21.2.4 一元二次方程根的判别式 教学设计 2025--2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根的判别式，通过回顾四种解法并结合绿地面积问题导入，自然衔接求根公式中b²-4ac的取值，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于落实逻辑推理（推导判别式与根的三种对应关系）、数学运算（规范计算步骤规避符号错误）、模型观念（建立“系数→判别式→根的情况”模型），分层作业兼顾差异，纠正“一个根”错误培养严谨表达，助力学生掌握工具，提升教师教学效率。

21.2.4 一元二次方程根的判别式 教学设计 学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十一章 课题 21.2.4 一元二次方程根的判别式 课时 1课时 课标要求 1. 理解一元二次方程根的判别式的定义与产生背景，掌握判别式Δ=b2-4ac的含义； 2. 掌握根的判别式与一元二次方程实数根的三种对应关系，能在不解方程的前提下，判断方程根的情况； 3. 能运用根的判别式进行简单推理、参数求值与取值范围讨论，体会分类讨论、从特殊到一般的数学思想； 4. 进一步巩固转化思想，发展逻辑推理、数学运算与模型观念核心素养，提升代数推理与综合应用能力。 教材分析 本节课基于求根公式中根号下b2-4ac的取值范围，提炼出根的判别式，揭示了方程系数与根的个数之间的内在必然联系。根的判别式无需解方程即可快速判断根的情况，简化解题流程，是一元二次方程章节的重要工具。同时，判别式是后续含参数方程问题、二次函数图像与x轴交点问题、中考综合题型的核心基础，在整个初中代数体系中起到承上启下、工具赋能的关键作用。教材编排遵循“计算观察—归纳规律—得出结论—应用拓展”的认知逻辑，循序渐进，重在培养学生分类讨论与代数推理能力。 学情 分析 知学生已经熟练掌握一元二次方程一般形式、公式法求根公式，能准确确定a，b，c的值，具备公式运算与基础代数推理能力，为本节课判别式的推导与应用提供扎实基础。同时九年级学生具备一定的观察、对比、归纳能力，能够通过计算结果归纳数学规律，但对分类讨论思想掌握薄弱，对“由系数判定根、由根反推系数”的双向逻辑理解不透彻。 核心素养目标 1.数学运算：熟练准确计算一元二次方程根的判别式，规范运算步骤，规避符号、平方、加减运算错误，提升代数运算的准确性与熟练度。 2. 逻辑推理：经历根的判别式规律的探究过程，理解判别式三种取值与根的数量的对应逻辑，掌握正向判断、反向推理的思维方法，培养严谨的分类讨论推理能力。 3. 模型观念： 建立“系数→判别式→根的情况”的固定数学模型，能快速套用模型判断任意一元二次方程的根，形成系统化解题思维。 教学重点 1. 掌握判别式三种取值对应的根的情况，能不解方程判断根的个数； 2. 运用判别式解决基础判断与简单参数问题。 教学难点 1.理解判别式与根的对应规律的本质原理； 2. 区分“两个相等实数根”与“一个实数根”的概念差异； 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 【思考】根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何根据方程的特点选用的？ 解一元二次方程主要有四种解法： ①直接开平方法；② 因式分解法；③配方法；④ 公式法 解方程时，优先观察方程形式，能直接开方或因式分解的优先使用（速度最快）；若无法快速分解或开方，则考虑配方法（适合系数简单的方程）或直接套用公式法（适合复杂或通用情况）。 现在我们来解决问题1：绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. x(x + 10) = 900， x2+10x-900=0, 它们都是所列方程的根，但负数根x，不符合题意，应舍去. 取 x + 10 ≈35.4，符合题意. 因此绿地的长约为35.4m，宽约为25.4m. 回忆并回答解一元二次方程主要有四种解法。 根据所学知识解决问题1 依托解一元二次方程的四种解法自然铺垫，通让学生直观感知根的情况与系数的关系，为规律探究做好铺垫。 二、探究 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得 【想一想】如果b2-4ac<0会怎么样？ 当b2-4ac<0时，无意义， 所以方程没有实数根. 也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. (1)当b2-4ac>0时，方程的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根 (2)当b2-4ac=0时，方程 的右边是0，因此方程有两个相等的实数根： (3)当b2-4ac<0时，方程 的右边是是一个负数，而对于任何实数x，方程左边，因此方程没有实数根. 总结归纳 概括： 这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况: 当Δ >0时，方程有两个不相等的实数根; 当Δ =0时，方程有两个相等的实数根; 当Δ <0时，方程没有实数根. 【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0. 解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0. 因为Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0， 所以方程有两个不相等的实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. (2)因为Δ=(-2)2- 4×4× =0， 所以方程有两个相等的实数根. (3)因为Δ=(-1)2-4×4×4=-63<0， 所以方程没有实数根. 【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根? 解：由题意可得Δ=[-(3+4k)]2 - 8(2k2+k)>0， 整理得16k+9>0，解得 (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根? 由题意得Δ=16k+9=0，解得 (3)当k取何值时，方程没有实数根? 由题意得Δ=16k+9<0，解得 小组合作讨论三种取值的根的情况，自主归纳规律； 精准记忆规范数学表述，纠正“一个根”的错误说法； 理解正向判断、反向推理的双向关系。 对照示范规范书写格式，记录易错点。 探究参数题型，理解双向推理逻辑 让学生亲历观察、计算、分类、归纳的全过程，从本质上理解判别式规律，而非机械记忆，培养学生数学抽象与逻辑推理素养。 提炼标准化解题模型，固化学生思维，规范答题格式，解决学生步骤混乱、概念表述不严谨的问题，落实数学运算素养。 由基础判断到参数综合应用，层层递进，突破本节课难点，培养学生分类讨论与严谨推理能力，提升知识应用层次 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1. 一元二次方程x2－5x＋2＝0的根的判别式的值是(　A　). A．33 B．23 C．17 D. 27 2. 已知一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的判别式的值为___-3___，它___<___0(填“＞”“＜”或“＝”)，故这个方程根的情况为没有实数根． 3. 一元二次方程x2＋4x＋5＝0的根的情况是(　A　). A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　D　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 【知识技能类作业】选做题： 5. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0没有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　A　). 6.已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　D　). A．m≤4 B．m≥4 C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【综合拓展类作业】 7. 已知关于x的方程(a－x)2－4(b－x)·(c－x)＝0. (1)求证：此方程必有实数根； 证明：整理方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0， 得3x2－(4b＋4c－2a)x＋4bc－a2＝0. Δ＝[－(4b＋4c－2a)]2－12(4bc－a2)＝16b2＋16c2＋16a2－16ab－16bc－16ac＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]． 因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，　 所以Δ≥0.所以原方程必有实数根． (2)若a，b，c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC为等边三角形． 证明：因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0， 即a＝b＝c.易知a，b，c均不为0， 所以△ABC为等边三角形． 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c时，b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况: 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根; 当Δ<0时，方程没有实数根. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书设计 21.2.4 一元二次方程根的判别式 1.当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根; 2.当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根; 3.当b2-4ac<0时，方程没有实数根. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.关于x的方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a<0，b＋c>0，a＋c<0时， 方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根； ③当a>0，a＋b＋c<0时，方程一定没有实数根； ④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是____②____． 【知识技能类作业】选做题： 3.已知关于x的一元二次方程x2 -mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m -2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( B ). A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 4. 已知关于x的一元二次方程c(1-x2)-2bx=a(1+x2)，其中a，b，c 分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状. 解：原方程可以化为(a+c)x2+2bx+a-c=0，∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=(2b)2- 4(a+c)(a-c)=0，∴a2=b2+c2， ∴△ABC为直角三角形. 【综合拓展类作业】 5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； 证明：因为Δ＝(－m)2－4×1×(m－1) ＝m2－4m＋4 ＝(m－2)2≥0， 所以无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)若□ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，□ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB＝AD，即关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ ＝(m－2)2＝0，所以m＝2，所以原方程变为x2－2x＋1＝0，所以x1＝x2＝1，所以此时菱形的边长为1. 教学反思 本节课逻辑清晰、层层递进，依托公式法旧知导入，自然生成判别式概念，符合学生从特殊到一般的认知规律，学生接受度高。2. 重难点突出精准，紧扣教材核心，重点强化判别式的应用，专项突破“相等根概念、参数隐含条件、符号运算”三大易错点，课堂实效性强。3. 高度落实核心素养，全程渗透分类讨论、逻辑推理、数学建模思想，不仅教会学生解题，更培养学生严谨的代数推理思维。4. 重视概念严谨性，着重纠正“一个实数根”的错误表述，帮助学生建立规范、精准的数学语言体系。5. 分层教学落实较好，基础题夯实技能，提升题拓展思维，兼顾学困生与优等生。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $