9. 带电粒子在电场中的运动（重难点专练）物理教科版必修第三册

**基本信息** 以题型为纲构建“粒子分类-运动模型-方法选择”三级体系，通过动力学与能量观点双线整合带电粒子在电场中的运动规律，渗透科学思维与模型建构素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线运动|1例+3变式|动力学（牛顿定律+运动公式）与功能关系（动能定理）双角度选择，明确粒子重力是否忽略的判断标准|从粒子受力特点出发，建立匀变速直线运动模型，推导加速问题的普适性公式| |匀强电场偏转|1例+3变式|运动分解法（水平匀速、竖直匀加速），提炼偏转位移、偏转角公式及“中点射出”等推论|基于类平抛运动模型，推导运动参量与电场参量的定量关系，强化矢量合成思想| |先加速后偏转|1例+3变式|加速过程动能定理与偏转过程运动分解结合，证明偏移量、偏转角与粒子q/m无关的结论|整合加速电场能量转化与偏转电场运动合成，揭示示波器原理的理论基础|

1.9 带电粒子在电场中的运动 （题型突破） 题型01 带电粒子在电场中的直线运动 题型02 带电粒子在电场中偏转 题型03 带电粒子先加速后偏转（示波器的原理） ▌题型01 带电粒子在电场中的直线运动 1.带电粒子的分类及受力特点 (1)电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力 . (2)质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力 . 2.分析带电粒子在静电力作用下加速运动问题的两个角度 动力学角度 功能关系角度 涉及知识 应用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式 功的公式及动能定理 选择条件 匀强电场，静电力是恒力 可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，静电力可以是恒力，也可以是变力 3．带电粒子加速问题的处理方法： ①利用动能定理分析．：初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝. ②在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析． 【例1】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）如图所示，两平行金属板M、N相距为d，电势差为U，M板上有一小孔O，一电子从O点以某一初速度沿垂直于M板的方向射入，恰好到达N板。已知电子质量为m，所带电荷量为，不计其所受重力。 (1)求金属板间电场强度的大小E。 (2)求电子射入平行金属板时初速度的大小。 (3)保持两金属板M、N间电压U和电子从O点射入平行金属板时的初速度不变，使N板向左移动一小段距离，请分析电子是否依然恰好到达N板？请说明理由。 【变式训练1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，相互平行的竖直金属板A、B、C分别与两电源的正、负极相连，板上均有小孔，且三个小孔在同一水平线上，之间的距离小于之间的距离。一个质子从靠近A板小孔的位置由静止出发，恰好运动到C板的小孔时速度为零。不计质子重力，下列说法正确的是（　　） A．质子在间与间运动的时间相等 B．质子在间与间运动的加速度大小相等 C．若仅将板C向右移动，则质子在间运动的加速度不变 D．若仅将板C向右移动，则质子仍然能到达C板的小孔处 【变式训练2】（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，两平行金属板竖直放置，板上两孔正好水平相对，板间电压为。一个动能为的电子从A孔沿垂直板方向射入电场中。经过一段时间电子离开电场，则电子离开电场时的动能大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高二下·河南焦作·期中）如图所示，平行板电容器倾斜放置，与水平面夹角为。质量为m、电荷量为q的带正电微粒从上极板CD左侧C点进入电容器，沿水平直线运动到下极板的B点时速度恰好为0，重力加速度为g，极板长为L，极板间电场视为匀强电场，下列说法正确的是（　　） A．微粒在极板间做匀速运动 B．CD极板带正电荷 C．匀强电场的场强大小为 D．粒子进入电容器时的速度大小为 ▌题型02 带电粒子在匀强电场中的偏转 1．带电粒子在匀强电场中偏转的基本规律 2．偏转位移和偏转角 （1）粒子离开电场时的偏转位移y＝at2＝.＝。 （2）粒子离开电场时的偏转角tan θ＝＝。 （3）粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切值tan α＝＝。 3．两个常用的推论 （1）粒子射出电场时好像从板长l的处沿直线射出，即x＝＝。 （2）位移方向与初速度方向夹角的正切值为速度偏转角正切值的，即tan α＝tan θ。 4．运动轨迹：抛物线。 【例2】(2026·江苏省·月考试卷)、板间存在竖直方向的匀强电场，现沿垂直电场线方向射入三种比荷电荷量与质量之比相同的带电粒子不计重力，、和的运动轨迹如图所示，其中和是从同一点射入的。不计空气阻力，则可知粒子运动的全过程中() A.加速度 B.飞行时间 C.速度变化量 D.电势能的减少量 。 【变式训练1】（2025·浙江杭州·高二期中）如图所示，质量相同，带电量不同的两带电粒子（重力不计）以大小相同的初速度从左上端水平射入平行板电容器，粒子1打在下极板中点处，其在电场中的运动时间为，加速度为，粒子2由右侧板中央处射出电场区域，其在电场中的运动时间为，加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）(2025秋·陕西咸阳·高二校考期末)如图所示，三个质量相等、分别带正电、负电和不带电的小球，以相同速率在带电平行金属板的P点沿垂直于电场方向射入电场，落在A、B、C三点。下列说法正确的是(　　) A．落到A点的小球带正电、落到B点的小球不带电、落到C点的小球带负电 B．三小球在电场中运动时间相等 C．三小球到达正极板的动能关系是EkA>EkB>EkC D．三小球在电场中的加速度关系是a>a>a 【变式训练3】1(2026·江苏省南通市·期中考试)如图所示，平行板电容器的两个极板、长均为，极板间距离为。一个质量为、电荷量为的带电粒子从的左端沿板方向以速度射入极板间，粒子恰好从板的右端射出。不计粒子的重力和空气阻力。求： 粒子在、间运动的时间。 、间的电压。 ▌题型03 带电粒子先加速后偏转 1. 不同的带电粒子由静止开始经过同一电场(U1)加速后，再从同一偏转电场(电压U2、板宽d、板长L)射出时的偏移y、偏转角度φ总是相同的。证明：U1 d U2 q v L m v0 y q y v0 (1)由qU1=；得 (2)由qU1=；，得tan φ。 2.结论： （1）偏移y、偏转角度φ与粒子电量q和质量m无关； （2）与偏转电压U2成正比，与加速电压U1成反比。 3.求粒子打到荧光屏上总偏移的三种方法 【典例4】（25-26高二上·四川泸州·期中）如图所示，一个质量为m = 2.0×10−11 kg，电荷量q = + 1.0×10−5 C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U1 = 100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场，偏转电场的电压U2 = 300 V。金属板长L = 20 cm，两板间距d = 30 cm。求： (1)微粒进入偏转电场时的速度v0大小； (2)微粒射出偏转电场时的偏转角； (3)微粒射出偏转电场时的动能。 【变式训练1】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图所示，A为粒子源，在A和极板B间的加速电压为，在两水平放置的平行带电板C、D间的电压为。P为荧光屏，距偏转电场右端的水平距离为。现设有质量为m，电荷量为q的质子初速度为零，从A被加速电压加速后水平进入竖直方向的匀强电场，平行带电板的极板的长度为L，两板间的距离为d，不计带电粒子的重力，求： (1)带电粒子在射出B板时的速度大小； (2)带电粒子飞出C、D电场时在竖直方向上发生的位移大小y； (3)现有质子、氘核和粒子三种带正电的粒子（电量之比为1：1：2，质量之比为1：2：4），分别在A板附近由静止开始经过该实验装置，不计粒子重力及粒子间的相互作用，判断它们打在荧光屏上的位置是否相同。（直接给出答案即可，不用说明理由） 【变式训练2】图示为示波管的工作原理图∶电子经电场加速后垂直于偏转电场方向射入偏转电场，若加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转电场的极板长度与极板间的距离分别为L和d，y为电子离开偏转电场时发生的偏转距离。取“单位偏转电压引起的偏转距离”来描述示波管的灵敏度，即（该比值越大则灵敏度越高），则下列方法可以提高示波管的灵敏度的是（     ） A．增大U1 B．增大U2 C．减小L D．减小d 【变式训练3】一个电荷量为、质量为的带电粒子，由静止经电压为的加速电场加速后，立即沿中心线垂直进入一个电压为的偏转电场，然后打在垂直于放置的荧光屏上的点，偏转电场两极板间距为，极板长，极板的右端与荧光屏之间的距离也为。整个装置如图所示，（不计粒子的重力）求： (1)粒子出加速电场时的速度的大小； (2)粒子出偏转电场时的偏移距离； (3)点到的距离。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.9 带电粒子在电场中的运动 （题型突破） 题型01 带电粒子在电场中的直线运动 题型02 带电粒子在电场中偏转 题型03 带电粒子先加速后偏转（示波器的原理） ▌题型01 带电粒子在电场中的直线运动 1.带电粒子的分类及受力特点 (1)电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力 . (2)质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力 . 2.分析带电粒子在静电力作用下加速运动问题的两个角度 动力学角度 功能关系角度 涉及知识 应用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式 功的公式及动能定理 选择条件 匀强电场，静电力是恒力 可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，静电力可以是恒力，也可以是变力 3．带电粒子加速问题的处理方法： ①利用动能定理分析．：初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝. ②在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析． 【例1】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）如图所示，两平行金属板M、N相距为d，电势差为U，M板上有一小孔O，一电子从O点以某一初速度沿垂直于M板的方向射入，恰好到达N板。已知电子质量为m，所带电荷量为，不计其所受重力。 (1)求金属板间电场强度的大小E。 (2)求电子射入平行金属板时初速度的大小。 (3)保持两金属板M、N间电压U和电子从O点射入平行金属板时的初速度不变，使N板向左移动一小段距离，请分析电子是否依然恰好到达N板？请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）根据场强的定义式可得金属板间电场强度的大小为 （2）由动能定理 解得电子射入平行金属板时初速度的大小 （3）由动能定理 可得 故保持两金属板M、N间电压U和电子从O点射入平行金属板时的初速度不变，使N板向左移动一小段距离，电子依然恰好到达N板。 【变式训练1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，相互平行的竖直金属板A、B、C分别与两电源的正、负极相连，板上均有小孔，且三个小孔在同一水平线上，之间的距离小于之间的距离。一个质子从靠近A板小孔的位置由静止出发，恰好运动到C板的小孔时速度为零。不计质子重力，下列说法正确的是（　　） A．质子在间与间运动的时间相等 B．质子在间与间运动的加速度大小相等 C．若仅将板C向右移动，则质子在间运动的加速度不变 D．若仅将板C向右移动，则质子仍然能到达C板的小孔处 【答案】D 【详解】A．从A板小孔的位置到C板的小孔的位置，质子先加速运动，后减速运动， 又知道，所以，A错误； B．加速阶段加速度大小 减速阶段加速度大小 又知道，所以，B错误； C．质子在间运动的加速度大小 若仅将板C向右移动，则变大，变小，故C错误； D．未移动C板情况下，对质子列全程动能定理 若仅将板C向右移动，对质子列全程动能定理 联立解得质子达C板小孔处的速度，故质子仍然能到达C板的小孔处，D正确。 故选D。 【变式训练2】（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，两平行金属板竖直放置，板上两孔正好水平相对，板间电压为。一个动能为的电子从A孔沿垂直板方向射入电场中。经过一段时间电子离开电场，则电子离开电场时的动能大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于 电子由A向B运动过程中做匀减速运动，速度减小为零后，反向加速，由运动的对称性可知，再次回到A点的动能大小为。 故选C。 【变式训练3】（25-26高二下·河南焦作·期中）如图所示，平行板电容器倾斜放置，与水平面夹角为。质量为m、电荷量为q的带正电微粒从上极板CD左侧C点进入电容器，沿水平直线运动到下极板的B点时速度恰好为0，重力加速度为g，极板长为L，极板间电场视为匀强电场，下列说法正确的是（　　） A．微粒在极板间做匀速运动 B．CD极板带正电荷 C．匀强电场的场强大小为 D．粒子进入电容器时的速度大小为 【答案】D 【详解】AB．对粒子受力分析如图所示，电场力和重力的合力与速度反向，所以粒子做匀减速运动，由于微粒带正电，所受电场力方向与场强方向相同，故CD板带负电，选项AB错误； C．由图可知 解得 C错误； D．粒子从C到B位移大小为 由牛顿第二定律 由运动学公式 解得 D正确。 故选D。 ▌题型02 带电粒子在匀强电场中的偏转 1．带电粒子在匀强电场中偏转的基本规律 2．偏转位移和偏转角 （1）粒子离开电场时的偏转位移y＝at2＝.＝。 （2）粒子离开电场时的偏转角tan θ＝＝。 （3）粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切值tan α＝＝。 3．两个常用的推论 （1）粒子射出电场时好像从板长l的处沿直线射出，即x＝＝。 （2）位移方向与初速度方向夹角的正切值为速度偏转角正切值的，即tan α＝tan θ。 4．运动轨迹：抛物线。 【例2】(2026·江苏省·月考试卷)、板间存在竖直方向的匀强电场，现沿垂直电场线方向射入三种比荷电荷量与质量之比相同的带电粒子不计重力，、和的运动轨迹如图所示，其中和是从同一点射入的。不计空气阻力，则可知粒子运动的全过程中() A.加速度 B.飞行时间 C.速度变化量 D.电势能的减少量 【答案】C 【解析】根据题意，带电粒子的比荷、匀强电场的场强均相同，根据牛顿第二定律有，解得，可知它们运动的加速度相同，故A错误 带电粒子在竖直方向都做初速度为零的匀加速直线运动，由，得，由图可知，则，故B错误 速度变化量，联立解得，故C正确 电场力做功为，由于电荷量关系不能确定，所以不能确定电场力做功的大小，也就不能确定电势能减少量的大小，故D错误。 【变式训练1】（2025·浙江杭州·高二期中）如图所示，质量相同，带电量不同的两带电粒子（重力不计）以大小相同的初速度从左上端水平射入平行板电容器，粒子1打在下极板中点处，其在电场中的运动时间为，加速度为，粒子2由右侧板中央处射出电场区域，其在电场中的运动时间为，加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．水平匀速，根据 大小相同的初速度从左上端水平射入平行板电容器，所以 故AB错误； CD．竖直方向 所以 故C错误D正确。 故选D。 【变式训练2】（多选）(2025秋·陕西咸阳·高二校考期末)如图所示，三个质量相等、分别带正电、负电和不带电的小球，以相同速率在带电平行金属板的P点沿垂直于电场方向射入电场，落在A、B、C三点。下列说法正确的是(　　) A．落到A点的小球带正电、落到B点的小球不带电、落到C点的小球带负电 B．三小球在电场中运动时间相等 C．三小球到达正极板的动能关系是EkA>EkB>EkC D．三小球在电场中的加速度关系是a>a>a 【答案】AD 【详解】BD．由图看出，水平位移的关系为 xA>xB>xC 而它们的初速度v0相同，由位移公式x=v0t得知，运动时间关系为 tA>tB>tC 三个小球在竖直方向都做匀加速直线运动，竖直位移大小y相等，由位移公式得到，加速度的关系为 aC>aB>aA B错误，D正确； A．根据牛顿第二定律得知，三个小球的合力关系为 FA<FB<FC 三个小球质量相等，重力相等，可知落在A的小球所受的电场力向上，落在C的小球所受的电场力向下，即落到A点的小球带正电、落到B点的小球不带电、落到C点的小球带负电，A正确； C．由上分析得到，电场力对A做负功，电场力对C做正功，而重力做功相等，而且重力都做正功，合力对小球做功A最小，C最大，初动能相等，则根据动能定理得知，到达正极板时动能关系 EkA<EkB<EkC C错误。 【变式训练3】1(2026·江苏省南通市·期中考试)如图所示，平行板电容器的两个极板、长均为，极板间距离为。一个质量为、电荷量为的带电粒子从的左端沿板方向以速度射入极板间，粒子恰好从板的右端射出。不计粒子的重力和空气阻力。求： 粒子在、间运动的时间。 、间的电压。 【答案】解：粒子在极板间做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有： 可得：； 设两极板间的场强为，粒子的加速度为，则： 由牛顿第二定律有： 在垂直于极板方向上则有： 代入数据可得：。 答：粒子在、间运动的时间为； (2) 、间的电压为变 ▌题型03 带电粒子先加速后偏转 1. 不同的带电粒子由静止开始经过同一电场(U1)加速后，再从同一偏转电场(电压U2、板宽d、板长L)射出时的偏移y、偏转角度φ总是相同的。证明：U1 d U2 q v L m v0 y q y v0 (1)由qU1=；得 (2)由qU1=；，得tan φ。 2.结论： （1）偏移y、偏转角度φ与粒子电量q和质量m无关； （2）与偏转电压U2成正比，与加速电压U1成反比。 3.求粒子打到荧光屏上总偏移的三种方法 【典例4】（25-26高二上·四川泸州·期中）如图所示，一个质量为m = 2.0×10−11 kg，电荷量q = + 1.0×10−5 C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U1 = 100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场，偏转电场的电压U2 = 300 V。金属板长L = 20 cm，两板间距d = 30 cm。求： (1)微粒进入偏转电场时的速度v0大小； (2)微粒射出偏转电场时的偏转角； (3)微粒射出偏转电场时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）微粒在加速电场中做加速运动，由动能定理得 解得 （2）微粒在偏转电场中做类平抛运动，如图所示 水平方向有 竖直方向有 由牛顿第二定律得 飞出电场时，速度偏转角的正切 联立解得 （3）竖直方向偏移距离 联立以上各式，代入数据解得 由静止开始进入加速电场到飞出偏转电场的过程中，根据动能定理有 解得 【变式训练1】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图所示，A为粒子源，在A和极板B间的加速电压为，在两水平放置的平行带电板C、D间的电压为。P为荧光屏，距偏转电场右端的水平距离为。现设有质量为m，电荷量为q的质子初速度为零，从A被加速电压加速后水平进入竖直方向的匀强电场，平行带电板的极板的长度为L，两板间的距离为d，不计带电粒子的重力，求： (1)带电粒子在射出B板时的速度大小； (2)带电粒子飞出C、D电场时在竖直方向上发生的位移大小y； (3)现有质子、氘核和粒子三种带正电的粒子（电量之比为1：1：2，质量之比为1：2：4），分别在A板附近由静止开始经过该实验装置，不计粒子重力及粒子间的相互作用，判断它们打在荧光屏上的位置是否相同。（直接给出答案即可，不用说明理由） 【答案】(1) (2) (3)相同， 【详解】（1）在加速电场，由动能定理得，解得 （2）设粒子在偏转电场中运动的时间为 设粒子在离开偏转电场时纵向偏移量为 加速度为，联立解得 （3）根据上述分析可知，粒子离开偏转电场时纵向偏转与粒子的比荷无关，因此质子、氘核和粒子三种带正电的粒子打在荧光屏上的位置相同。设粒子打在荧光屏上距离中轴线的竖直距离为，粒子在偏转电场中做类平抛运动，速度的反向延长线交于水平位移中点，则由相似可得 解得三种粒子打在荧光屏上距离中轴线的竖直距离为 【变式训练2】图示为示波管的工作原理图∶电子经电场加速后垂直于偏转电场方向射入偏转电场，若加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转电场的极板长度与极板间的距离分别为L和d，y为电子离开偏转电场时发生的偏转距离。取“单位偏转电压引起的偏转距离”来描述示波管的灵敏度，即（该比值越大则灵敏度越高），则下列方法可以提高示波管的灵敏度的是（     ） A．增大U1 B．增大U2 C．减小L D．减小d 【答案】D 【详解】设经过加速电场后电子的速度为，则有 得 电子进入偏转电场后的加速度 运动时间 所以电子进入偏转电场后的偏转的位移为 所以灵敏度为 所以要提高灵敏度，应该减小，增大L，减小d。 故选D。 【变式训练3】一个电荷量为、质量为的带电粒子，由静止经电压为的加速电场加速后，立即沿中心线垂直进入一个电压为的偏转电场，然后打在垂直于放置的荧光屏上的点，偏转电场两极板间距为，极板长，极板的右端与荧光屏之间的距离也为。整个装置如图所示，（不计粒子的重力）求： (1)粒子出加速电场时的速度的大小； (2)粒子出偏转电场时的偏移距离； (3)点到的距离。 【答案】(1) (2)0.03m (3)0.09m 【详解】（1）粒子在加速电场中运动，根据动能定理有 解得 （2）粒子进入偏转电场后做类平抛运动，在水平方向上有 在竖直方向上有， 联立解得 （3）根据 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $