5.6 函数 y=Asin(ωx+φ)（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换及应用，通过筒车、简谐振动等实际问题导入，从具体模型抽象出参数A、ω、φ的影响，再到综合变换与实际应用，构建连贯的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过互动探究和数学实验发展数学思维，分步骤总结变换规律提升数学语言表达。典例结合摩天轮等实例，帮助学生掌握方法，教师可借助清晰流程和训练资源提高教学效率。

第五章 三角函数 5.6 函数 y=Asin(ωx+φ) 【新教材】人教A版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 了解刻画事物周期变化的数学模型 数学运算直观想象数学建模 掌握 φ,ω,A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图像的影响 掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与应用 重点要感悟如何通过特例提炼、归纳总结一般规律 的思想方法；要通过典例的学习和适量的训练，进一 步掌握变换作图法，特别是由 y=sinx 的图像作出 y=Asin(ωx+φ) 的图像；要学会逆向思考问题 匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用。假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动。 现将筒车抽象为一个几何图形，如图 所示，圆 O 的半径为 4 m， 在水平面上，盛水筒 M 从点 处开始运动，O 与水平面所成的角为 ，且盛水筒 120 s 恰好转动 1 圈，则盛水筒 M 距离水面的高度 H（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的函数关系式是（ ）。 A. H=4sin( t-)+2 B. H=4sin( t-)+2 C. H=4sin( t-)+2 D. H=4sin( t-)+2 匀速圆周运动的数学模型 解 设盛水筒 距离水面的高度 与时间 之间的函数关系式为 。由题意知，，所以 。又最高高度为 ，最低高度为 ，所以 ，，解得 。因为当 时，，所以 ，即 ，所以 ，，解得 。因为当 时，，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，故选 D。 该函数就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律。 物理上的函数模型 物理简谐振动离平衡位置的位移 y 随时间 x 的变化关系 某次实验测得的交流电的电流 y 随时间 x 变化的图象 它们的图像与正弦函数有什么关系？ 与正弦曲线很相似函数 y=sinx 就是 y=Asin(ωx+φ) 在 A=1、 ω=1、 φ=0 时的情况． 明确研究目标和方向 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如 y=Asin(ωx+φ)（其中A>0, ω>0) 的函数. 显然, 这个函数由参数 A, ω, φ 所确定. 因此, 只要了解这些参数的意义, 知道它们的变化对函数图象的影响, 就能把握这个函数的性质. 从解析式看,函数 y=sinx 就是函数 y=Asin(ωx+φ) 在 A=1, ω=1, φ=0 时的特殊情形. 能否借助我们熟悉的函数 y=sinx 的图象与性质研究参数 A, ω, φ 对函数 y=Asin(ωx+φ) 的影响? 函数 y=Asin (ωx+φ) 含有三个参数, 你认为应按怎样的思路进行 研究? 目标一：探索 φ 对 y=sin(x+φ) 图象的影响 为了更加直观地观察参数 φ 对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个 数学实验. 如图, 取 A=1, ω=1, 动点 M 在单位圆 上以单位角速度按逆时针方 向运动. 如果动点M以Q。为起点(此时𝛗=0),经过xs后运动到点P,那么点 P的纵坐标y 就等于 sinx.以(x,y)为坐标描点,可得正弦函数 y = sinx 的图象. 在单位圆上拖动起点 Q。,使点Q。绕点0₁旋转到Q₁,你发现图象有什 么变化? 当起点位于Q₁时，φ=，可得函数y=sin(x+)的图象。 从y=sinx到y=sin(x+)的图象 探究 在单位圆上，设两个动点分别以，为起点同时开始运动. 如 果以为起点的动点到达圆周上点P的时间为xs，那么以为起点的动点 相继到达点P的时间是(x-)s. 这个规律反映在图象上就是:如果F(x,y)是函数y=sinx 图象上的一点, 那么G(x-,y)就是函数y=sin(x+)图象上的点,如图所示,这说明,把正 弦曲线 y = sinx 上的所有点向左平移个单位长度,就得到y=sin(x+)的图象 从y=sinx到y=sin(x+)的图象 举一反三 分别说一说旋转-,,-时的情. 当φ=-时,可得函数y=sin(x-)的图象. 当φ=时,可得函数y=sin(x+)的图象. 当φ=-时,可得函数y=sin(x-)的图象. 一般地,当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时,对应的函数是 y=sin(x+φ)(φ≠0) φ y=sin(x+φ),x∈R 的图像的影响 对函数 （其中 ）的图像的影响，可以看作是正弦曲线 上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）， 即 的图像 的图像。 强调 1、y=sin(x+φ) 与 y=sinx 的图像形状是完全一样的，y=sin(x+φ) 的图像可以由 y=sinx 的图像向左或向右平移得到。 2、左右平移是对 x 本身而言的，如果 x 前面的系数不是 1，应提取系数，然后进行左右平移。 1、下列命题正确的是( ) A. 的图像向右平移个单位长度得到的图像 B. 的图像向右平移个单位长度得到的图像 C. 当时， 的图像向左平移个单位长度得到的图像 D. 的图像由 的图像向左平移个单位长度得到 解 对于 A,B,前后函数解析式的名称发生 了改变，因此先统一函数名，使用诱导公式 进行转化，对于 D,要抓住一点——x 发生了变化，不是发生了变化。 对于 A 的图像向右平移个单位长度 的图像 对于 B,y= sin 的图像向右平移个单位长度sin(x-π/2)=-cosx的图像 对于C的图像向左平移lol个单位长度 的图像， 对于 D的图像向左平移 个单位长度 的围像。故选A。 牛刀小试 目标二：探索 ω(ω>0) 对 y=sin(ωx+φ) 图象的影响 下面, 仍然通过数学实验来探索. 如图, 取圆的半径 A=1. 为了研究 不妨令 φ=. 当 ω=1 时得到 y=sin(x+) 的图象. 取 ω=2，图象有什么变化？取 ω= 呢？取 ω=3, ω=，图象又有什么 变化？当 ω 取任意正数呢？ 函数 取 ω=2 时，得到函数 y=sin(2x+) 的图象. 探究规律 在单位圆上, 设以 为起点的动点, 当 ω=1 时到达点 P 的时间为 , 当 ω=2 时到达点 P 的时间. 因为 ω=2 时动点的转速是 ω=1 时的 2 倍, 所以 . 这样, 设 G(x,y) 是函数 y=sin(x+) 图象上的一点, 那么 K(x,y) 就是 函数 y=sin(2x+) 图象上的相应点, 如图所示. y=sin(x+) →y=sin(2x+) 这说明，把 y=sin(x+) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），就得到 y=sin(2x+) 的图象. y=sin(2x+) 的周期为 π，是y=sin(x+)的周期的. 同理, 当 时, 动点的转速是 时的 , 以 为起点, 到达点 的时间是 时的 2 倍. 这样, 把 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变), 就得到 的图象. 的周期为 , 是 的周期的 2 倍. ω对函数图象的影响 一般地，函数 y=sin(ωx+φ) 的周期是，把 y=sin(x+φ) 图象 上所有点的横坐标缩短 (当 ω>1 时) 或伸长 (当 0<ω<1 时) 到原来的 倍 (纵坐标不变)，就得到 y=sin(ωx+φ)的图象. 2、把函数的图像上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图像为，则对应的解析式为________。 解 因为函数的图像上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图像为，所以对应的解析式为， 牛刀小试 目标三：探索 A(A>0) 对 y = Asin(𝛚x+𝛗) 图象的影响 下面通过数学实验探索A对函数图象的影响,为了研究方便,不妨令𝛗= .当A = 1 时,如图,可得 y=sin(2x+) 的图象. 改变 A 的取值，使 A 取2,等，你发现图象有什么变化? 当 A 取任 意正数呢? 当A=2时，得到函数 y=2sin(2x+) 的图象。 进一步，设射线 与以 为圆心、 为半径的圆交于 。如果单位圆上以 为起点的动点，以 的转速经过 到达圆周上点 ，那么点 的纵坐标是；相应地，点 在以 为圆心、 为半径的圆上运动到点 ，点 的纵坐标是。 y=sin(2x+) →y=2sin(2x+) 这样, 设 是函数 图象上的一点, 那么点 就是函数 图象上的相应点, 如图所示. 这说明，把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），就得到的图象。 y=sin(2x+) →y=2sin(2x+) 同理，把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），就得到的图象。 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象，可以看作是把 y=sin(ωx+φ) 图象上所有点的纵坐标伸长（当 A>1 时）或缩短（当 0<A<1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到．从而，函数 y=Asin(ωx+φ) 的值域是 [-A,A]，最大值是 A，最小值是 -A． A对函数图象的影响 (1)|A|的大小反映了曲线y=Asin(ωx+φ)波动幅度的大小。 (2)y=Asin(ωx+φ)与y=sin(ωx+φ)的图像形状不同，此变换称为纵向伸缩变换。 (3)推广到一般有：函数y=Af(x)（A>0，且A≠1）的图像，可以看作是把函数y=f(x)的图像上所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。 注意 3、将函数 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 ，就会得到函数 的图象. ，故将函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标 缩短为原来的，就会得到函数的图象. 牛刀小试 目标四：综合变换 你能总结一下从正弦函数图象出发,通过图象变换得到 y = Asin(𝛚x+φ) (A>0,w>0)图象的过程与方法吗? 一般地,函数y = Asin(ωx + φ)(A>0, ω>0)的图象,可以用下面的方法得到: 先画出函数y=sinx的图象; 再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度, 得到函数y=sin(x+φ)的图象; 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵 坐标不变),得到函数y=sin(ωx+φ)的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为 原来的A倍(横坐标不变),这时的曲线就是函数y = Asin(ωx+φ)的图象. 1 (1)作y=sinx的简图； (2)将横坐标伸长或缩短到原来的倍得y=sinωx的简图； (3)沿x轴向左或向右平移||个单位长度得 y=sin[ω(x+)]=sin(ωx+φ)的简图； (4)将纵坐标伸长或缩短到原来的A倍得y=Asin(ωx+φ)的简图。 2 4、函数 的图象可由正弦函数 的图象经过怎样的变换得到？ 先将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象， 再将图象上所有点向左平移 个单位，得到 的图象，然后将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 4 倍，得到函数 的图象． 牛刀小试 目标五：应用变换 题型一 图象变换与五点法综合 例 1 画出函数 y=2sin(3x-) 的简图. 1 由正弦函数的图象，经过一系列变换，可得到要画的函数图象。两种变换途径，第一种简单些。 解: 先画出函数 y=sinx 的图象; 再把正弦曲线向右平移个单位长度, 得到函数y=sin(x-)的图象; 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=sin(3x-)的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍, 这时的曲线就是函数y=2sin(3x-)的图象, 如图所示. 典例分析 例 题型一 图象变换与五点法综合 例 1 画出函数 y=2sin(3x-) 的简图. 1 用五点法画图：列表，描点，连线，扩展。注意是角的整体取五个特殊角。 下面用 “五点法” 画函数 在一个周期内的图象． 令 ，则 ．列表如下，描点画图如图． 典例分析 例 题型一 图象变换与五点法综合 例2、用“五点法”画出函数y=3sin(2x+)的简图. 2 典例分析 例 题型二 实际应用题 例3、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在 摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色,如 图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m, 设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱 转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱, 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m , 求在转动一周的过程中, H 关于 t 的函数解析式; （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里, 在运行一周的过程中, 求 两人距离地面的高度差 h (单位: m ) 关于 t 的函数解析式, 并求高度差的最大 值 (精确到 0.1) . 3 分析: 摩天轮上的座舱运动可以近似地看作质点在圆周上做匀速旋转. 在旋转过程中，游客距离地面的高度 $H$ 呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画. 解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系。 典例分析 例 题型二 实际应用题 例3、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在 摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色,如 图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m, 设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱 转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱, 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m , 求在转动一周的过程中, H 关于 t 的函数解析式; （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里, 在运行一周的过程中, 求 两人距离地面的高度差 h (单位: m ) 关于 t 的函数解析式, 并求高度差的最大 值 (精确到 0.1) . 3 (1)设t=0 min时，游客甲位于点P(0,-55)，以OP为终边的角为-；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min，由题意可得H=55sin(-)+65, 0≤t≤30。 (2)当 t=5 时，H=55sin(×5-)+65=37.5．所以，游客甲在开始转动 5 min 后距离地面的高度约为 37.5 m ． 典例分析 例 题型二 实际应用题 例3、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在 摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色,如 图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m, 设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱 转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱, 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m , 求在转动一周的过程中, H 关于 t 的函数解析式; （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里, 在运行一周的过程中, 求 两人距离地面的高度差 h (单位: m ) 关于 t 的函数解析式, 并求高度差的最大 值 (精确到 0.1) . 3 设甲、乙两人的位置分别用点 A, B 表示，则 ∠AOB==． 经过 后甲距离地面的高度为 =55sin( t-)+65，点 B 相对于点 A 始终落后 ，此时乙距离地面的高度为 =55sin( t-)+65． 典例分析 例 题型二 实际应用题 例3、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在 摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色,如 图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m, 设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱 转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱, 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m , 求在转动一周的过程中, H 关于 t 的函数解析式; （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里, 在运行一周的过程中, 求 两人距离地面的高度差 h (单位: m ) 关于 t 的函数解析式, 并求高度差的最大 值 (精确到 0.1) . 3 则甲、乙距离地面的高度差 利用, 可得 当,即时,的最大值为 所以, 甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为 典例分析 例 题型三 由图象求解析式 4 (多选) 函数 （其中 ）的部分图像如图 5-6-10 所示，则（ ）。 A. 函数 的最小正周期是 B. 函数 的图像关于点 对称 C. 函数 的图像关于直线 对称 D. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得的函数图像关于 y 轴对称 解 由三角函数的图像可知 ，， ∴ ，且 ，∴ 。 又 ， ∴ ， ∴ 。又 ， ∴ 。 典例分析 例 题型三 由图象求解析式 4 (多选) 函数 （其中 ）的部分图像如图 5-6-10 所示，则（ ）。 A. 函数 的最小正周期是 B. 函数 的图像关于点 对称 C. 函数 的图像关于直线 对称 D. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得的函数图像关于 y 轴对称 ∴ 。 对于 A，函数 的最小正周期是 ，故 A 错；对于 B，当 时，， 不是函数的对称中心，故 B 错； 对于 C，当 时，，故 C 正确；对于 D，函数 向右平移 个单位长度后，可得所得函数为偶函数， 关于 y 轴对称，故 D 正确。答 CD 典例分析 例 A: 一般可由图像的最高点和最低点的纵坐标来确定 |A|， |A k：可由图像的最高点和最低点的纵坐标来确定 k， k= ω：因为 T=，所以往往通过求周期 T 来确定 ω，可通过已知曲线及其与 x 轴的交点来确定 T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ，相邻的两个最高点（最低点）之间的水平距离为 T。 y=Asin(ωx+φ)+k 依据五点作图法的原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”（即图像第一次上升时与 x 轴的交点）横坐标满足 ωx+φ=0; “第二点”（即图像的“峰点”）横坐标满足 ωx+φ=; “第三点”（即图像下降时与 x 轴的交点）横坐标满足 ωx+φ=π; “第四点”（即图像的“谷点”）横坐标满足 ωx+φ=; “第五点”（即图像第二次上升时与 x 轴的交点）横坐标满足 ωx+φ=2π. y=Asin(ωx+φ)+k 目标六：针对训练 举一反三 1.要得到函数的图象，可以将函数的 图象() A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析: 因为 , 且 , 所以将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.故选 A. 举一反三 2.若把函数y = f(x) 的图象沿x轴向左平移个单位长度,沿y轴向下 平移一个单位长度,然后再把图象上各个点的横坐标缩短到原来的, 得到函数y=sinx的图象,则y = f(x) 的解析式为(D) B. C. D.     解析: 函数 的图象上各个点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到 的图象, 然后向上平移一个单位长度得到 的图象, 再向右平移 个单位长度得到 的图象, 所以 . 故选 D. 举一反三 3.要得到函数的图象，只需将的图象上所有的 点() A.横坐标变为原来的（纵坐标不变） B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C.横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 解析: 对于 A, C, 先将 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到 的图象, 再将 图象上所有的点向左平移 个单位长度得到 的图象, 故 A 错误, C 正确; 对于 B, D, 先将 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 的图象, 后续平移变换必得不到 的图象, 故 B, D 错误. 举一反三 4.函数的图象向左平移个单位长度后与函数 的图象重合，则 解析: 函数 ， ，又平移后两函数的图象重合，所以 因为 ，所以 目标七：小结 学海拾贝 1. 核心逻辑：由“原”到“新” 所有变换都基于 y = sin x 这个“母函数”。变换口诀是：先平移（φ），再周期（ω），最后振幅（A）。 2. 三大变换详解（“三部曲”） 相位变换（φ）—— 左右平移 规则：左加右减。 操作：将 y = sin x 图象上所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移 |φ| 个单位。 注意：这里是针对 x 本身的平移，与 ω 无关（先平移时）。 学海拾贝 周期变换（ω）—— 横向伸缩 规则：横坐标变为原来的 倍（ω>1 时图象“挤扁”，0<ω<1 时“拉宽”）。 操作：图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长或缩短。 结果：周期由 2π 变为 T = 。 振幅变换（A）—— 纵向伸缩 规则：纵坐标变为原来的 A 倍。 操作：图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）。 结果：值域变为 [-A, A]，A 决定波峰波谷的高度。 学海拾贝 3. 易错警示（“先平移 vs 先伸缩”） 这是考试最常设陷阱的地方。两种顺序的平移量不同： 先平移 φ（推荐）： y = sin x → 左移 φ → y = sin(x + φ) → 横缩 ω → y = sin(ωx + φ) （平移 |φ| 个单位，简单直接） 先伸缩 ω（易错）： y = sin x → 横缩 ω → y = sin(ωx) → 左移 → y = sin[ω(x + )] = sin(ωx + φ) （平移量变成了 ，不是 φ！） 一句话总结：若先伸缩后平移，平移的“剂量”要除以 ω。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $