. （2）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则， 因为为等腰直角三角形， 当M为直角顶点时，设，则，， 所以，即， 解得或（舍），所以，即点； 当Q为直角顶点时，点，则，解得，所以，符合题意； 当P为直角顶点时，设，由可得，所以，； 综上所以，，，符合题意 27．已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，，， 解得：或，的坐标为或， 因为直线过点，当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得.直线的方程为或. 28．求函数的最小值． 【答案】 【详解】  因为，所以函数是轴上的点与两定点、距离之和．的最小值就是的最小值．由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，则的最小值等于，即．所以． 29．设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②，若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为， 所以， 则 ， 所以. (2)存在，点的轨迹方程为或. 【分析】（1）根据题目所给定义，以及绝对值的性质，证明不等式即可. （2）根据点的位置关系，逐一说明两个条件成立时点所在的位置，进而求出点C的轨迹方程. 【详解】（1）略 （2）当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当且时，不妨设， 当时，当条件①成立时， 即同时成立， 即同时成立，所以且， 再由条件②得，即， 此时点在函数上， 当时，由条件①成立得且，从而由条件②得， 此时点在函数上， 可知，当，时， 点在函数上， 当，时，点也在函数上， 综上所述，点的轨迹方程为或. 30．人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题中定义，结合两点间距离公式和平面向量夹角公式进行求解即可； （2）根据余弦距离的定义，绝对值的性质，结合分类讨论思想、平面向量夹角公式进行求解即可； （3）根据题中定义，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.        （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，，联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四讲 两点间的距离公式 【学习目标】1.能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式 2.能用两点间距离公式解决问题. 【教学重点】两点间距离公式的探究与应用. 【教学难点】两点间距离公式的推导. 必掌握知识点： 一、基础公式 1. 数轴上两点距离：数轴上两点、： 2. 平面直角坐标系两点间距离已知， 特殊：原点到点： 3. 中点坐标公式：，线段中点 二、几何意义（根式转化距离，数形结合） 1. 距离之和最小（将军饮马） 形如 代表：动点到两个定点距离之和。 解题步骤： 看动点在哪条直线、坐标轴上； 作其中一个定点关于这条直线的对称点； 对称点与另一个定点的线段长就是最小值； 检验：交点必须在动点允许轨迹（直线、 线段）上。 2. 距离之差的最值 三角不等式： 最大值，条件：在延长线上； 距离之差没有最小值；算出取等点要检验是否符合题意。 三、利用距离判定图形 三角形 等腰：有两边长度相等； 直角：满足勾股定理 ； 等腰直角：两边相等，同时满足勾股定理。 三种判定方法：①距离公式；②斜率垂直；③向量点积为 0。 拓展：欧拉线：三角形重心、外心、垂心共线。 重心：顶点坐标求平均数； 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 四、点关于直线对称（高频） 点关于直线对称点，两个条件必须同时满足 （连线与对称轴垂直） 的中点落在直线上 应用：光线反射、将军饮马求最值 五、新定义距离（阅读题常考） 设两点 ， 曼哈顿（直角）距离： 切比雪夫距离公式： 含义：两点横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值，取较大那一个值。 别称：棋盘距离；国际象棋中“王”一步可以斜着走，王从一点走到另一点最少步数就是切比雪夫距离。 注意：不能和欧氏（普通两点）距离混用，严格读题干定义，去绝对值要分类讨论。 六、常见易错点 1.求距离不要漏根号、平方；数轴距离直接绝对值，不用平方开根号。 2.将军饮马：不能直接连两点求距离，必须做对称点；要检验交点是否在线段上。 3.距离差最大值取等条件：动点在两点延长线上，不是两点之间。 4.求对称点，不能只写垂直，一定要带上中点在对称轴条件。 5.等腰直角三角形存在性问题，分类讨论哪一个点是直角顶点，防止漏解。 6.解方程得到多个参数解，结合题干约束（非负、点在线段上等）舍去增根。 7.区分重心、外心，重心是坐标平均，外心是垂直平分线交点。 必考题型全归纳： 题型一：两点间距离、中点、数轴距离基础公式 1．已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 2．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：根式的几何意义 —— 距离之和最小（将军饮马模型） 4．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 6．已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三：根式几何意义 —— 距离之差的最值（三角不等式） 7．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 9（多选）．在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 题型四：坐标判定三角形形状、欧拉线 10．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 11．数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 12．已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 题型五：新定义距离（曼哈顿、切比雪夫、折线、余弦距离） 13．设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 15．十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 题型六：光线反射、对称综合应用 16．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 17．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型七：建坐标系处理平面几何综合 18．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 19．如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 20．如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 巩固提升： 1．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 2．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 3．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5（多选）．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 6（多选）．已知，且，则a的取值可能为（   ） 7．函数的最大值是__________. 8．已知，且，则________． 9．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 10．菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 11．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 12．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 13．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 14．函数的最大值为__________. 15．已知，则的最大值是___________. 16．设，的最小值为___________； 17．在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 18．已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 19．已知数轴上的三点的坐标分别为. (1)点到两点的距离都是2时，求，此时与线段是什么关系? (2)在线段上是否存在一点，使得到和的距离都是3?若存在，求，若不存在，请说明理由. 20．已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 21．已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 22．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 23．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 24．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 25．已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 26．已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 27．已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 28．求函数的最小值． 29．设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②，若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 30．人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $