05 第一章 第5课时 基本不等式的综合应用(进阶课)-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式综合应用，涵盖恒成立问题、实际应用、与函数几何交汇等高考核心考点，按问题类型分层梳理，通过典例精讲、通性通法总结、多维变式训练构建知识网络，设计考点梳理、方法指导、真题演练三步教学流程，帮助学生突破条件转化、等号验证等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用“问题驱动-变式拓展”教学法，结合车流量优化、加油方案比较等实际情境培养数学应用意识，通过三元均值不等式、柯西不等式拓展提升逻辑推理能力，设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合真题解析和方法归纳，助力学生高效掌握不等式工具，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

*第5课时　基本不等式的综合应用(进阶课) [总体概览]　基本不等式的综合应用主要包括：求解与基本不等式有关的恒成立问题，基本不等式在实际问题中的应用，会综合应用基本不等式解决问题等．基本不等式问题一般不单独考查，常与其他知识综合考查． 类型一　与基本不等式有关的恒成立问题 [典例1]　(2025·天津和平区期末)已知x＞0，y＞0，且＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，6) B．(－3，0) C．(－4，1) D．(1，3) C　[因为x＞0，y＞0，且＝， 所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)＝＝6， 当且仅当x＋2＝y，即y＝3，x＝1时取等号， 所以x＋y的最小值为4， 若x＋y＞m2＋3m恒成立，则4＞m2＋3m， 解得－4＜m＜1． 故选C．] 通性通法：∀x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a；∀x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a． [多维变迁] 已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，25] B．(－∞，25) C．(－∞，24] D．[24，＋∞) A　[由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，得＝1， 则3x＋2y＝(3x＋2y)＝＋9＋4＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，且＝1，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25． 故实数t的取值范围是(－∞，25]．故选A．] 类型二　基本不等式的实际应用 [典例2]　春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上某时间段内的车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)、平均车长l(单位：米)之间满足函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/时，车流量为1万辆/时． (1)求该车型的平均车长l； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y达到最大值？ [解]　(1)由题意，当v＝100(千米/时)时，y＝1(万辆/时)， ∴1＝，∴l＝5(米)．∴该车型的平均车长为5米． (2)由(1)知，y＝(0<v≤120)． ∵v>0，∴y＝＝＝，当且仅当v＝，即v＝80千米/时时取等号． 故当汽车的平均速度为80千米/时时，车流量y达到最大值． 通性通法：利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． [多维变迁] 1．(2026·厦门模拟)由于燃油的价格有升也有降，现有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 B　[任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价为＝；第二种方案的均价为＝所以无论油价如何变化，第二种都更划算．] 2．(北师大版必修第一册P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形，当矩形的长为________ cm，宽为________ cm时，面积最大． 4　4　[设矩形的长为x cm，宽为y cm， 则x＋y＝8， 其面积S＝xy≤＝16， 当且仅当x＝y＝4时等号成立．] 类型三　基本不等式与其他知识交汇问题 [典例3]　已知二次函数f (x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则的最小值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 B　[依题意，二次函数f (x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点， 令ax2－2x＋2b＝0， 所以Δ＝(－2)2－4a·2b＝0，所以ab＝1． 因为a>0，所以b>0， 所以≥2＝2，当且仅当＝， 即a＝，b＝时，等号成立．] 通性通法：基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助基本不等式来解决其中的最值问题． [多维变迁] 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心在直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)上，则ab的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 B　[由题知，圆心(1，2)在直线ax＋by－2＝0上， ∴a＋2b＝2． 又a>0，b>0，∴2＝a＋2b≥2， ∴ab≤，当且仅当a＝2b，且a＋2b＝2，即a＝1，b＝时等号成立，∴ab的最大值为] 三元均值不等式及应用 三元基本不等式的形式 如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取等号)． 如果a，b，c∈R＋，那么 (当且仅当a＝b＝c时取等号)． 称为正数a，b，c的算术平均数，称为正数a，b，c的几何平均数． 用三元均值不等式和a3＋b3＋c3≥3abc求最值时的使用条件是“一正、二定、三相等”． [典例4]　设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求(1－a)·(1－b)·(1－c)的最大值． [解]　由于a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 所以0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝＝，当且仅当1－a＝1－b＝1－c， 即a＝b＝c＝时，原式取得最大值 [母题探究] (变结论)本例中，条件不变，求的最小值． [解]　∵a，b，c均属于正实数，a＋b＋c＝1， ∴3≤a＋b＋c＝1，∴， ∴≥3，∴≥3≥9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． ∴的最小值为9． 【教用·教材拓展】 柯西不等式 1．教材母题 (人教A版必修第二册P37习题6.3T16)用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 上述不等式就是二维形式的柯西不等式，其证明的向量方法为教材P19数量积的性质(4)：|a·b|≤|a||b|． 2．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式可以达到事半功倍的效果． (1)柯西不等式的代数形式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 推广：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式 设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数， 则 ≥ [典例1]　函数f (x)＝2的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　) A． B． C． D． A　[f (x)的定义域为[4，5]，由柯西不等式可知，(2)2≤(22＋12)·[()2＋()2]＝5，所以2，当且仅当2＝，即x＝时取等号，故函数f (x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为故选A．] [典例2]　若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________． 　[根据柯西不等式：(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1， 即x2＋y2＋z2≥， 当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．] 课时作业(五)　基本不等式的综合应用(进阶课) 一、单项选择题 1．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．4 C　[因为|MF1|＋|MF2|＝6，|MF1|＞0，|MF2|＞0， 所以|MF1|·|MF2|≤＝＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立， 所以|MF1|·|MF2|的最大值为9．故选C．] 2．(2026·枣庄模拟)已知实数x，y>0，＝2，且x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A． B．(－∞，9] C． D．[9，＋∞) A　[由＝2，可得＝1， 又因为x，y>0， 则x＋y＝(x＋y)·＝＋2＋＋2＝， 当且仅当＝，即y＝2x＝3时取等号， 所以(x＋y)min＝， 由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝， 即实数m的取值范围为] 3．(人教A版必修第一册P49习题2.2T7)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客．对于顾客购得的黄金，下列说法正确的是(　　) A．小于10 g B．等于10 g C．大于10 g D．无法判断 C　[设天平的左臂长为a cm，右臂长为b cm，放在左盘中的黄金为x g，放在右盘中的黄金为y g， 则由天平的平衡条件可得解得x＝，y＝ 所以x＋y≥2＝10．当且仅当x＝y，即a＝b时，取等号， 而天平的两臂不等长，即a≠b，则上述不等式等号无法取得， 因此x＋y>2＝10，即顾客购得的黄金大于10 g．故C正确．] 二、多项选择题　 4．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A． B． C．3 D． ABC　[由x>0，y>0，得xy>0， ≤x＋2y恒成立， 即＝恒成立， 又＝(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝y＝时，等号成立， 故≤9，即－9＝≤0， 即 解得m<1或m≥] 5．三元均值不等式：当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立．根据上面结论，下列不等式成立的有(　　) A．若x＞0，则x2＋≥3 B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C．若x＞0，则2x＋≥3 D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ AC　[对于A，x＞0，x2＋＝x2＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，所以2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)≤＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时等号成立，故D错误．故选AC．] 三、填空题 6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________． 1　[∵正实数x，y满足x＋y＝2， ∴xy≤＝＝1，∴≥1， 又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1．] 7．(2026·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半．已知△ABC的周长为12，c＝4，则此三角形面积最大时，A＝________． 60°　[由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6， 则S＝＝ ≤＝4， 当且仅当a＝b＝4时取等号， 所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°．] 四、解答题 8．2025年6月5日是第54个世界环境日，我国环境日的主题是“美丽中国我先行” ，某高中准备设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面高与宽的比为a(a＜1)，画的上下部分各留出5 cm的空白，左右部分各留出8 cm的空白． 如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张的面积最小？并求出此时a的值． [解]　设纸张的面积为S，画面的高为x cm(x＞0)，则宽为cm， 根据题意得S＝(x＋10)＝5 000＋16x＋≥5 000＋2＝6 760， 当且仅当16x＝，即x＝55 时等号成立，所以当画面的高为55 cm，宽为＝88 cm时，宣传画所用纸张的面积最小，此时a＝＝ 学科网（北京）股份有限公司 $