14 第二章 第14课时 指数运算与对数运算-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“指数运算与对数运算”核心考点，依据高考评价体系明确理解概念、掌握性质、实际应用三大考查要求，通过梳理根式、分数指数幂等知识点，分析近五年真题明确运算性质应用占60%的高频考点，归纳指数化简、对数求值等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+素养提升”策略，如以2024全国甲卷对数方程题为例，详解换底公式转化技巧，培养学生运算能力与推理能力，特设“易错警示”（如偶次方根非负性）和实际应用题模型构建，助力学生掌握得分关键，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第二章　函数 第14课时　指数运算与对数运算 [考试要求]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．掌握指数、对数运算在实际问题中的应用． 第14课时　指数运算与对数运算 理法先行·题练固本 知识点1　根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作＝___． 根式 负数 0 第14课时　指数运算与对数运算 3 ③()n＝___ (n∈N*，且n>1)． ④＝a(n为大于1的奇数)． ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数)． a 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 知识点2　分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂没有意义． 0 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 知识点3　指数幂的运算性质 aras＝_______ ；(ar)s＝_____ ；(ab)r＝______． 注：a>0，b>0，r，s∈R． 知识点4　对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝_______，其中___ 叫做对数的底数，___ 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作_______． 以e为底的对数叫做自然对数，记作_______． ar＋s ars arbr logaN a N lg N ln N 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 知识点5　对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝___，logaa＝___， ＝___ (a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝______________； ②loga＝______________； ③logaMn＝________ (n∈R)． 0 1 N logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (3)对数换底公式：logab＝ [常用结论] 1．乘法公式的常见变形，如()＝a－b(a，b>0)， ＝a±2＋b(a，b>0)， ＝a±b(a，b>0)． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 2．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)． ＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 1．(人教A版必修第一册P105例1)求下列各式的值： (1)；(2)； (3)；(4) 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 [解]　(1)＝－8； (2)＝|－10|＝10； (3)＝|3－π|＝π－3； (4)＝|a－b|＝ 2．(北师大版必修第一册P77例2)计算： (1)；(2)2；(3)． [解]　 (1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b>0)，所以＝8． (2)由负分数指数幂的定义，得2． 设b＝2，由定义，得b3＝27，b＝3，所以2． (3)由负分数指数幂的定义，得＝1＝(42＝43＝64． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 3．(人教B版必修第二册P7例3)化简下列各式： ；(2) 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 [解]　 (1)原式＝×5××＝24x0＝24． (2)原式＝ ＝． 4．(多选)(人教A版必修第一册P123例2改编)下列各式中x的值计算正确的是(　　) A．若log64x＝－，则x＝ B．若logx8＝6，则x＝ C．若lg 100＝x，则x＝10 D．若－ln e2＝x 则x＝－2 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 ABD　[对于A，因为log64x＝－，所以 x＝＝＝4-2＝，A正确； 对于B，因为logx8＝6，所以x6＝8．又x>0，所以 x＝＝(23，B正确； 对于C，因为lg 100＝x，所以10x＝100，10x＝102，于是x＝2，C错误； 对于D，因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x， 于是x＝－2，D正确．故选ABD．] 5．(多选)(人教A版必修第一册P126练习T1、T3(2)改编)下列各式正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．2(log43＋log83)(log32＋log92)＝ C．ln 3＋ln ＝0 D．log35－log315＝ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 BC　[对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7，故A错误；对于B，2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2＝log23×＝，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C正确；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误．故选BC．] 考点深研·题型突破 考点一　指数运算 [典例1]　＋(－8＋80.25×＝________． (2)化简：÷(a>0，b>0)＝________． (3)(人教A版必修第一册P110习题4.1T8)已知＝3，则a＋a-1＝________ ；a2＋a-2＝________． π＋ 　 7　 47 第14课时　指数运算与对数运算 19 (1)π＋　(2)　(3)7　47　[(1)＋(－8＋80.25× ＝＋(－2)2＋×＋π－2 ＝＋4＋2＋π－2 ＝π＋ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (2)÷ ＝÷ ＝ ＝ab÷a2b2＝ (3)由＝3，得a＋a-1＋2＝9，即a＋a-1＝7， 则a2＋a-2＋2＝49，即a2＋a-2＝47．] 通性通法：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 考点二　对数式的化简与求值 考向1　对数的运算与化简 [典例2]　(1)(多选)(2025·鞍山市立山区期末)下列结论正确的是 (　　) A．log2＝18 B．ln e＋lg 1＋2log23＋ln 10lg e＝5 C．log3－log3＋lg＋lg＝2 D．若log2[log3(lg x)]＝1，则实数x＝106 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (2)(2025·盐城期末)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A．2a＋b B．2b＋a C． D． (3)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则实数a＝________． √ 64 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (1)AB　(2)D　(3)64　[(1)log2×log38×lo27＝××××＝18，故A正确；ln e＋lg 1＋＋ln 10lg e＝1＋0＋3＋1＝5，故B正确；log3－log3＋lg＋lg＝log3－1－3＋lg－4＋＝－2，故C错误；因为log2[log3(lg x)]＝1，所以log3(lg x)＝2，所以lg x＝9，所以x＝109，故D错误．故选AB． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (2)因为a＝lg 2，b＝lg 3， 所以log1210＝＝＝＝ 故选D． (3)由题意＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．] 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 考向2　指数与对数的综合运算 [典例3]　(1)(2026·红河州模拟)若3a＝5b＝15，则＝(　　) A．1 B．log35 C．log53 D．2 (2)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则实数a＝________． √ e　 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (1)A　(2)e　[(1)由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515， 所以＝＝log153＋log155＝log1515＝1． 故选A． (2)f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4 ＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8， ∴aln 2＝2，∴a＝e．] 通性通法：对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意相互转化． (4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 [典例4]　(1)(2026·成都模拟)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　) A．1 B．1 C．1 D．1 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 (1)D　(2)B　[(1)设北极星的亮度为I1，牛郎星的亮度为I2， 由题意可得2＝－lg ，0.8＝－lg ， 所以I1＝，I2＝，所以＝＝ 故选D． (2)由题意知，klog2(1.024×109)－klog2106＝20，即klog2＝20， 所以klog21 024＝20，解得k＝＝＝2， 所以2log2(4.096×109)－2log2(1.024×109)＝2log2＝2log24＝2×2＝4． 故选B．] 通性通法：利用指数、对数运算解决实际问题时，认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题． 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 【教用·备选题】 (2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 D　[由题意得＝2.1，＝3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即 2ln N1＝3ln N2，所以＝] 1．(链接考向1)(北师大版必修第一册P106习题4-2 A组T2)下列结论正确的是(　　) A．若log2x＝3，则x＝6 B．若e＝ln x，则x＝e2 C．lg(ln e)＝0 D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 C　[若log2x＝3，则x＝23＝8，故A错误；若e＝ln x，则x＝ee，故B错误；lg(ln e)＝lg 1＝0，故C正确；＝，故D错误．故选C．] 2．(链接考点一)(多选)(2025·随州月考)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是(　　) A．＝a B．()4＝a C． D． √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 BCD　[≠a，故A错误； ＝a，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 故选BCD．] 3．(链接考点三)(2025·广州月考)已知某湖水中的内源类有机物含量f (t)与时间t(单位：天)的关系满足函数f (t)＝mat(a＞0，且a≠1)，且第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，若第t1天时其含量为800，则t1＝(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 C　[f (t)＝mat，第3天时其含量为100，第7天时其含量为400， 则解得(负值已舍去)， 所以f (t)＝25×()t，则f (t1)＝＝800，解得t1＝9． 故选C．] 4．(链接考向2)若正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，且＝2，则实数t＝________． 　[因为正实数m，n，t满足5m＝7n＝t， 所以m＝log5t，n＝log7t， 所以＝＝logt5＋logt7＝logt35＝2， 所以t2＝35， 又因为t＞0， 所以t＝] 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2025·常州期末) ＝(　　) A．－5 B． C． D．5 课时作业(十四)　指数运算与对数运算 第14课时　指数运算与对数运算 44 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[原式＝＝5． 故选D．] 45 √ 2．(人教A版必修第一册P106例3改编)下列各式错误的是(式中字母均是正数)(　　) A． B．＝a C．(＝36 D．＝－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 46 D　[对于＝，故A正确； 对于B，＝|a|＝a，故B正确； 对于C，(＝62＝36，故C正确； 对于D，，故D错误．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 47 √ 3．(2026·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) A．＝3 B．＝2 C．lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝0 D．(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 48 C　[＝＝1，A不成立； ＝＝＝1，B不成立； lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，C成立； (lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，D不成立．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 49 √ 4．(2025·六盘水市水城区期末)已知a＝log52，2b＝3，则log1210＝ (　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 50 C　[因为2b＝3，a＝log52，则b＝log23， log25＝，所以log1210＝＝＝＝＝ 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 51 √ 5．(2025·兴宁市月考)已知2a＝3b＝t，且＝2，则实数t＝(　　) A． B．2 C．±2 D．12 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 52 B　[由2a＝t可得a＝log2t， 所以＝logt2， 由3b＝t可得b＝log3t， 所以＝logt3， 故＝2logt2＋logt3＝logt4＋logt3＝logt12＝2， 故t2＝12，由于t＞0， 故t＝2 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 53 √ 6．(2025·杭州月考)石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度．在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量Yt与超声处理时间t(单位：分钟)满足lg Yt＝t lg (1＋k)＋lg Y0，其中Y0为初始颗粒数量，k为团聚速率常数．已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数k约为(参考数据：≈1.778)(　　) A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4% 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 54 C　[由题意，可得lg (100Y0)＝6lg (1＋k)＋lg Y0， 即2＋lg Y0＝6lg (1＋k)＋lg Y0，所以lg (1＋k)＝， 所以1＋k＝≈2.154，所以k≈1.154＝115.4%．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 55 √ 二、多项选择题 7．(人教A版必修第一册P109习题4.1 T5改编)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　) A．0.2＋()0－2-1＝0 B．＋(0.008×＋(π－1)0＝ C．(2)(－6)÷(－3)＝1 D．若＝，则＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 56 BD　[对于＋()0－2-1＝0.5＋1－＝1，A错误； 对于＋(π－1)0＝－＋1＝＋25×＋1＝＋2＝，B正确； 对于C，原式＝÷＝[2×(－6)÷(－3)] ·＝4ab0＝4a，C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 57 对于D，当＝时＝x＋2＋x-1＝6，得x＋x-1＝4，由(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝16，得x2＋x-2＝14，所以＝＝，D正确．故选BD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 58 √ 8．(2025·湖州期末)已知a＝log25，b＝log3，则(　　) A．ab＞0 B．4a·9b＝1 C．＞1 D．log612＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 59 BCD　[对于A，b＝log3＜log31＝0，a＝log25＞log21＝0，所以ab＜0，故A错误； 对于B，因为a＝log25，b＝log3，所以由对数的定义知，2a＝5，3b＝， 则4a·9b＝(2a)2·(3b)2＝52·＝1，故B正确； 对于C，由对数的运算性质知， ＝log52－lo3＝log52＋log53＝log56＞1，故C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 60 对于D，由对数的运算性质知， ＝＝ ＝＝＝＝log612，故D正确． 故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 61 √ 9．(2025·平顶山期末)下列命题中正确的是(　　) A．设a>0， B．已知2a＋b＝1，则＝3 C． D．若loga4＝m，loga5＝n则a2m+n＝40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 62 BC　[对选项A，a>0，，故A错误； 对选项B，因为2a＋b＝1，所以＝3，故B正确； 对选项C，＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝，故C正确； 对选项D，因为loga4＝m，loga5＝n，所以am＝4，an＝5， 所以a2m+n＝(am)2·an＝42×5＝80，故D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 63 三、填空题 10．(2026·南京模拟)3log34－log29×log32＋lg ＋2lg 2－＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 1　[原式＝4－2log23×log32＋lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝4－2＋lg 5＋lg 2－2＝4－2＋1－2＝1．] 1 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 64 11．(2026·武汉模拟)已知a，b＞0且＝1，若2a＝5b＝k，则实数k＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10　[∵2a＝5b＝k，∴a＝log2k，b＝log5k， ∴＝logk2＋logk5＝logk10＝1，解得k＝10．] 10 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 65 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(人教A版必修第一册P141习题4.4 T10)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，则其声强级为________dB；一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，则人听觉的声强级(单位：dB)范围为__________． 60 [0，120]　 理法先行 考点深研 课时作业 第14课时　指数运算与对数运算 66 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 60　[0，120]　[当I＝10-6时，LI＝10lg＝10lg 106＝60，所以声强级为60 dB． 当I＝1时，LI＝10lg ＝120； 当I＝10-12时，LI＝10lg 1＝0，所以人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．] 67 $