精品解析：陕西咸阳民盟中学2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学

2025—2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学 注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分． 2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚． 3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 为了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级中抽取100人进行各项指标测试.已知高一年级有640人，高二年级有660人，高三年级有700人，则从高三年级抽取的人数为（ ） A. 32 B. 33 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】根据分层抽样的性质可知：从高三年级抽取的人数为. 故选：C. 3. 若是的重心，且（为实数），则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 4. 已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 5. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 6. 某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（ ） A. 至少有名女生 B. 至少两名男生 C. 至多一名女生 D. 全是男生 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥与对立事件的概念直接判断即可. 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件， ，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 7. 在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. ，则为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有两个 D. 若的面积为，则 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理判断A；由题意可得或，从而得为等腰三角形或直角三角形，即可判断B；由题意可得，即可判断C；由余弦定理及面积公式，求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，因为，所以或， 由于,所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为，故三角形有两个，故C正确； 对于D，因为， 又因为，所以，所以，又因为，所以，故D正确. 8. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】结合线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则或直线与直线互为异面直线，故A错误； 选项B，若，根据线面垂直的性质与线面平行的性质可得，故B正确， 选项C，若，且，则或平面与平面相交，故C错误； 选项D，若，根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理可得，故D正确. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出，的关系，进而可判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于A选项，若，则，所以，故A正确； 对于B选项，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C选项， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D选项，若，则，即， 所以， 所以 ，故D正确. 11. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，则下列表述正确的有（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C. 丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，写出四位同学可能选择结果的所有样本点，计算概率，分别判断各选项正误. 【详解】甲同学仅随机选一个选项，包含的样本点为A，B，C，D，事件“能得2分”包含的样本点为C，D，故“能得2分”的概率为，A正确； 乙同学仅随机选两个选项，包含的样本点为，事件“能得5分”包含的样本点为CD，故“能得5分”的概率为，B正确； 丙同学随机至少选择一个选项，选择一项或选择两项共包含10个样本点，选择三项或全选，包含的样本点为，事件“能得分”包含的样本点为C，D，CD，故“能得分”的概率为，C正确； 丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知，样本点共有11个，事件“能得分”包含的样本点为CD，故“能得分”的概率为，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，证明出，则异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角，分析可知是等边三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出的大小，即可得解. 【详解】连接、，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角， 易知，故是等边三角形，则， 因为为的中点，所以平分，故， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 13. 已知，则向量在向量上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量公式可得， 向量在向量上的投影向量为. 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算得，，即可利用数量积的运算律求解， （2）根据向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为,所以， 又因为所以， 因为所以， 所以 【小问2详解】 由题意可得, , , 所以 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解． 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 17. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 18. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：，F是BC，PB的中点．． 又平面，平面， 平面． （2）证明：平面ABCD，平面ABCD，． ，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB，， ，F是PB中点，， ，EB、平面PBC， 平面PBC， 平面PBC， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题可得，再根据线面平行的判定即可证明； （2）通过证明平面PBC，再根据线面的性质即可证得； （3）根据题意知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又平面ABCD，再根据锥体体积公式即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面ABCD，ABCD是矩形，， ， 三棱锥的体积为． 19. 甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. （1）求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题可得（甲只回答2道题且通过）； 【小问2详解】 由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； 【小问3详解】 记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学 注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分． 2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚． 3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 为了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级中抽取100人进行各项指标测试.已知高一年级有640人，高二年级有660人，高三年级有700人，则从高三年级抽取的人数为（ ） A. 32 B. 33 C. 35 D. 40 3. 若是的重心，且（为实数），则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（ ） A. 至少有名女生 B. 至少两名男生 C. 至多一名女生 D. 全是男生 7. 在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. ，则为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有两个 D. 若的面积为，则 8. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 11. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，则下列表述正确的有（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C. 丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 13. 已知，则向量在向量上的投影向量是__________. 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，. （1）求； （2）求. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 17. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 18. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 19. 甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. （1）求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $