第2章 培优进阶1 函数性质的综合应用(高考超重点)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

培优进阶1　函数性质的综合应用(高考超重点) 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题形式出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查. 题型一　函数的奇偶性与单调性 (1)(2025·山东日照一模)定义在R上的函数y＝f满足以下条件：①f－f＝0；②对任意x1，x2∈，当x1≠x2时都有＞0.则f，f，f的大小关系是(　　) A.f＞f＞f B.f＞f＞f C.f＜f＜f D.f＜f＜f (2)(2025·四川绵阳二模)已知定义在R上的函数g＝ex－e－x＋f，其中g是奇函数且在R上单调递减，f＋f＞0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A 　(2)B 解析：(1)因为定义在R上的函数y＝f满足条件f－f＝0，所以函数f是偶函数，对任意x1，x2∈，当x1≠x2时都有＞0，所以不妨设x1＞x2，则有f－f＞0⇒f＞f，因此x∈时，函数f是增函数.因为函数f是偶函数，所以f＝f，f＝f.因为x∈时，函数f是增函数，所以f＞f＞f，即f＞f＞f.故选A. (2)根据题意，f(x)＝g(x)－ex＋e－x，f(－x)＝g(－x)－e－x＋ex＝－g(x)－e－x＋ex＝－f(x)，则函数f(x)是R上的奇函数，而函数y＝g(x)，y＝－ex，y＝e－x在R上都单调递减，因此f(x)在R上单调递减，不等式f(log2x)＞－f(2)＝f(－2)，则log2x＜－2，解得0＜x＜，所以所求解集为(0，).故选B. 综合应用函数奇偶性与单调性解题的技巧 1.比较函数值的大小问题：可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. 2.抽象函数不等式的求解：应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解. 注意：熟练掌握偶函数性质f(x)＝f(｜x｜)的应用. 对点练1.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))＜f(f(2)) B.f(g(1))＜f(g(2)) C.g(f(1))＜g(f(2)) D.g(g(1))＜g(g(2)) 答案：BD 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)＜f(2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，故B、D正确，C错误.若｜f(1)｜＞｜f(2)｜，则f(f(1))＞f(f(2))，故A错误.故选BD. 对点练2.已知函数f(x)＝＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)＞6，则实数a的取值范围是(　　) A.(－4，1) B.(－3，2) C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：令g(x)＝＋3x，则有g(x)＝f(x)－3.因为x∈R，g(x)＋g(－x)＝＋3x＋－3x＝＋＝0，所以g(x)为奇函数.又因为g(x)＝1－＋3x，由复合函数的单调性知g(x)为R上的增函数，因为f(a2)＋f(3a－4)＞6，则f(a2)－3＋f(3a－4)－3＞0，所以g(a2)＋g(3a－4)＞0，g(a2)＞－g(3a－4)＝g(4－3a)，所以a2＞4－3a，解得a＜－4或a＞1.故选D. 题型二　函数的奇偶性与周期性 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)是奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则f(7)等于(　　) A.－1 B.－ C. D.1 答案：A 解析：因为f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(x－1)＝f(－x－1)， 所以f(x)＝f(－x－2).又f(x－2)是奇函数，所以f(－x－2)＝－f(x－2)，即f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.又当x∈时，f(x)＝2x－1，所以f(1)＝21－1＝1，则f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(7)＝f(－1)＝－1.故选A. 综合应用函数奇偶性与周期性解题的步骤 第一步：根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期； 第二步：利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； 第三步：代入已知的解析式求解即得要求的函数值. 对点练3.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋)，f(0)＝－2，且f(x－)为奇函数，则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是一个周期为3的周期函数 D.f(2 025)＝－2 答案：BCD 解析：函数f(x)的定义域是R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误；定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋)，变形可得f(x)＝－f(x－)，而f(x－)为奇函数，则f(－x－)＝－f(x－)，则f(－x)＝－f(x－)，则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确；已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋)，即f(x)＝－f(x＋)，则有f(x＋3)＝－f(x＋)＝f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；因为f(x)周期为3，则f(2 025)＝f(0)＝－2，故D正确.故选BCD. 题型三　函数的奇偶性与对称性 (多选)已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(－x)，当x∈(1，2]时f(x)＝2x－2，则下列结论正确的有(　　) A.f(－1)＝0 B.f(x)的图象关于点(3，0)成中心对称 学生用书⬇第37页 C.f(2 025)＞f(2 026) D.f()≤f() 答案：ABD 解析：对于A，因为f(x)满足f(x＋2)＝－f(－x)，令x＝－1，则f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.又因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，故A正确；对于B，因为f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期T＝4，再根据f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋6)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点(3，0)成中心对称，故B正确；对于C，由B知：f(x)的周期T＝4，故f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝0，f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2).又因为当x∈(1，2]时，f(x)＝2x－2，所以f(2)＝22－2＝2，所以f(2 026)＝2，故f(2 025)＜f(2 026)，故C错误；对于D，f(x)满足f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)关于(1，0)中心对称.又因为当x∈(1，2]时f(x)＝2x－2，所以f(x)在[0，2]上单调递增；当x＝0时，f(0)＝－f(2)＝－2＜f()＝－f()＝－＋2＝2－2，当x≠0时，因为f(x)为偶函数，所以f()＝f(｜｜)＝f()＝f()，因为0＜≤，当且仅当｜x｜＝，即｜x｜＝1时等号成立，所以f()≤f()，故D正确.故选ABD. 1.由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 2.注意如下表达式的区别： (1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于x＝－a对称). (2)若f为偶函数，则函数f的图象关于直线x＝b对称；若f为奇函数，则函数f的图象关于点(b，0)对称. 对点练4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A.y＝(x－1)f(x－1) B.y＝(x＋1)f(x＋1) C.y＝xf(x)＋1 D.y＝xf(x)－1 答案：B 解析：构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点.对于A，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1，0)；对于B，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)；对于C，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0，1)；对于D，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1).故选B. 题型四　函数的周期性与对称性 (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[－6，－3]上单调递减 C.f(x)关于x＝3对称 D.f(100)＝9 答案：ACD 解析：f(x)的图象关于直线x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6).又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.故选ACD. 综合应用函数对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 对点练5.函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)中心对称，且f(2)＝1，则f(2 026)＝(　　) A.1 B.－1 C.0 D.2 答案：B 解析：因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，所以函数f(x)的周期T＝12.将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度，可得y＝f(x)的图象.又y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)中心对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，故f(x)为R上的奇函数，所以f(2 026)＝f(168×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－1.故选B. 课时分层测评11　函数性质的综合应用 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x)(　　) A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 答案：B 解析：因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称.因为f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上单调递增，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增.故选B. 2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：根据题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2＜log25＜3，则－1＜2－log25＜0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f＝－f(2－log25)＝－＝－＝.故选C. 3.若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)＜0的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)∪(2，5) B.(－∞，－1)∪(0，5) C.(－1，0)∪(2，5) D.(－1，0)∪(5，＋∞) 答案：C 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)＜0，当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0，所以由xf(x－2)＜0，可得解得－1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈(－1，0)∪(2，5).故选C. 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1，1)上单调递增，则(　　) A.f(－5.3)＜f(5.5)＜f(2) B.f(－5.3)＜f(2)＜f(5.5) C.f(2)＜f(－5.3)＜f(5.5) D.f(5.5)＜f(2)＜f(－5.3) 答案：B 解析：根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，则有f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，易得f(x)的对称轴为直线x＝1.因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f(x)在(1，3)上单调递减，f(5.5)＝f(1.5)，f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7).因为1＜1.5＜2＜2.7＜3， 所以f(1.5)＞f(2)＞f(2.7)，即f(－5.3)＜f(2)＜f(5.5).故选B. 【教师备选】　已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3)，且f(x)在(0，2)上单调递增，则f(1)，f，f的大小关系是(　　) A.f(1)＜f＜f B.f＜f(1)＜f C.f＜f＜f(1) D.f＜f＜f(1) 答案：B 解析：由函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3)，得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，显然f＝f，f＝f，而＜1＜，f(x)在(0，2)上单调递增，因此f＜f(1)＜f，所以f＜f(1)＜f.故选B. 5.(2025·山东聊城二模)函数f(x)定义域为R，且满足f(－x)＝－f(x)，若y＝f(x)－x＋ex是偶函数，则不等式f＋f＜0的解集为(　　) A.(－2，0) B.(－∞，－2)∪(0，＋∞) C.(0，2) D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案：B 解析：因为f(－x)＝－f(x)，且y＝f(x)－x＋ex是偶函数，所以f＋x＋e－x＝f－x＋ex，所以f＝x＋，f'＝1－≤1－＝0，f单调递减，则不等式f＋f＜0化简为f＜－f＝f，所以xex－2＞x－2ex，即＞0，所以x＞0或x＜－2.故选B. 6.(一题多解)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则下列选项中值一定为0的是(　　) A.f＝0 B.f(－1)＝0 C.f(2)＝0 D.f(4)＝0 答案：B 解析：法一(通法)：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，f(x)的图象关于直线x＝2对称.又因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以易知函数f(x)的周期为4.由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且其他选项不一定为0，故B正确.故选B. 法二(特殊函数秒杀)：由f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，可构造f(x)＝cos(x－2)符合题意.故选B. 7.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于(1，0)对称 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于x＝3对称 答案：BC 解析：依题意，R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A错误；因为函数y＝f(2－x)是偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，函数f(x)的图象关于x＝2对称，且f(2－x)＝－f(x)，即f(2－x)＋f(x)＝0，函数f(x)图象关于(1，0)对称，故B正确；由f(2－x)＝f(2＋x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故C正确；由f(x＋2)＋f(x)＝0得f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，由f(2－x)＝f(2＋x)得f(3－x)＝f(1＋x)，因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函数f(x)的图象关于(3，0)对称，故D错误.故选BC. 8.(多选)已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)关于x＝1对称，则(　　) A.f(－1)＜f(3) B.f＜f(1) C.f(x＋1)为偶函数 D.任意x∈R且x≠0，都有f(2x)＜f(3x) 答案：CD 解析：对于A，因为函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，故A错误；对于B，因为2x＞0，所以2x＋1＞1.又因为函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f＞f(1)，故B错误；对于C，因为f(x)的图象向左平移一个单位即f(x＋1)的图象，函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x＋1)的图象关于y轴对称，是偶函数，故C正确；对于D，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且关于x＝1对称，则函数在(－∞，1]上单调递减，当x＜0时，3x＜2x＜1，所以f(2x)＜f(3x)，当x＞0时，1＜2x＜3x，所以f(2x)＜f(3x)，综上，∀x∈R且x≠0，都有f(2x)＜f(3x)，故D正确.故选CD. 9.(开放题)写出一个同时具有下列性质的函数f＝　　　　　. ①f是偶函数；②f不存在对称中心；③f存在最小正周期，且最小正周期为2. 答案：(答案不唯一) 解析：由题意可知，f(x)是偶函数，f(x)不存在对称中心，f(x)存在最小正周期，且最小正周期为2，所以f(x)＝满足题意.(答案不唯一) 10.已知函数f(x)，对于∀x∈R，都有f(－4－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈，＜0，若f(m)＜f(1)，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　. 答案：(－∞，－5)∪(1，＋∞) 解析：∀x∈R，都有f(－4－x)＝f(x)成立，则函数图象关于直线x＝－2对称.任取x1，x2∈，＜0(x1≠x2)，则f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，所以由f(m)＜f(1)，得｜m－(－2)｜＞｜1－(－2)｜，解得m＞1或m＜－5，所以m的取值范围是(－∞，－5)∪(1，＋∞). (每小题5分，共20分) 11.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(2x＋1)是奇函数，且f(x)＋g(3－x)＝－4，y＝g(x)的图象关于x＝1对称，f(4)＝2，则f(22)＋g(24)＝(　　) A.4 B.8 C.－4 D.－6 答案：D 解析：因为y＝g(x)的图象关于x＝1对称，所以g(3－x)＝g(x－1).因为f(x)＋g(3－x)＝－4①，所以f(4－x)＋g(3－(4－x))＝－4，即f(4－x)＋g(x－1)＝－4②，①－②得，f(x)＝f(4－x)，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.令h(x)＝f(2x＋1)，则h(x)是奇函数，所以h()＋h(－)＝f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(4－x)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)＋g(x－1)＝－4，所以g(x)＝－4－f(x＋1).因为f(x)是以4为周期的周期函数，所以g(x)也是以4为周期的周期函数，取x＝0，f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.因为f(4)＝2，所以f(0)＝2，所以f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝f(1)＝0.取x＝3，所以f(3)＋g(0)＝－4，所以g(0)＝－4，所以f(22)＋g(24)＝f(2)＋g(0)＝－2－4＝－6.故选D. 12.(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 B.y＝f(x)的图象关于点对称 C.y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点 D.若y＝f(x)在[0，1]上单调递增，则它在[2 026，2 027]上也单调递增 答案：BC 解析：因为f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(3＋x)＋f(－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(，0)对称，故A错误，B正确；由题意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0，因为f(x)＝f(x＋3)＝－f(－x)，令x＝－，可得f＝f，即f＝－f，所以f＝0，从而f＝f＝0，故函数y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点，故C正确；因为f(2 026)＝f(3×675＋1)＝f(1)，f(2 027)＝f(3×675＋2)＝f(2)，且函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(1)＞0，又f()＝0，所以f(2 026)＝f(1)＞f(2 026)＝0，所以函数f(x)在[2 026，2 027]上不可能单调递增，故D不正确.故选BC. 13.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝｜x2－4x－5｜与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝　　　　. 答案：2n 解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称.因为y＝｜x2－4x－5｜＝｜(x－2)2－9｜，所以函数y＝｜x2－4x－5｜的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n. 14.已知函数f(x)＝lg(－1)＋2 026x＋2 02，则使不等式f(3x)＜f(x＋1)成立的x的取值范围是　　　　　　. 答案：(，) 解析：函数f(x)的定义域是，关于原点对称，且f(－x)＝lg(－1)＋2 02＋2 026x＝f(x)，故f(x)是偶函数.当x＞1时，f(x)＝lg(x－1)＋2 026x＋2 02，令t＝2 026x，由于函数t＝2 026x，y＝lg(x－1)均在(1，＋∞)上单调递增，y＝t＋在(1，＋∞)上单调递增，因此f(x)为(1，＋∞)上的单调递增函数，由f(x)是偶函数知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以不等式f(3x)＜f(x＋1)等价于＜x＜，所以所求x的取值范围是(，). (每小题5分，共10分) 15.(2025·广东广州一模)定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(3)＝0，若关于x的不等式(mx－2)f(x－2)≥(nx＋3)f(2－x)的解集为[－1，＋∞)，则em－2n＋en＋1的最小值为(　　) A.2e3 B.2e2 C.2e D.2 答案：C 解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以(mx－2)f(x－2)≥(nx＋3)f(2－x)可化为(mx－2－nx－3)f(x－2)≥0，即[(m－n)x－5]f(x－2)≥0.因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(－3)＝0，所以当x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)时，f(x－2)＞0，当x∈(－1，5)时，f(x－2)＜0.因为[(m－n)x－5]f(x－2)≥0的解集为[－1，＋∞)，所以当x∈[－1，5]时，(m－n)x－5≤0恒成立，且x∈(5，＋∞)时，(m－n)x－5≥0恒成立，所以m－n＝1，所以em－2n＋en＋1＝e1－n＋en＋1≥2＝2＝2e，当且仅当m＝1，n＝0时取等号.故选C. 16.(多选)已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin 2x＋2，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(0，2)对称 B.f(x)在R上单调递减 C.若f(x2)＋f(x)＜4，则实数x的取值范围是(－1，0) D.若实数a，b满足f(a2)＋f(2b2－2)＝4，则2a＋b的取值范围是[－3，3] 答案：ACD 解析：对于A，设函数g(x)＝ex－e－x＋sin 2x，其定义域是R，关于原点对称，那么函数g(－x)＝e－x－ex＋sin(－2x)＝－(ex－e－x＋sin 2x)＝－g(x)，因此函数g(x)是奇函数，而函数f(x)＝g(x)＋2，y＝g(x)的图象向上平移2个单位得到y＝f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(0，2)对称，故A正确；对于B，对函数f(x)＝ex－e－x＋sin 2x＋2求导可得f'(x)＝ex＋e－x＋2cos 2x，其中ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时等号成立，此时cos 0＝1，因此导函数f'(x)＝ex＋e－x＋2cos 2x＞0恒成立，因此函数f(x)在R上单调递增，故B错误；对于C，由于函数f(x)的图象关于点(0，2)对称，因此f(x)＋f(－x)＝4.那么不等式f(x2)＋f(x)＜4可化为f(x2)＜4－f(x)＝f(－x).又函数f(x)在R上单调递增，因此x2＜－x，解得－1＜x＜0，故C正确；对于D，由于f(x)＋f(－x)＝4，f(a2)＋f(2b2－2)＝4，因此可得a2＋2b2－2＝0，即a2＋2b2＝2.设a＝cos θ，b＝sin θ，则2a＋b＝2cos θ＋sin θ＝3sin(θ＋φ)(其中tan φ＝2)，所以－3≤2a＋b≤3，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $