3.6 指数与指数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

§3.6 指数与指数函数·专项训练 目录 题型1：指数幂的化简与求值 2 题型2：指数函数的概念、定义域 2 题型3：指数函数的定点问题 2 题型4：指数函数的图像及应用 3 题型5：指数函数的单调性 4 题型6：比较指数式的大小 4 题型7：指数函数的最值（值域） 5 题型8：指数型方程或不等式的求解 6 题型9：指数函数中的恒成立的问题 6 题型10：指数式的实际应用 7 题型1：指数幂的化简与求值 【例1.1.】 计算的值为_________. 【例1.2.】 （多选）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则． 【例1.3.】 若，则___________．（用m，n表示） 【例1.4.】 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 题型2：指数函数的概念、定义域 【例2.1.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若指数函数满足，则_____． 题型3：指数函数的定点问题 【例3.1.】 函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 函数（且）的图象恒过的定点为________. 【例3.3.】 若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 题型4：指数函数的图像及应用 【例4.1.】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   题型5：指数函数的单调性 【例5.1.】 已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【例5.2.】 函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 题型6：比较指数式的大小 【例6.1.】 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【例6.4.】 设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型7：指数函数的最值（值域） 【例7.1.】 函数的值域为______. 【例7.2.】 已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为_____. 【例7.5.】 已知且，函数在的最大值为，则在的最小值为______． 【例7.6.】 已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【例7.7.】 已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【例7.8.】 已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 题型8：指数型方程或不等式的求解 【例8.1.】 设函数f(x)＝若，则实数a的取值范围是________. 【例8.2.】 不等式的解集为______． 【例8.3.】 设偶函数满足，则________． 【例8.4.】 已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【例8.5.】 已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型9：指数函数中的恒成立的问题 【例9.1.】 若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________. 【例9.2.】 已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例9.3.】 已知函数的图象关于坐标原点对称． (1)求方程的解； (2)若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在区间上的最大值为，求的值． 题型10：指数式的实际应用 【例10.1.】 （多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：， A． B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时 C． D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃ 【例10.2.】 某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【例10.3.】 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.6 指数与指数函数·专项训练 目录 题型1：指数幂的化简与求值 2 题型2：指数函数的概念、定义域 4 题型3：指数函数的定点问题 5 题型4：指数函数的图像及应用 6 题型5：指数函数的单调性 9 题型6：比较指数式的大小 11 题型7：指数函数的最值（值域） 13 题型8：指数型方程或不等式的求解 19 题型9：指数函数中的恒成立的问题 22 题型10：指数式的实际应用 26 题型1：指数幂的化简与求值 【例1.1.】 计算的值为_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 【例1.2.】 （多选）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】由指数幂的运算性质对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B． ，B正确； 对于C，原式 ，C错误； 对于D，当时，，得， 由，得， 所以，D正确． 故选：BD. 【例1.3.】 若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 【例1.4.】 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、求函数值 【详解】法1：由，得，所以，所以， 所以，即，所以． 法2：， 所以． 题型2：指数函数的概念、定义域 【例2.1.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【例2.2.】 已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求指数函数解析式 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 【例2.3.】 若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【难度】0.85 【知识点】求指数函数解析式、求函数值 【分析】令且，根据题设得，即可求解. 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 题型3：指数函数的定点问题 【例3.1.】 函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 【例3.2.】 函数（且）的图象恒过的定点为________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可. 【详解】令，解得，且， 所以函数的图象恒过定点， 故答案为： 【例3.3.】 若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 题型4：指数函数的图像及应用 【例4.1.】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数式与对数式的互化 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 【例4.2.】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先求定义域，再求出为偶函数，再得到当时，，A正确. 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 【例4.3.】 函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断指数型复合函数的单调性 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 题型5：指数函数的单调性 【例5.1.】 已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 【例5.2.】 函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的定义域 【分析】首先确定的定义域，根据复合函数单调性的求法可求得结果. 【详解】由得：或，即定义域为； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为. 故选：A. 【例5.3.】 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 【例5.4.】 已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、条件等式求最值 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 题型6：比较指数式的大小 【例6.1.】 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 【例6.2.】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数幂的性质比较各指数式的大小. 【详解】由， 又，而，故， 综上，. 故选：B 【例6.3.】 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】先根据已知条件求出函数的周期和对称性，再化简的值，最后利用指数函数的性质即可求出. 【详解】，函数的图像关于直线对称，， 又是定义在R上的奇函数，，，则， 即，故，函数的周期为， ，再根据对称性可得， ，， 当时，为增函数， 则，， 故. 【例6.4.】 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、作商法比较代数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 题型7：指数函数的最值（值域） 【例7.1.】 函数的值域为______. 【答案】 【难度】0.88 【知识点】求指数型复合函数的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【详解】因为，所以，所以，故. 【例7.2.】 已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】令，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出. 【详解】，令， 则，当时，，解得. 故选：B 【例7.3.】 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、分段函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以如果存在最小值， 则，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【例7.4.】 已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数对称性的应用 【分析】根据函数的对称性可求出，然后利用基本不等式即可求出函数值域. 【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得， ，当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 【例7.5.】 已知且，函数在的最大值为，则在的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的定义域、奇偶函数对称性的应用 【分析】计算，从而可得出函数的对称性，再根据函数的对称性即可得出答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 由，得， 令，则， 所以函数为奇函数， 因为函数在的最大值为， 所以函数在的最大值为， 所以函数在的最小值为， 所以在的最小值为. 故答案为：. 【例7.6.】 已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、求指数型复合函数的值域、求指数函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法可得答案； （2）令，把问题转化成二次函数最值问题，讨论对称轴与定义域的关系，可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点， ， 解得：或（舍去）， . （2）代入，得： ， ， 令，当时，单调递增， 且，即， 则可转化为关于的函数， 对称轴为. 当时，则时， ，解得； 当时，则时， ，解得，舍去； 综上，可知. 【例7.7.】 已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据函数的最值求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由的取值范围，结合题意，得的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 由，得. 若，则函数，显然不符合题意； 若，则. 由函数在区间上的最大值是5，得：当时，， 即，即. 所以， . 所以，所以. 检验： 当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意； 当，因为，所以， 所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案是：. 【例7.8.】 已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【难度】0.55 【知识点】复合函数的最值、复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 题型8：指数型方程或不等式的求解 【例8.1.】 设函数f(x)＝若，则实数a的取值范围是________. 【答案】(－3，1) 【难度】0.85 【知识点】解分段函数不等式 【解析】由，根据分段函数区间分别解、，求得的解集合并即是所求参数a的范围 【详解】当a < 0时，原不等式化为 则，解得a >－3 ∴－3 < a < 0 当a ≥ 0时，则 ∴0 ≤ a < 1 综上知，实数a的取值范围是(－3，1) 故答案为：(－3，1) 【例8.2.】 不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答. 【详解】函数在R上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【例8.3.】 设偶函数满足，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数为偶函数，且当时，， 故函数在上为增函数，且， 由得，可得，即或， 解得或，故. 【例8.4.】 已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 【例8.5.】 已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、指数函数图像应用、函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 题型9：指数函数中的恒成立的问题 【例9.1.】 若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数不等式恒成立问题、求已知指数型函数的最值 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数在指定区间上的最大值即可. 【详解】不等式在上恒成立， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 因此函数在R上单调递增，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【例9.2.】 已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、函数与方程的综合应用、函数不等式能成立（有解）问题、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 【例9.3.】 已知函数的图象关于坐标原点对称． (1)求方程的解； (2)若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在区间上的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、求已知指数型函数的最值 【分析】（1）由题设可得，进而可得，，再解方程即可； （2）由题设可得，进而结合函数的单调性分，，三种情况讨论求解即可； （3）令，，由题设可得在上的最大值为，而，进而分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象关于坐标原点对称， 所以，即， 整理得，所以，解得，所以， 由，则， 令，得，解得或（舍）， 所以，解得. （2）若对任意的，都存在， 使得成立， 则， 因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 所以， 所以， 当时，，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，解得. 综上所述，的取值范围是. （3）令，因为与在上单调递增， 则在上单调递增， 所以， 所以，， 令，， 依题意可得在上的最大值为， 又， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得； 当时，在上单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在上单调递减， 所以，解得（舍）. 综上所述，的值为. 题型10：指数式的实际应用 【例10.1.】 （多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：， A． B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时 C． D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃ 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数函数模型的应用（1）、指数幂的化简、求值 【分析】利用条件若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，得出关于k和b的关系，然后依次判定各个选项. 【详解】在函数中，当时，，由，知，，故A正确； 当时，，所以，则， 当时，，故B不正确； 由，得，故C正确； 由，得，所以，故D正确. 故选：ACD. 【例10.2.】 某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（1） 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 【例10.3.】 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化 【分析】当时，可求得的值，然后解不等式，求出的范围，即可得解. 【详解】由题意可知，当时，由，可得，所以，， 由可得，解得（分钟）， 因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为分钟. 故选：C. 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