22.2.5一元二次方程的根与系数的关系教学设计　2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式、根的判别式等已有知识，以“根能否表示系数”设问构建学习支架，梳理根与系数的潜在联系，引出课题。 其特色在于从特例方程入手，引导学生观察根的运算组合、猜想一般关系并严谨证明，发展推理意识与创新意识，结合长方形边长、方程根的应用实例，培养模型意识与应用意识，助力学生掌握“设而不求”思路，为教师提供清晰的探究式教学路径。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.经历探索一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系解决一些简单的问题。 2.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地闸述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 3.通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。 教学重难点 教学重点： 一元二次方程根与系数的关系。 教学难点： 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 教学过程 一、复习引入 引导学生巩固一元二次方程相关的知识，这节课我们一起学习一元二次方程的根于系数的关系。前几节课，我们一直在研究一元二次方程。你能回忆起关于它的哪些方面的知识呢？ 我们认识了什么是一元二次方程。尤其需要大家记住的是一元二次方程的一般形式，还有一元二次方程的几种常用解法（出示四种常用解法）。其中在利用配方法解一元二次方程的一般式时，我们得到了求根公式。由这个公式可以发现，如果将系数ABC代入根的判别式，就可以判断方程是否有实数根，有几个实数根。如果将系数ABC带入整个求根公式，就可以确定方程的根。既然一元二次方程的系数可以表示根，那么反过来，根能不能表示系数呢？根与系数之间还有其他形式的关系吗？这就是本节课要探索的内容。 意图：复习并理解求根公式、根的判别式所反映的就是根与系数的一种关系。引出课题。 二、教学过程 从一个特例：开始谈起。请同学们先求出这个方程的两个根。并将两根进行一些简单的运算组合。尝试写出几种根与系数的关系。 出示两位同学的计算结果，并一步到学生思考为什么会有不同等结果？ 原来之所以不一样，是因为他们在选择哪个根作为X1，哪个根作为X2时不一样。在这几个关系中，有的与根的顺序有关，颠倒顺序后，结果就不同。 同学们，这些不受根的顺序影响的关系更稳定，更具有一般性，因而也更有研究价值。其实这样的关系式还可以写出来很多。现在请同学们仔细观察，X1+X2，X1×X2分别与方程的系数有什么关系呢？你又能得到哪些初步的猜想？ 首先呢，我们要确定这个方程的系数分别为A=2，B=3，C=1。X1+X2等于负二分之三，恰好等于负的A分之B。X1×X2等于二分之一恰好等于A分之C。两个特例都得到了一样的结论。两根和为负A分之B,两根积为A分之C，。那么对于一般形式的一元二次方程。根与系数之间是否也存在这样的关系？ 现在我们就要从特殊到一般。从特例中的猜想过渡到一般化的验证。那我们来尝试将它的两个根相加，分母不变,分子相加减,化简可得2A分之负2B,约分为负A分之B。再尝试将它们相乘，分子部分的计算看似复杂，其实要用到平方差公式,化简后可得A分之C，完美的证明了我们刚才的猜想。 其实还有很多角度可以证明这种关系。比如从因式分解的角度。比较等号两边的系数仍然可以得到两根和为负A分之B,两根积为A分之C。 再比如，我们逆向考虑能否先从形式上得到负A分之B和A分之C呢。我们可将一般形式的两边同时除以A，对比刚才因式分解的恒等式，如果将它的两边也同时除以A，对比上下两个式子，也可以得到同样的结论。 同时呢，利用这个思考方向还可以帮助我们拓展新思路。请同学们看这个式子。 如果先知道了方程的两个根，代入这个式子，就可以构建出一个新的方程。请同学们课后也可以发挥你的聪明才智，探索一下有没有别的证明思路。 至此，我们深入研究了根与系数的无数种关系中的两种。 这一结论习惯上也称为韦达定理。韦达是16世纪法国的一个数学家，他凭借着对数学的热爱和执着，曾经在战争中破译过敌军密码，在当时就能将圆周率计算到小数点后面第九位，也是第一个将代数变换应用到三角学中的人，从而获得了西方代数学之父的称号。当然，他也发现了韦达定理，希望同学们也能带着这样的一份热爱和执着去面对学习和生活。 3、 例题精讲 请同学们看下面的例题，利用根与系数的关系求解下列方程的两根之和，两根之积。 设计意图：一般来说，类似这样的方程都可以直接用今天学习的韦达定理进行计算，而不必求出方程的跟X1和X2，尝试解决一些实际问题，感受一下应用一元二次方程的根与系数关系的便利性。 4、 实际应用 1. 已知长方形的相邻两边长是方程的两个根。则长方形的周长是多少？面积是多少？ 2. 已知方程一个根是1，求它的另一个根及K的值。这也是一个可以多角度解决的问题。 3. 小明和小红分别求出了方程的两根。小明解得。小红解得X2等于答案正确吗？说说你的判断方法。 设计意图：感受一元二次方程根与系数的关系为我们提供了一种设而不求的思路。这样的思路使得解决问题更便利。 五、课堂总结 同学们，今天的课程你了解到了哪些知识和方法呢？ 这节课中我们通过从一个特例中发现了规律。在另一个特例中再次验证，从而得到了一个猜想，然后用一般式进行了严谨的验证。从而得到了1元二次方程的根与系数的关系。我们沿着探索、发现、猜想、证明、应用的脉络走下来，发现我们能够在不解方程的情况下判断根的符号。求根、验根以及求与方程的根有关的代数式的值。甚至先有了方程的两根，还能反过来构建新的方程。这些都凸显了今天数学知识的优越性。也为今后学习新知识提供了方法和思路 六、课外拓展 如果给定一个一元二次方程，你会用哪些方法求解呢？ 大家一定会想到，用配方法、求根公式、因式分解法。今天学了韦达定理以后，老师给大家介绍一种新的思路，也就是韦达定理加一个小技巧。 设计意图：让同学们知道，韦达定理的应用比我们想象的要广阔的多，也还有很多神奇的知识需要大家去探索，希望每一个同学在探索的过程中都能体会到快乐，体会到数学之美。 7、 作业设计 见PPT及作业练习单。 学科网（北京）股份有限公司 $