第二十八章 旋转 单元巩固测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦旋转单元核心知识，通过基础概念辨析、空间变换推理及实际问题解决，分层考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|旋转识别、中心对称性质、坐标变换|以电流表指针摆动等情境考查旋转概念，结合图形变换考角度计算| |填空题|6/18|旋转后线段长度、中心对称图形、旋转规律|通过网格图形、正方形旋转考空间观念，第13题结合旋转变换规律考探究能力| |解答题|8/72|旋转作图、证明、抛物线应用|第24题以水上乐园滑梯为背景，用抛物线模型解决最大高度与安全距离问题，体现数学语言表达现实世界|

第二十八章 旋转 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 3．已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 4．如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 5．已知和关于原点对称，则的值（   ） A． B． C．7 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征． 关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴，且， 解得； ∴， 故选：B． 6．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 7．如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据邻补角定义可以求出，根据旋转的性质可知旋转角是． 【详解】解：在中，，， ， ， 旋转角是． 8．如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转有：， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 9．在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：A、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； B、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； C、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； D、点与点关于原点对称，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点关于原点O的对称点是． 10．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______．    【答案】7 【分析】由旋转的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，勾股定理，旋转的性质．先利用勾股定理计算出，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12，由于，于是可判断三角形（2024）与三角形（2）的状态一样，据此计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴在中，， 第（2）个三角形如图，作于点， ∵，，， ∴，解得， ∴， ∴第（2）个三角形直角顶点的坐标是 ∴的周长， 由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，即每三次旋转为一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12， ∵， ∴三角形（2024）与三角形（2）的状态一样， ∴三角形（2024）的直角顶点的横坐标，纵坐标为， ∴三角形（2024）的直角顶点的坐标是． 故答案为：． 14．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    【答案】② 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 16．在中，．将绕点旋转，点的对应点记为，点的对应点记为，顺次连接，，得到四边形．所得四边形为___________（从①矩形；②菱形；③正方形中选择，只填写序号即可），判断此结论的依据是___________． 【答案】 ① 对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】根据要求画出图形即可，根据矩形的判定解决问题即可． 【详解】解：四边形是矩形．如图， 理由：∵， ∴， 由旋转的性质知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故答案为：①，对角线相等的平行四边形是矩形， 【点睛】本题考查作图-旋转变换，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，经过旋转后到达的位置，点落在的延长线上，． (1)直接写出旋转中心； (2)若相交于点，求的度数； 【答案】(1)旋转中心为点； (2)． 【分析】（）根据旋转的概念即可求解； （）设相交于点，根据对顶角线段可得，由旋转性质可知，最后由三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了旋转的性质，对顶角相等，三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：旋转中心为点； （2）解：设相交于点， ∴， ∵经过旋转后到达的位置， ∴， ∵，， ∴． 18．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 19．在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点A对应点坐标为， ①请画出平移后的； ②若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是______；（用字母a、b表示）． (3)将绕某一点E旋转可得到，直接写出点E的坐标是______； (4)若点P是网格中第二象限内的格点，且满足，这样的点P在网格中有______个． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)①如图所示，即为所求； ② (3) (4)9 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，平行四边形的性质与判定，正确根据图形的变换方式找到对应点位置是解题的关键． （1）绕原点O顺时针旋转，旋转前后对应点的横纵坐标互为相反数，据此描出，再顺次连接即可； （2）①根据点A和点的坐标，可判断出平移方式，进而确定的坐标，描出，再顺次连接即可；②根据平移方式即可得到带你的坐标； （3）可证明四边形是平行四边形，则点E即为四边形对角线的交点，据此根据两点中点坐标计算公式求解即可； （4）由可知，点P到直线的距离等于点B到直线的距离的一半或点P到直线的距离等于点C到直线的距离的一半或点P到直线的距离等于点A到直线的距离的一半，据此根据网格的特点作图求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵将平移后得到，点对应点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标是； （3）解：由平移和旋转的性质可得， ∴四边形是平行四边形， ∵将绕某一点E旋转可得到， ∴点E即为四边形对角线的交点， ∵， ∴，即； （4）解：如图所示，到即为所求， ∴一共有9个点P符合题意． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 【答案】(1)解：如图，即为所求； ； (2)如图，即为所求； ； 线段在平移过程中扫过的面积为 【分析】（1）根据中心对称的性质，分别作出、、的对应点、、，再依次连接，即可得到，根据图形可得到的坐标； （2）根据题意可得到点的平移规律，再根据平移规律得到各个点的对应点，再依次连接可得到，线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积，利用割补法求出线段在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）略 （2）解：线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2)， 【分析】本题主要考查了画旋转图形，中心对称的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质以及画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画旋转图形的方法画出即可； （2）由题意得，点与点关于点中心对称，结合中心对称的性质可得，，求出、的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：点随着绕点M旋转得到， 点与点关于点中心对称， ，， ，， 故答案为：，． 22．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． (1)画出 关于原点O 的中心对称图形 (2)画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求，． 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先作出 关于的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出 绕顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可，并写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 23．根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （2）利用关于原点对称的点的横坐标相反数，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （3）结合平行于y轴的一条直线上，得到横坐标相同，进行列式，解得，因为点P在点Q的上面，点间的距离为4，故，进行解题即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得； （2）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 整理得， 解得 把代入得， 解得， （3）解：∵点与点在平行于y轴的一条直线上， ∴ ∴ 解得， ∵点P在点Q的上面，点间的距离为4， ∴， ∴． 24．某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． （2）解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ② 略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 2．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 5．已知和关于原点对称，则的值（   ） A． B． C．7 D．3 6．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 7．如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 9．在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 10．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 12．如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______．    13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是______． 14．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 15．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    16．在中，．将绕点旋转，点的对应点记为，点的对应点记为，顺次连接，，得到四边形．所得四边形为___________（从①矩形；②菱形；③正方形中选择，只填写序号即可），判断此结论的依据是___________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，经过旋转后到达的位置，点落在的延长线上，． (1)直接写出旋转中心； (2)若相交于点，求的度数； 18．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 19．在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点A对应点坐标为， ①请画出平移后的； ②若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是______；（用字母a、b表示）． (3)将绕某一点E旋转可得到，直接写出点E的坐标是______； (4)若点P是网格中第二象限内的格点，且满足，这样的点P在网格中有______个． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 21．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 22．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． (1)画出 关于原点O 的中心对称图形 (2)画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 23．根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 24．某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $