第1章 第1节 集合(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦集合高考核心考点，涵盖集合概念、关系、运算及新定义问题，按课标要求构建元素属性、集合表示、关系判定、运算方法的知识体系。通过考点梳理、微提醒与结论总结、自测诊断及真题训练，帮助学生构建知识网络，突破易混点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层教学策略，设置自测诊断、考点精练及考教衔接环节，结合Venn图与数轴培养几何直观（数学眼光），通过新定义问题训练逻辑推理（数学思维）。精选真题与教材习题对比，确保复习高效，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第一节　集合 【课程标准】　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.　2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.　3.会求两个集合的并集、交集与补集.　4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 1.集合与元素 (1)集合元素的基本属性： ①同一集合中的元素是互不相同的. ②集合中的元素是确定的. ③集合中的元素没有顺序. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集的记法 集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N+ Z Q R [微提醒]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，N+表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 如果集合A中每个元素都是集合B的元素，则称A是B的一个子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合 相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等 A=B [微提醒]　0，{0}，⌀，{⌀}之间的关系：⌀≠{⌀}，⌀∈{⌀}，0∉⌀，0∉{⌀}，0∈{0}，⌀⊆{0}. 3.集合的基本运算 交集 并集 补集 图形 语言 符号 语言 A∩B={x|x ∈A且x∈B} A∪B={x|x ∈A或x∈B} ∁U A={x|x ∈U且x∉A} [常用结论] (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个. (2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. (3)A∩A=A，A∩⌀=⌀，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪⌀=A，A∪B=B∪A. (4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1} B．{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1} C．若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1 D．对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B) 答案：ABC 2.(多选)若集合A={x∈N|2x+10>3x}，则下列结论正确的是(　　) A．2∉A B．8⊆A C．{4}∈A D．{0}⊆A 答案：AD 学生用书⬇第2页 3.已知集合A={x|x2-4x<0，x∈N+}，则集合A真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．8 D．7 答案：D 解析：A={x|x2-4x<0，x∈N+}={1，2，3}，所以集合A真子集的个数为23-1=7个.故选D． 4.(用结论)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4}，则(∁UA)∩(∁UB)= (　　) A．{1，5} B．{5} C．{1，2，5} D．{2，3，4} 答案：B 解析：(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={5}.故选B． 5.设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，则∁R(A∪B)=　　　　　，(∁RA)∩B=　　　　.  答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2<x<3或7≤x<10} 考点一　集合的基本概念自主练透 1.(2025·江苏常州模拟)设集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：因为集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，又x∈A，y∈B，则当y=5时，x+y的值有6，7，8，9，当y=6时，x+y的值有7，8，9，10，于是得C={6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.故选C． 2.( 2026·江西南昌模拟)已知A={x|x2-ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意得4-2a+1≤0且9-3a+1>0，解得≤a<，即实数a的取值范围为.故选A． 3.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　　) A．5 B．6 C．10 D．15 答案：D 解析：因为x∈A，y∈A，x-y∈A，所以分以下5种情况：①x-y=1，有四个，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(1，0)；②x-y=2，有三个，(3，1)，(4，2)，(2，0)；③x-y=3，有两个，(4，1)，(3，0)；④x-y=4，有一个，(4，0)；⑤x-y=0，有五个， (0，0)，(1，1)， (2，2)，(3，3)，(4，4).综上，B中所含元素的个数为15.故选D． 4.设集合A={x|3x-1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是(　　) A．2<m<5 B．2≤m<5 C．2<m≤5 D．2≤m≤5 答案：C 解析：因为集合A={x|3x-1<m}，1∈A且2∉A，所以3×1-1<m且3×2-1≥m，解得2<m≤5.故选C． 5.若集合A={x|kx2+x+1=0}中有且只有一个元素，则实数k的取值集合是　　　　.  答案： 解析：当k=0时，A={-1}，符合题意；当k≠0时，若集合A中有且只有一个元素，由一元二次方程根的判别式Δ=1-4k=0，得k=.综上，当k=0或k=时，集合A={x|kx2+x+1=0}中有且只有一个元素. 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 注意：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性. 考点二　集合间的基本关系师生共研 (1)( 2026·湖北十堰模拟)若集合A={x|y=}，B={y|y=2x，x∈A}，则 (　　) A．A∩B=⌀ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a= (　　) A．2 B．1 C． D．-1 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为A={x|y=}=[0，+∞)，B={y|y=2x，x∈A}=[1，+∞)，所以B⊆A.故选C． (2)因为A⊆B，则有：若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.综上所述a=1.故选B． [变式探究]　(变条件)将本例(2)中的集合A，B分别变为A={x|-a<x<a}，B={x|-1<x<3}，则a的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，1] 解析：当a≤0时，A=⌀，显然A⊆B.当a>0时，因为B={x|-1<x<3}.若A⊆B，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0<a≤1. 综上所述，a的取值范围是(-∞，1]. 1.判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 2.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 对点练1.(1)已知集合A={x∈N+|x2-2x-3<0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为 (　　) A．3 B．4 C．7 D．8 (2)( 2026·山东潍坊模拟)已知集合A=，集合B=，其中a∈R.若A∪B=B，则a= (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)A={x∈N+|x2-2x-3<0}={x∈N+|-1<x<3}={1，2}，所以满足B⊆A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，共3个.故选A． (2)由log3=2，则2x+1=32，解得x=4，所以A==，又B=，A∪B=B，即A⊆B，所以a=4.故选D． 学生用书⬇第3页 考点三　集合的基本运算多维探究 角度1　集合的运算 (1) (2025·全国二卷)已知集合 A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= (　　) A．{0，1，2} B．{1，2，8} C． {2，8} D．{0，1} (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B=(　　) A．{-1，0} B．{2，3} C．{-3，-1，0} D．{-1，0，2} (3)若全集U=R，集合A={x|0≤x<3}，B={x|1<x<4}，则A∩(∁UB)=(　　) A． B． C． D． 答案：(1) D　(2)A 　(3)B 解析：(1) 由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}．故选D. (2)因为A=，B=，且注意到1<<2，从而A∩B=.故选A． (3)由B={x|1<x<4}，得∁UB={x|x≤1，或x≥4}，而A={x|0≤x<3}，所以A∩(∁UB)=.故选B． 　　 集合基本运算的方法技巧 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) (1)( 2026·河北保定模拟) 设集合A={x|-3≤x≤3}，B=，且A∩B={x|-2≤x≤3}，则a= (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)( 2026·江西红色十校联考)设集合M=，N=，若M∩N的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为　　　　　.  答案：(1)C　 (2) 解析：(1)因为A∩B=，所以-2是方程2x2+x-4a=0的解，即8-2(a-8)-4a=0，得a=4，当a=4时，2x2-4x-16≤0，解得-2≤x≤4，此时B=，满足A∩B={x|-2≤x≤3}，所以a=4.故选C． (2)由<1可得-1<x-a<1，解得a-1<x<a+1，因为a>0，则a-1>-1且a+1>1，因为M∩N的真子集的个数为1，设M∩N的元素个数为n，则2n-1=1，解得n=1，因为M=，则M∩N=，所以a-1<2<a+1，解得1<a<3，因此，实数a的取值范围是. 利用集合的运算求参数值(范围)的方法 1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. 2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解. 注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 对点练2.(1)设全集U=R，A={x|-3≤x<4}，B={x|y=}，则图中阴影部分表示的集合为 (　　) A．{x|x≤-3} B．{x|x>-3} C．{x|x≥4} D．{x|x≤4} (2)已知集合A={x|x<-1或x≥0}，B={x|x≥a}.若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　　) A．(-∞，-1) B．(-∞，-1] C．(-∞，0) D．(-1，0) 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.因为A={x|-3≤x<4}，U=R，所以∁UA={x|x<-3或x≥4}，又B={x|y=}⇒ B={x|x≥-2}，所以(∁UA)∩B={x|x≥4}.故选C． (2)如图，在数轴上表示出集合A，若A∪B=R，则由图易知a≤-1，所以实数a的取值范围是(-∞，-1].故选B． 考点四　集合的新定义问题师生共研 (1)( 2026·河南洛平许济质量检测)定义集合运算：A⊗B=，若集合A=，B=，则集合A⊗B中所有元素之和为　　　　.  (2)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合"相交".对于集合M={x|ax2-1=0，a>0}，N=，若M与N"相交"，则a=　　　　.  答案：(1)4　(2)1 解析：(1) A=，B=，当x=0，y=±1时，z=0；当x=2，y=-1时，z=-2；当x=2，y=1时，z=6.所以A⊗B=，所以集合A⊗B中所有元素之和为0++6=4. (2)由题意得，M=，若=，则a=4，若=1，则a=1.当a=4时，M=，此时M⊆N，不符合题意；当a=1时，M={-1，1}，符合题意.故a=1. 解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点 1.准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 2.方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 对点练3. (多选)设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A具有性质P，下列命题为真命题的是 (　　) A．若A具有性质P，则A可以是有限集 B．若A1，A2具有性质P，且A1∩A2≠⌀，则A1∩A2具有性质P C．若A1，A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P D．若A具有性质P，且A≠R，则∁RA不具有性质P 答案：ABD 解析：对于A，取集合A=具有性质P，故A可以是有限集，故A正确；对于B，取x，y∈A1∩A2，则x∈A1，x∈A2，y∈A1，y∈A2，又A1，A2具有性质P，所以x+y∈A1，xy∈A1，x+y∈A2，xy∈A2，所以x+y∈A1∩A2，xy∈A1∩A2，所以A1∩A2具有性质P，故B正确；对于C，取A1=，A2=，2∈A1，3∈A2，但2+3∉A1∪A2，故C错误；对于D，若A具有性质P，且A≠R，假设∁RA也具有性质P，设0∈A，在∁RA中任取一个x，x≠0，此时可证得-x∈A，否则若-x∈∁RA，由于∁RA也具有性质P，则x+=0∈∁RA，与0∈A矛盾，故-x∈A，由于A具有性质P，∁RA也具有性质P，所以∈A，x2∈∁RA，而=x2，这与A∩∁RA=⌀矛盾，故当0∈A且A具有性质P时，∁RA不具有性质P，同理当0∈∁RA时，也可以类似推出矛盾，故D正确.故选ABD． 学生用书⬇第4页 [真题再现]　1. (2025·天津卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则∁A(A∩B)=(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 答案：D 解析：因为A=，B=，所以B=，则A∩B=，∁A=.故选D． 2．(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5} ，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U (A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} 答案：D 解析：由题意可得A∪B＝{1，2，3，5}，所以∁U(A∪B)＝{4}.故选D. [教材呈现]　1.(湘教版必修一P12T10)已知集合A={x|-2<x≤5}，B={x|2<x<8}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB). 2.(湘教版必修一P13T16)已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩(∁UB)={1，8}， (∁UA)∩B= {2，6}， (∁UA)∩(∁UB)={4，7}，求集合A，B. 点评：这两道高考题主要考查集合的交集、并集与补集运算，与教材习题考查知识点完全相同，不同的是改变了问题的解题角度，对于此类问题一定要注意不等式中端点的开闭. 学科网（北京）股份有限公司 $